目 錄

第一部分 數和計數
1. 從無開始計數
2. 二進制,十進制,及其互換
3. 感歎號!
4. T 形數
5. 關於無限大種種

第二部分 數和數學
6. π 點滴
7. 幾何作圖的工具
8. 並非虛幻的虛數

第三部分 數和度量衡
9. 忘掉它!
10. 加上前綴

第四部分 數和曆法
11. 我們歷年的日
12. 從頭開始

第五部分 數和生物學
13. 那就是它的大小

第六部分 數和天文學
14. 質子計算器

第七部分 數和地球
15. 水,水,到處都有
16. 地球上的高處和低處
17. 地球上的島

第一部分 數 和 計 數

1 從無開始計數

羅馬數字,即使經過五個世紀廢棄之後,對於一個有好奇 心的人來說,似乎仍有一種特別的迷惑力.
依我看來,羅馬數字之所以吸引人,其理由不外乎它們頗 能令人自我陶醉,當你走過一塊刻有「立於 MCMXVIII」字 樣的街角石的時候,它會給你一種感染力,使你情不自禁地自
我感歎一番:「啊,原來是建於一九一八年」.不論理由如何, 羅馬數字確是值得深入探討的.

關於數和計數的概念,以及較小的和較常用的數字的名 稱,可以追溯到史前時代.難以相信,今日地球上任何一個部 落,不論其如何原始,會對數沒有產生過某種概念的.
在發明書寫之後(它標誌著「史前」和「有史」的分界線), 隨之而來的一步就是必須選取數字進行書寫.當然,對表示 一定數目的詞設想出一些書寫記號來是很容易的,正像設想
出其他單詞一樣簡單.在英文中,我們可以把一隻手上的手 指數目寫成「five」,而把四肢所有的趾指數目寫成「twenty」.
然而,很久以前,國王的稅吏、史官、文牘們在遊戲中就發 現,數具有有序的特點,它具有一種固定的計數方法,並且對 任何一個數都能用計數方法來達到加以定義,因此,對於需
要計數到特定的數,為什麼不制定一些記號呢?
例如,如果用′表示「一」,用′′表示「二」,用′′′表示「三」, 那麼,我們就能毫無困難地得出用給定記號標示的數.可以
理解,比如記號′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′表示「二十三」.而且,這樣的
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記號是通用的,不論用何種語言來計數,也不論你的特殊語言
用怎樣的聲音來念這個數,這個符號總是表示「二十三」. 把過於眾多的記號記寫成長長的沒有間斷的一行,就會
使閱讀發生困難,這就自然需要把它分成較小的組.如果我 們習慣於用一隻手來計數的話,那就很自然地把記號分成五 個一組.這樣,「二十三」就可以寫成′′′′′ ′′′′′ ′′′′′ ′′′′′
′′′.如果 我們更老練一些,用兩隻手同時作計數的話,我們就可以把它 寫成′′′′′′′′′′ ′′′′′′′′′′ ′′′.如果我們同時又光著腳,把腳趾也用上
的話,我們又可以把數分成以二十為一組.
所有這三種將數的符號分成組以便於使用的方法,在人 類的各種記數方法中都留下了它們的痕跡,但最受人歡迎的 是以十個為一組.因為總的說來,以二十個符號為一組畢竟
太多,難於一目瞭然,而以五個符號為一組又在數目較大時造 成過多的組數.這樣,以十個為一組就成了比較令人喜愛的 折衷.
接著,用一個獨立的記號來表示以十為一組的數看來是 一個很自然的想法.在可以把一個獨立的記號,比如-,用於 這個目的時,就沒有理由每次都非得把十個為一組的數寫
成′′′′′′′′′′.因此,「二十三」就可以寫成--′′′.
一旦這樣開了頭,下一步就很清楚了.在以十為一組的 數的組數達到十個即一百時,就可以引入另一個符號,比如
+.十個一百,即一千,可以用=來表示,等等.這樣「四千六 百七十五」,這個數就可以寫為:
====++++++-------′′′′′ 為了使這樣的一組記號更易於一目瞭然,我們可利用眼
睛能識別圖案的有利條件(大家知道,人們是怎樣根據圖案來 說出一副紙牌或一對骰子中的數字的).因此,我們又可以把
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「四千六百七十五」寫成:
==+++---′′′

==+++---′′
事實上,古代巴比倫人正是用這種方法來書寫數字的,
不過他們是用楔形符號來表示的.

希臘人在其文明發展的較早階段曾使用過一種與巴比倫 人類似的方法.但是稍後,另一種方法代之而流行起來.他 們創造使用了另一種有序法——字母表中的字母.
把字母表和記數方法聯繫起來是很自然的.我們在兒童 時代幾乎同時被教會使用這兩種方法,對外界對象的這兩種 有次序的方法很自然地趨於吻合.「a,b,c,d…」的序列念起來
就同「一,二,三,四…」同樣順口,彼此之間很容易地相互代替. 如果我們使用毫無區別的符號,如′′′′′′′來表示「七」,那 麼該符號的所有組成部分都是相同的,而且如果該符號的意
義僅表示是「七」而無其他別的意義的話,則所有的符號都必 須一個不漏地包括進去;另一方而,如果「ABCDEFG」代表 「七」(數一下字母就可以知道),那麼,由於每個符號各不相同,
只需要寫出最後一個字母就行了.你不會弄錯 G 是字母表裡 的第七個字母這個事實,因此它代表「七」.用此方法,只以一 個部分組成的符號便可起到由七個部分組成符號的作用.此
外,′′′′′′(六)看起來與′′′′′′′(七)極為相像,而 F(六)看上去卻 與 G(七)截然不同.
當然,希臘人使用的是他們自己的字母表.這兒,讓我們 用自己的字母表來作一個完整的演示:A=一,B=二,C=三, D=四,E=五,F=六,G=七,H=八,I=九,J=十.
我們可以讓字母 K 接下去等於「十一」,照這樣下去的
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話,我們的字母表只能幫助我們數到「二十六」.而希臘人有
一個比較好的方法:既然巴比倫人的以十為一組的概念已留 下了它的痕跡,如果 J=十,那 J 除了等於十個客體外,而且 也表示以十分成的一個組,那麼為什麼不繼續用以後的字母 來表示十位數呢?
換句話說,J=十,K=二十,L=三十,M=四十,N= 五十,O=六十,P=七十,Q=八十,R=九十.接著我們可 以繼續來記寫百位數:S=一百,T=二百,U=三百,V=四
百,W=五百,X=六百,Y=七百,Z=八百.這樣就可以 很方便地一直記到九百,但我們已把全部字母都用完了.不 過,在以前的字母表裡,表示「and」的符號「&」有時排在字母
表的末尾.因此我們可以說,&=九百.
再換句話說,最前面的九個字母表示一到九的個位;接 下來的九個字母表示一到九的十位數;最後九個字母表示一 到九的百位數(在古希臘的字母表中只有二十四個字母,但總
共需要二十七個字母,因此希臘人使用了三個古體字母來湊 滿該表).
這個方法與巴比倫人使用的方法相比,有優點也有缺點. 優點之一是任何一個千以內的數字均可用三個符號來表示. 比如,用剛才以字母表建立起來的方法來表示六百七十五是 XPE,八百十六是 ZJF.
希臘記數方法的一個缺點是,為了使用一千以內的數字, 必須牢牢記住二十七個不同符號的意義.而在巴比倫記數方 法中,只須記住三個不同的符號.
況且,希臘的記數方法在字母表中的字母用完時就自然 而然地到了盡頭.九百九十九(&RI)是在不引進特別的記號 來表示千位數、萬位數等等時,所能寫出的最大的數字.關於
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這個問題,將在以後再回過頭來加以敘述.

希臘記數方法的一個相當含糊不清的缺點是,相同的一 些符號既用於數字又用於單詞,這在意義上就很容易使人混 淆.比如,希臘羅馬時代的猶太人,採用了希臘表示數字的方
法後(當然是使用了希伯來字母表),很快就陷入困境.「十五」 這個數字自然能寫作『十-五」,然而,在希伯來字母表中,「十- 五」恰好表示了上帝的一個應予避諱的名字的簡稱,猶太人對
於褻瀆神明是特別犯忌的,就決定不用「十-五」而用「九-六」 來表示「十五」這個數.
更糟的是,在希臘-希伯來記數方法中,單詞看上去就好 像一個數字.比方說,就用我們自己的字母表來說吧,WRA 表示「五百九十一」,在字母表數字方式中:符號的排列次序通
常是不嚴格的.雖然,正如我們將要看到的,這種情況對同 樣是字母表式的羅馬數字來說是不正確的,而WAR同樣可以 意味著「五百九十一」(如果願意的話,我們畢竟可以把它說成 是「五百一和九十」「five
hundred one-and-ninety」);因此, 很容易讓人相信,在「五百九十一」這個數字裡面,似乎包含著 一些有關軍事的、尚武的、和預兆不吉祥的涵義 1.
猶太人出自虔誠的要求,把神的語言抄錄得十分精確,他 們對聖經中的每一個音節都細加推敲,因而在所有的單詞中 都看到了數字.在新約時代,在聖經內出現了數字之間內在
關係的一整套玄秘系統.這就是猶太人能達到最接近於數學 的緣由,他們把這種數字化的單詞稱為 gematria,這個詞系 希臘詞 geometria(幾何學)一詞的訛傳,我們今天把它稱作
「數字秘義學(numerology)」.

1 英語 WAR 的詞義是「戰爭」.譯者注.
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甚至直到今天,還有一些可憐蟲,把數字與不同的字母相
聯繫,以此來判斷哪些名字有福氣,哪些名字不吉利,哪個男 孩應當娶哪個姑娘,等等.這當然是一種令人可笑的偽科學. gematria 的一部分在後來的歷史上留下了影響.gematria
的這些遺跡可在新約的最後一冊《聖·約翰啟示錄》中找到,這 本書用一種不畏文字獄的隱諱筆調寫成.在我看來,文筆欠 明晰的原因是十分顯然的.《啟示錄》的作者曾對羅馬政府加
以抨擊,如果他把話說得太明白,那就等於公開給自己加上了 一個叛逆罪,便可招致釘死在十字架上的刑罰,因此,他便設 法用這樣的方式來寫,使文章的意義對他的「圈內」讀者看來
是十分明了,而在羅馬當局看來則是毫無意義的. 在第十三章中,作者把群獸說成是殘暴的政權,在第十八
節中他說道:「這兒就是智慧,讓懂得的人來算出群獸之數;因 為符合群獸之數的人,他的數目等於六百六十六.」
很明顯,作這樣的安排,並非要把這種gematria的偽科學 說成是神明的讚許,而僅僅是對該章中隱匿的比喻所指的那 個具體的人物作一番含沙射影而已.現在差不多已經弄清,
《啟示錄》寫於尼羅(Nero)1對基督徒實行第一次大迫害後 僅僅幾十年.如果把尼羅的名字(尼羅·凱撒)用希伯來文來拼 寫,那麼各字母所代表的數字之和恰恰就是六百六十六,即「群 獸之數」.
當然,也可能有別種解釋.事實上如果《啟示錄》在任何 時候都被認為與其在寫成的特定時代其有同樣意義的話,它 也可能涉及後來的一些反基督運動.由於這一原因,世代相
襲,人們一直試圖表明,用適當的語言,在姓氏的拼法上玩弄
某些手法,並利用把字母定為適當的數字,就可能使某些私敵

1 尼羅,羅馬暴君.公元 37~68 年在位.譯者注.

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帶上群獸之數. 如果基督徒能把這個方法用於尼羅,那麼只要猶太人願
意,他們自己也可能在下一個世紀把這個方法輕而易舉地用 於哈德連(Hadrian)1.而在五個世紀之後,這個方法又可
(並確已)用於穆罕默德(Mohammed)2.在宗教改革時期
3天主教對馬丁·路德(Martin Luther)4的名字作了計算, 發現它也符合群獸之數;清教徒也曾以此回敬,對幾位教皇作 了同樣的計算,發現同樣情況.
其後,宗教鬥爭為民族鬥爭所取代,通過適當的方法,亦 曾算出拿破侖·波拿巴(Napoleon Bonaparte)5和威廉二世 (William II)6符合群獸之數.更有趣的是,用我自己的字母
表數字方法,只需幾分鐘時間,就可算出海爾·阿道爾夫·希特 勒(Herr Adolf Hitler)也符合群獸之數,只需在其名字中添 加一個 1 便成 7.
羅馬的記數符號的方法與希臘及巴比倫的方法均有相似 之處.羅馬人像希臘人一樣使用了字母表裡的字母,然而他 們並不是按次序來使用它們的,而僅僅使用其中的幾個字母,
他們把這些字母每當需用時總是重複使用,這正像巴比倫方 法一樣.但與巴比倫方法的不同之處在於,羅馬人並不每逢 數字遞增十個就發明一個新的符號,而是(更原始地)數字每

1 哈德連,羅馬皇帝,公元 117~138 年在位.譯者注.
2 穆罕默德,阿拉伯先知,伊斯蘭教創始人,公元 570~632 年.譯者注.
3 十六至十八世紀歐洲普遍發生的對舊教的改革運動.譯者注.
4 馬丁·路德,德國神學家,宗教改革領袖,公元 1483~1546 年.譯者注.
5 拿破侖,法國皇帝,公元 1804~1815 年在位.譯者注.
6 威廉二世,德國皇帝.公元 1888~1918 年在位.譯者注.
7 希特勒,納粹黨黨魁,德國法西斯頭子,公元 1889~1945 年.其全名為海爾·阿 道爾夫·希特勒(Herr Adolf Hitler),在 Adolf 中添加一個 l 就變成
Adollf,便符 合群獸之數.譯者注.
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增五個就使用一個新的符號.
這樣,從頭開始,「一」的符號是 I,「二」、「三」和「四」的 符號便能寫成 II,III 和 IIII.

羅 馬 數 字

這是偉大的天文學家約翰·刻卜勒(Johann Kepler)1為三 十年戰爭期間的帝國將軍阿爾勃烈希脫·瑪·瓦倫斯坦(Albrecht von Wallenstein)所繪的一
張算命天宮圖(刻卜勒為
謀生而繪天宮圖,正如現 代一位演員,即使是位優秀 演員,也可能兼做點生意 一樣).
儘管在天宮圖上所用數 字大多是阿拉伯數字,但
十二宮的順序仍用羅馬字 體,以獲得更為強烈的印 象.羅馬數字,在人們認 為它們在計算中無用而加 以廢棄之後,幾世紀來,仍
然是一種令人 肅然起敬的 標記.
圖 l 刻卜勒所繪的天宮圖
雖然我們自己熟悉的數系是以 10 為基數且以 10 為冪的,羅馬 數字卻以 5 為基數,對 1、5、10、50、100、500 和 1000 都制定了特
殊的符號,很明顯,這是因為我們每隻手有五個指頭,兩隻手共 有十個指頭的緣故.
在赤腳的社會裡,不需一個多大的智力躍進即可確立以二十為 基數的數字系統,中美洲的瑪雅人 2用十和二十來計數,並對 20、
400(202)、8,000(203)、160,000(204)等數字作出特別的符號.
雖然在西方的傳統中並無正式的 20 進制,但我們仍以「score(二

1 約翰·刻卜勒,德國天文學家,公元 1571~1630 年,譯者注.
2 瑪雅人,中美洲古民族,曾有相當高度的文明.詳者注.

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十)來計數,當我們說到八十七時,常說「four score and seven」(四 個二十加七).事實上以二十來計數是十分常見的,正像我們在 球賽 時 常講的「keeping
score(記錄比賽分數)」並問「What's the score?(比分怎樣)」.
十二進制,即使不用專門符號,但在言語中也使用著,因為 12
可被 2、3、4、6 除盡,因此我們說到「打」以及「籮」,一籮等於
12 打,即 144 個.至於那個古代蘇美爾人曾使用過以 60 為基數的 系統,直至今天我們仍以 60 秒為一分鐘,60 分鐘為一小時.

然而,「五」的符號不是 IIIII 而是 V.為何選用這麼個 特殊的字母作為符號,人們始終以極大的興趣來窮究其原因, 但迄今尚未找到能為大家普遍接受的解釋,然而,當我把手
指向上伸出時,如果把外伸的拇指當作 V 的一條線而把其餘 四指合併當作另一條線的話,V 可能就表示有五個手指的手 的本身,這倒也算一種自得其樂的解釋.這樣,「六」、「七」、
「八」、「九」就分別表示為 VI、VII、VIII、VIIII.
用符號 X 表示「十」,它表示兩手腕對腕交叉(有人這麼 認為).這樣,「二十三」,就表示成 XXIII,「四十八」就可寫成 XXXXVIII 等等.
「五十」的符號是 L,「一百」的符號是 C,「五百」是 D,「一 千」是 M.C 和 M 是易於理解的,因為 C 是 centurn(意為「一 百」)的起首字母,M 是
mille(「一千」)的起首字母.
然而,正是因為這個理由,這些符號就令人懷疑.最初, 它們也許用來表示這些數字意義較少的原始符號.比如,「千」 的符號看上去有點兒象(I)這麼一個符號.一千的一半或者 「五百」就是該符號的右半邊,或
I),以後,這個符號也許就 轉化成 D.不過為什麼要用 L 來表示五十,我就說不出它的道 理了.

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現在,我們可以把「一千九百六十四」用羅馬數字寫成
MDCCCCLXIIII. 根據這個方法來記寫數字,其優點之一就是數字的記寫
次序可以不管.如果我把「一千九百六十四」寫成 CDCL IIMXCICI,那麼,如果把每個符號代表的數相加,它仍然表 示一千九百六十四.然而,也不是任何人都可以用這樣的方
法隨心所欲地把字母湊合成數.要是把字母按數值大小的嚴 格次序來記寫的話,正如我第一次所做的那樣,那麼,要把字 母的數值加起來就要簡單得多.而且,事實上這種按數值遞
減的次序來排列(除特殊情況外)的方法是一直沿用著的. 一旦羅馬數字的字母書寫順序成為一種慣例,就可以使 用這種固定的次序,如果它有助於簡化事情的話.比如,假定
我們規定,當數值較小的符號位於數值較大的符號之後時,則 兩符號的數值相加;而當數值較小的符號位於數值較大的符
號之前時,就從後一個減去前一個.這樣,Vl 就表示「五」,加 「一」或「六』,而 IV 則表示「五」減「一」或「四」(甚至可以說
IIV 表示「三」,但慣例是減去的符號不得多於一個).用同樣的 方法,LX 表示「六十」而 XL 則表示「四十」,CX 表示「一百十」 而 XC 則表示「九十」,MO 表示「一千一百」而 CM
則表示「九 百」.
這種「減法法則」的好處在於,二個符號可以起到五個符 號的作用.既然可議寫成 IX,那麼為了什麼非要寫成 VIIII 不 可呢?或者,如果可以寫成 CM 的話,那就不必寫成 DCCCC.
年份「一九六四」可以不用 MDCCCCLXIIII(十二個符號)而 寫成 MCMLXIV(七個符號),另一方而,一旦給書寫順序賦 予意義,那就不再能把它們任意湊合,即使你想這麼做也不 行.例如,如果
MCMLXIV 被改寫成 MMCLXVI,那麼它就
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變成了「二千一百六十六」.
減法法則在古代時興時廢,直到中世紀尚未正式採用. 有一種有趣的理論認為,拖延的原因牽涉到該法則的最簡單 的使用,即 IV(「四」).它是羅馬主神 IVPITER 的最前面兩
個字母.羅馬人可能對於即使書寫這個名字的為首兩個字母 也有一種忌諱,甚至直到今天,在標有羅馬數字的鐘面上, 「四」仍以 IIII 表示而不是 IV.這並不是鐘面不接受減法法 則,因為「九」是被標成
IX 而不是 VIIII 的.
用已給出的符號,我們可以用羅馬數字寫出直到「四千九 百九十九」這麼大的數字:MMMMDCCCCLXXXXVIIII.或 者若使用減法法則,可寫成 MMMMCMXCIX.你可能推測
它下面的一個數「五千」可以寫成 MMMMM 吧,但這種推測並 不太正確,嚴格地說,羅馬記數方法是永遠不讓一個符號重 復出現四次以上的.通常採用一個新的符號來補救:比如
IIIII=V,XXXXX=L,CCCCC=D.那末,MMMMM 到底用 什麼表示呢?
沒有指定用什麼字母來表示「五千」.在古代,日常生活 中很少需用這麼大的數字.即使學者或稅吏們能偶然遇到較 大的數目,但他們的記數方法並不傳達到老百姓那裡.
記寫「五千」或五千以上的數目的辦法之一是用一條短橫
來表示千.這樣,V 就可用來表示五千,而不是五,六萬七千 四百八十二就可寫成 LXVIICDLXXXII .
記寫大數的另一種方法是回到用原始符號(I)來表示
「千」.在此符號的兩邊加寫弧形線,我們可以把數字以十的 倍數來遞增.這樣,「一萬」,就可以寫成((I)),「十萬」就可以 寫成(((I)));另外,又如「五百」可寫成 I)或 D 那樣,「五千」,
便可寫成 I)),「五萬」可寫成 I))).
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正如羅馬人制定的特殊記號用來表示千數那樣,希臘人
也是這樣做的.更進一步的是,希臘人還對一萬和一百萬制 定了特別的符號(或者說,至少某些希臘作家是這麼做的).羅 馬人未曾把這個問題引至邏輯高度,這是不足為奇的,因為羅
馬人曾以自己的不文明自鳴得意,而希臘人對這一點也有所 誤解,這是永遠使我驚訝的.
如果不專門對大數制定特別的記號,就不得不從個位數 開始對每一種位數制定出特別的符號來,如果我們盯牢我在
本章開頭時講過的方法不放,那就是用′表示個位數,用– 表示十位數,+表示百位數,=表示千位數,則我們只要用一 套九個符號就行了.我們可以在字母上方加一個小符號,即
標出位數的類型=+–′寫出一切數目.這樣,「二千五百八 十一」只要用從 A 到 I 這九個字母就可以得出,記寫為
= + □ '
= + □ '
BE H A .進而,可以把「五千五百五十五」寫作 EEE E .由於
每個字母 E 上方標有符號,可以表明一個是「五」,一個是「五 十」,另兩個是「五百」和「五千」,不會混淆.由於將附加符號 用於千、十萬、百萬等等,故任何數不論如何大,均可用此方式 記寫.
如果說這種辦法沒能被普遍採用,那也是不足為奇的.即
使某一希臘人要想使用,他也會因必須記寫這些細小的符號 而覺得討厭.在手抄的時代裡,附加書寫符號意味著附加了 額外的勞動,當時的抄寫員必定會對此大為不滿.
當然,人們可以很容易地作出記號並非必要的決定.位 數總是按數值自右至左遞增的方法書寫,這已為人們所接受 了.個位數寫在右端,十位數寫在其左邊,百位數又在其左 邊,如此等等.這樣,BEHA
就表示「二千五百八十一」,而 EEEE 則表示「五千五百五十五」,在字母上方就不需加小符

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號.
但在這裡就要自然而然地產生一個困難,即如果在一個 特定的數字中,沒有十位數,或沒有個位數,那將怎麼辦?比 如象「十」或者「一百零一」這樣的數.前者由一個十位數,無
個位數組成;後者則由一個百位數,無十位數和另一個個位數
□ ' + □ '
構成.如果在上方使用小符號,數字就可以寫成 A 和 A A ,
這樣,你就不能把小符號丟掉,如果丟掉小符號,那麼如何區 分意義是指「十」的 A 和意義是指「–」的 A,或者 AA 是指
「一百零一」還是指「一百十」呢? 或許可以設法在兩個字母之間留出一個空隙來表示「一
百零一」,如 A A,但這麼一來,在手抄時代,它可能很快就 變成 AA,也可能很快地把 AA 訛抄為 A A.此外,在一個 符號的末尾,又如何留出空隙來呢?不,即使希臘人想出這麼
一個方法,很明顯,他們必定會得出在數字中留下空隙的簡化 做法是不切合實際的這樣一個結論.因此,他們決定採用 J 表示「十」,SA 表示「一百零一」,這樣比較保險些,而把小符 號丟到陰間地獄裡去.
簡直沒有一個希臘人——甚至包括阿基米德(Archime- des)本人——認為,使用空隙並不是絕對必要的.人們可以用 一個表示「無」(無位數)的符號來填入空隙,假定我們用$作為
這樣一個符號,那麼「一百零一」由一個百位數,無十位數和一 個個位數構成,就可以寫成 A$A.如果我們用這種方式處理, 所有的空隙都能消滅,就不再需要在字母上方加注小符號了. 「–」變成
A,「十」變為 A$,「一百」變為 A$$,「一百零一」變
+ □ '
成 A$A ,「一百十」變成 AA$,等等.任何數,無論多大,均
可用整整九個字母加上一個表示「無」的符號來記寫.

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當你知道了這個方法以後,你就會說,這的確是世界上最
簡單的事. 但是,從第一個數字符號開始計數到想出一個表示「無」
的符號,竟佔用了人類大約五千年的時間.是誰成功地解決 了這個問題(這是一位在歷史上最富於創造性的和具有獨特 見解的思想家),至今還不清楚,我們只知道可能是生活在不 遲於九世紀的一個印度人.
印度人把這個符號稱為 sunya 意即「空」.這個表示「無」 的符號被阿拉伯人學了去,他們把它稱為 sifr,這在他們的語 言中表示「無」的意思.這個詞在傳入我們的語言後被改變為
「cipher」這個詞,又通過 Zefirum 而變成「Zero(零)」.
新的數字系統(因為這是歐洲人從阿拉伯人那兒學來的 故稱為「阿拉伯數字」)逐漸傳到西方,而取代了羅馬數字系 統.
因為阿拉伯數字是從不用羅馬字母表的國家傳來,故數 字的形狀與羅馬字母毫不相像.這也有好處,它消除了詞和 數間的混淆並使 gematria 從識字的人的日常生活中消失,成
為只有少數人才願意為此浪費精力的累贅的蠢事.

阿 拉伯數 字

在計算方面,用阿拉伯數字進行計算,遠比人類發明的任何其 他計算方法來得既簡易又嚴密.只須設想一下,如把下表中所列 的那些數字資料全部翻譯成羅馬數字(或任何別種數字),得佔據多
大的篇幅呵,也許只有專家才能看得懂.
比方說,只要看一下數字的位數,就可以清楚地知道 12,000 大 於 787.只需自上而下很快地掃視一下圖中的最後一列數字,就可 以一目瞭然地看出其中所列全部項目中最大的交易數是蒙哥馬利 集團的
285,000.它湊巧是這一列數字中第一個數字大於 1 的唯

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圖 2 紐約證券交易所的行情表
一的一個六位數.你可不必 讀出其它位數 就可知道它是 最大 數.
這在其他任何數字方法中就不能做到.例如,有兩個數字:
XVIII 和 XL.兩個符號的數字比五個符號的數字大兩倍多. 當然,阿拉伯數字系統也有不足之處,它除數值而外沒有更多
的東西.每個數字僅有一個數值,每個數位亦僅有一個數值.要 是遺漏了一個數字或是寫倒了一個數字的位置,就會使人不知所 措,比如,把 redundancy(多餘)這個詞中的一個字母漏寫,變成
redundncy,幾乎人人都會馬上知道它的正確拼法應該怎樣;或者
把其中兩個字母寫顛倒,變成 rednudancy,大家也能看出錯誤並 能加以原諒.
但如果把 2835 中的一個數字 8 漏寫而變成 235,或者把其中 二個數寫顛倒而變成 2385,就無法察覺任何錯誤的痕跡,也沒有 任何重新找出正確數值的辦法.
順便提一句,該圖表明 1929 年著名的股票市場大跌價.米德 蘭鋼鐵公司下落了 60 點,默裡公司則從一年的最高點 100□掉到
了 20.噢,好傢伙!

當然,今天我們所使用的阿拉伯數字是 1,2,3,4,5,6,
7,8,9 以及極端重要的一個 0.我們今天對這些數字是如 此信賴(它們目前已為全世界所接受),甚至我們還沒有意識 到對它們依賴到何種程度.比如,如果這一章對你說來好像
顯得十分空洞,那恐怕是我從頭至尾都小心地避而不用阿拉 伯數字的緣故.
大家都知道阿拉伯數字對算術運算帶來了極大的簡潔 性,正因為出現了零,它們給人類的腦力所解除的不必要的 負擔簡直是無可估量的.這一事實在英語中也未被忽視.零的
重要性反映在這樣一個事實中,當在我們進行算術運算時, 我們說我們是在「ciphering(計算)」(用一個目前已顯得陳舊 的術語來說).而當我們在譯解某些密碼時,我們說我們是在

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deciphering(破譯)」1. 因此,如果你再看一下本章的標題,你就會發現,我並
不是在咬文嚼字.我是從文學角度意味著的.從無開始計數! 「無」的符號使世界整個兒地改了觀!

2 二進制,十進制,及其互換

自從我覺得(內心暗自思忖)自己不擅長解數學難題以 來,總是為我自己的才華不濟而感到暗自驚訝.誠然,許多摯 友都給我作了解釋,說在我的內心深處有一種巧妙隱藏著的 笨脾氣,但這種說法我卻從未接受過.
不幸的是,捨此而外我又提不出其他的解釋. 你一定想像得出,當我偶然解開一道自己能找到答案的
難題時,我有多麼開心.在我還很年輕的時候,曾湊巧有這麼 一件事,一直使我終生難忘,現讓我較為詳細地說給你聽,因 為這件事能把我帶到我要說的問題上去.
問題的內容是這樣的:隨便給你一些單位砝碼,如一克, 二克,三克,四克等等.你可以在這些單位砝碼之外選擇一個 足夠大的數字,用適當的方法把砝碼相加起來,就可以得到從
一克到一千克的任何整克數的重量.但是,用什麼辦法來選 擇單位砝碼,能以個數最少的砝碼來做到這一點呢?
我就這樣來推理: 我必須從一克重的砝碼開始,因為只有用它才能稱起一

1 cipher 的原意為「零」,來自阿拉伯文 sifr,後轉義為動詞,具有「計算」的意義, decipher 是它的反義詞.轉義為「破譯」,作者以此說明阿拉伯數字對英語的影響. 譯者注.
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克的重量.現在,如果再取另一個一克重的砝碼,我就可以用
這兩個一克重的砝碼稱起二克的重量,然而,我可以取一個 二克重的砝碼來代替兩個一克重的砝碼,這樣可以更省事些, 因為這時我不僅可以用它來稱起一克的重量,而且可以使用
這個二克重的砝碼加上一個一克重的砝碼來稱起三克的重 量.
接著怎麼辦呢?也許取一個三克重的砝碼吧?那是多餘 的,因為三克的重量已經可以用二克加一克來稱出.因此我 就可以跳過一步而選取一個四克重的砝碼,這就不僅能使我
稱起四克的,也可以稱起五克(四克加一克),六克(四克加二 克)和七克(四克加二克加一克)的重量.
際此,我就看到了一個規律,如果我所能達到的最大重量 是七克,則下一步我就可以取一個八克重的砝碼,這就使我能 稱出十五克(八克加四克加二克加一克)以下的任何整克數,
再下一步將是取一個十六克重的砝碼,很清楚,為了稱出任 何克數,必須取一系列的砝碼(從一克開始),每取一個砝碼都 是小於它的那個砝碼的雙倍數.
這就是說,我可以用十個而且只需十個砝碼就稱出一克 到一千克的任何整克數,它們是:1 克,2 克,4 克,8 克,16 克,32 克,64 克,128 克,256 克,512 克.實際上,這些砝碼
可以一直稱到 1023 克的的重量.
現在,我們可以把砝碼丟開,只用數字來計算.用 1,2,
4,8,16,32,64,128,256,512 這些數字,而且只用這些 數字,你可以用把它們中的兩個或兩個以上相加起來的辦法表 達出直到 1,023 並包括 1,023
本身的任何整數.比如,100 這 個數就可以表達為 64 加 32 加 4.729 這個數可以表達為 512 加 128 加 64 加 16 加 8 加 1,當然,1,023 可以表達成所有這
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十個數字之和.
如果在這個數字系列中再加入 1,024 這個數,你就可以繼 續構成直至 2,047 以下的數字,如果你接著再加上 2,048,那 麼你就可以繼續構成至 4,095 以下的數字.如果下一步……
這樣,如果從 1 開始,然後無限地倍增下去,你就可以得 到一個數列,把這些數通過適當的方法相加起來,就可以用
來表示任何有限的數字.

到此為止,情況很不錯,但我們有趣的數列——1,2,4,
8,16,32,64……似乎顯得有點凌亂,肯定存在一種更簡潔 的表達方法,下面就來談這個問題.
讓我們暫且把 1 扔開,先對 2 作一番研究.如果我們這 樣做的話,可以從這樣一個重要的聲明開始,那就是 2 就是 2
(有任何異議嗎?),然後挨到下一個數,我們說 4 是 2 乘 2,8 是 2 乘 2 乘 2,16 是 2 乘 2 乘 2 乘 2,32 是……這樣,你就可 以得出一個概念了.
因而,我們可以這樣來建立數列(仍然不去理會 l):2,2 乘 2,2 乘 2 乘 2,2 乘 2 乘 2 乘 2,等等.這樣就顯出了一種 和諧的一致性和規律性,但所有那些 2 乘 2 乘 2
都會在眼前 引起厭惡.因此,使用指數方法,就可以不寫出所有的 2 而方 便地看出有幾個 2 的相乘.
這樣,如果 4 等於 2 乘 2,我們可以把它叫作 22.(2 的二 次冪,或者說 2 的平方).進而如果 8 是 2 乘 2 乘 2,我們可 以把 8 寫成 23(2 的三次冪,或 2
的立方)來記寫三個 2 的 相乘,按照這條路線繼續下去,必定可以得到 16 是 24(2 的四 次冪),32 是 25(2 的五次冪)等等.至於 2 本身,只包含一個 2, 我們可以把它叫 21(2
的一次冪).
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還有一件事,我們可以令 20(2 的零次冪)等於 1(事實 上,令任何數的零次冪等於 1 都是可以的;即 30 等於 1,170 和 1,965,2110 也都如此,但目前我們只對 20
感興趣,故令它 等於 1).
這樣,我們就可以用 20,21,22,23,24,25,26……來取代 數列 1,2,4,8,16,32,64……就各項的數值來看,它是同 樣的一個數列;不過用第二種方法來寫,多少顯得好看一些,
而且,正如我們即將看到的,要更有用一些.
我們可以用這些 2 的冪來表示任何數.上面已說過,100
可以表達為 64 加 32 加 4,就是說,它可以表達為 26 加 25 加
22.用這樣的方法,如果 729 等於 512 加 128 加 64 加 16 加 8
加 1,則它也可表達為 29 加 27 加 26 加 24 加 23 加 20.當然,
1,023 等於 29 加 28 加 27 加 26 加 25 加 24 加 23 加 22 加 21 加 20. 接著我們把這個方法系統化.我們用十個 2 的不同的冪 來表示任何小於 1,024
的數,我們理所當然地要提到所有這 些數.在表達某一個特定數字所作的加法中,如果不想使用 某一個冪,那只需把它乘以零;如果需要用它,那就乘以 1,或 是使用某個冪,或是不用它;或是將它乘以
1,或是乘以零,那
就是我們唯一的選擇. 如果用一個點來表示乘法,我們就可以說 1,023 是:1·29
加 1·28 加 1·27 加 1·26 加 1·25 加 1·24 加 1·23 加 1·22 加 1·21
加 1·20,所有的冪都用上了.表示 729,可以寫成:1·29 加
0· 28 加 1·27 加 1·26 加 0·25 加 1·24 加 1·23 加 0·22 加 0·21 加 1·20;再者 ,表示 100, 可以寫成 0·29 加 0·28 加 0·27 加
1·26 加 1·25 加 0·24 加 0·23 加 1·22 加 0·21 加 0·20.
你也許要問,為什麼要把這些用不到的冪也包括進去,既 把它們寫了進去,而又通過乘以零把它們抹去,這不是自找
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麻煩嗎?然而問題在於,如果把它們毫無例外地一律寫出來,
就可以把它們的存在視為當然,然後把它們全部抹去,只保留
1 和 0.
這樣,我們可以把 1,023 寫成 111111111,而把 729 寫 成 1011011001,把 100 寫成 0001100100.
事實上,我們可以把它加以系統化,記住冪的次序,就可 以把 1 到 l,023 的所有整數用 2 的十個冪來表達如下:
0000000001 等於 1
0000000010 等於 2
0000000011 等於 3
0000000100 等於 4
0000000101 等於 5
0000000110 等於 6
0000000111 等於 7
依次類推,直到
… … … … …
1111111111 等於 1,023
當然,我們不必把自己局限在 2 的 10 次冪以下,可以有
11 次冪,14 次冪,53 次冪,或無限大的一個數次冪,然而,寫 出無數個 1 和 0,僅僅為了表示這無數個 2 的冪中哪一個要 用,哪一個不用,確是件很繁瑣的事.因此,約定對某特定數
字,把所有不用的 2 的高次冪略去不寫,僅僅從所用的最高次 冪開始寫,並從它開始繼續寫下去.換句話說,把所有左邊無
間斷的一連串零都略去不寫,這樣,這些數就可以表示成:
1 等於 1
10 等於 2
11 等於 3
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100 等於 4
101 等於 5
110 等於 6
111 等於 7 等等 用這樣的方式,所有數字都可以用 1 或 0 的某種組合來
表示.事實上,也有一些原始的部落曾經使用過這樣的一種 記數方法.然而,文明世界最早系統地發現這一點的數學家 是大約三個世紀前的萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz).
他曾為此而大覺驚異,但又覺得心滿意足,因為他推斷說,1 表示統一,很明顯是上帝的標記,而 0 表示無,在上帝的身邊, 處於萬物的開端.因此,如果只用 1 和 0 就可以把所有的數
字都表示出來的話,那無疑是說,上帝從虛無中創造了宇宙.
儘管這種象徵叫人敬畏,但 1 和 0 的這種玩意兒對無論 哪一位實際辦事的人都未曾留下什麼印象.這也許是一個叫 人留戀的 數 學奇觀: 但 沒有哪一 個 會計人員 會 願意用
1011011001 來代替 729. 但以後突然地發現這種二進數制(也稱為「二元數系」,來
自拉丁文 binarius,意即「每次二個」)對電子計算機來說卻是 很理想的.
總之,兩個不同的數字 1 和 0 在計算機上可以通過一個 特別按鈕的兩種不同位置「開」和「關」來進行搭配.令「開」 表示 1,「關」表示 0.那末,如果機器有十個按鈕,數字 1,023
就可以表示為開開開開開開開開開開,而 729 則可表示為開 關開開關開開關關開,100 可表示為關關關開開關關開關關.
通過增加按鈕,就可用這種開關的組合來表示我們要表 示的任何數字.它也許對我們顯得相當繁瑣,但對計算機來 說卻是十分簡單.說實在的,用於計算機再也想不出比它更
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簡單的其他數制了.

萊布尼茲

哥特弗裡德·威爾赫姆·萊布尼茲於 1646 年 7 月 1 日出生於 薩松 尼的 萊 比 錫,是位罕見的 神童.他八歲自 學拉丁文,十四 歲自學希臘文,
1665 年獲得法 學學位,同時又 是外交官、哲學 家、政論作家並 試圖 作為 天 主 教徒 和新 教 徒 之間 的一 名 調 停者,間或還做 過俄 國彼 得 大 帝的顧問.1671 年他 第一 個
發 明瞭 一台 能 進 行加、減、乘、 除運算的機械.
圖 3 萊布尼茲象

萊 布 尼 茲 曾於 1673 年訪
問倫敦,此後開始從事稱之為微積分的數學分支的研究,1684 年 發表著作,差不多同時,伊薩克·牛頓(Isaac Newton)也獨立完 成了微積分的研究,但牛頓凡事總有點兒小心眼,致使他的天才
不能盡情發揮.他責備萊布尼茲是剽竊者,在這兩個人的辯護者
之間展開了長期的論戰.但實際上,萊布尼茲的發展是十分出色
的,在英國,由於堅持追隨牛頓,以致在數學方面落後了一個半 世紀.

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1700 年,萊布尼茲勸說普魯士國王弗萊德裡克(Frederick)一 世建立了柏林科學院,並出任第一任院長.然而,整個壯年時代 他差不多都在漢諾威選帝侯手下工作,1714 年,當時的選帝侯登上
大不列顛王位成為喬治(George)一世時,萊布尼茲曾熱望隨他一 起赴倫敦.
可是,做國王的並不是事事信賴別人,卻總是唯我獨尊,喬治
一世已不再需要萊布尼茲,萊布尼茲晚年已被人遺忘.於 1716 年 十一月十四日死在漢諾威,送葬者只有他的秘書一人.

然而,由於我們是人而非機器,問題就來了,我們能不 能掌握二進制?比如,我們能否在二進數和普通數字之間進行 相互換算?如果給你一個二進數 110001,它表示哪一個普通 數字呢?
其實這並不難.二進制使用 2 的冪,從其右端以 20 開始, 每向左移動一位,冪指數即增加 1.因此我們可以在數字
110001 的下方以小一號字體的數字來表示指數,比如110 0 01 .
5 4 3 2 1 0
只有 1 下方的指數是有用的,因此 110001 就表示成 25 加 24 加 20 或 32 加 16 加 1,換句話說,二進制中的 110001 在普通 數制中表示 49.
用另一種方法還要更省事些.如果願意的話,可以不管
好歹地設法把 2 的冪與普通數字配對,但並不是非此不可.這 兒有一個常規的方法可供使用,它總是靈驗的.下面讓我慢
說來.(請原諒!這個方法為什麼靈驗恕我不作解釋了). 假定要把一個普通數字換算成二進數,你可以把它除以
2,把餘數寫在一邊(如果該數為偶數,則餘數為零,如果為奇 數,則餘數為 1).再把商的整數部分除以 2,再次把餘數放 在一邊,再把新的商的整數部分除以 2,這樣重複除下去,直
到商的整數部分減為零為止.把餘數從末尾往回讀,就得出

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二進制中原來的數.
如果這聽起來好像很複雜的話,可以舉一例子來說明,就 會簡單明瞭,試以 131 為例:
131 除以 2 商為 65 余 1
65 除以 2 商為 32 余 1
32 除以 2 商為 16 余 0
16 除以 2 商為 8 余 0
8 除以 2 商為 4 余 0
4 除以 2 商為 2 余 0
2 除以 2 商為 1 余 0
1 除以 2 商為 0 余 1 這樣,在二進制中,131 就可寫成 1000011. 只需稍作練習,每個具有四年級算術知識的人都可以學
會普通數和二進數之間的相互換算.

二進制還有一個好處.就是它使普通數字的算術運算變 得特別簡單.使用普通數字,我們在低年級時要花數年來記 住 9 加 5 等於 14,8 乘 3 等於 24 等等,但是在二進制中,總
共只有兩個數字:1 和 0.因而,一次取兩個數字做加法時,它 們的和只有四種可能性:0 加 0,1 加 0,0 加 1,1 加 1.前 三個和正巧與普通數字的算術運算中完全相同,即:
0 加 0 等於 0
1 加 0 等於 1
0 加 1 等於 1
第四個和稍有不同:在普通數字的算術中,1 加 1 等於 2, 但在二進制中沒有 2 這一個數字,2 在二進制中被表示成 10, 因此,
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1 加 1 等於 10(記下 0 進 1)
可以想像,在二進制中加法將變得如何簡單,如果想把
1001101 和 11001 相加,則它們的和將為:
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 0 0 1 1 0
你可以輕而易舉地根據我剛才給你的加法表把它們換算 成普通數字(假定你已學會),你就可以看出,上述加法相當於
77 加 25 等於 102.
在你看來,要習慣於 1 和 0 實在是很困難的,記憶加法規 則簡便多了,但這抵不上失去對整個事物的聯繫的不便.對人 來說,這也許是事實.但在計算機中,開關按鈕很容易設計
成這樣的組合,使開和關能服從二進制中的加法規則.計算 機不會將大量的電子振動脈衝弄亂,並且可以通過二進制加 法在幾微秒內將數字相加起來.
當然(再回到人上來),如果想把兩個以上的數字相加起 來,最糟糕的是總得把這些數兩兩分組.如果把 110,101,100 和 111 相加,可以先把 110 和 101 相加,得到 1011,然後把
100 和 111 相加,得到 1011,最後把 1011 加上 1011 得到
10110(最後一個加法涉及到把 l 加 1 加 1,當作把 1 加入已 經是 1 加 1 的豎列中去的結果;但 1 加 1 是 10,而 10 加 1 是
11,故 1 加 1 加 1 是 11,記 1 進 l). 在二進制中的乘法甚至更為簡單.同樣,也只有四種可
能的組合:0 乘 0,0 乘 1,1 乘 0,1 乘 1.這裡,二進制中 的每一個乘法完全與在普通數字中的一樣,即:
0 乘 0 等於 0
0 乘 1 等於 0
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1 乘 0 等於 0
1 乘 1 等於 1
把 101 與 1101 相乘,可以得到
1 0 1
1 1 0 1
1 0 1
0 0 0
1 0 1
1 0 1
1 0 0 0 0 0 1
這相當於在普通數字中 5 乘 13 等於 65.同樣,計算機 可設計成通過操作按鈕的開和關以配合二進制乘法表的要 求,並以令人眼花繚亂的速度進行.

也可能建立一個以 3 的冪為基數的數制(三進制,或「三 元」數系).其數列為 30,31,32,33,34 等等(即 1,3,9,27,
81 等等),它們亦可用來表示任何指定的數字,如果允許將該 數列中每項最多使用兩次的話.
這樣,17 是 9 加 3 加 3 加 1 加 1;72 是 27 加 27 加 9 加 9. 如果想根據三進制來寫出整數的數列,它們將是 1,2,
10,11,12,20,21,22,100,101,102,110,111,112,120,
121,122,200 等等.
也可以建立一個四進制的數制,它以 4 的冪為基數,每個 冪最多可用三次;一個五進制的數制,以 5 的冪為基數,每個 冪最多可用四次,等等.
將普通數字換算成其他一種數制,只需用類似於我已在 二進制中演示過的那種方法,以三進制來說,可重複地除以
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3;以四進制來說,可重複地除以 4,等等.
這樣,我剛才已將普通數字 131 通過重複除以 2 並使用 餘數來換算成二進制數 11000001,現在如果我們以 3 來除
131,並使用餘數:
131 除以 3 商為 43 余 2
43 除以 3 商為 14 余 1
14 除以 3 商為 4 余 2
4 除以 3 商為 1 余 1 l 除以 3 商為 0 余 1
將餘數自下而上地寫出,則 131 在三進制中就可表達為
11212.
用同樣的方法,可以分別得出 131 在四進制中,五進制中 等等是怎麼樣的數字.這兒列出一張簡明表,表中給出了 131 一直到九進制中的數值:
在二進制中 11000001 在三進制中 11212 在四進制中 2003 在五進制中 1011 在六進制中 335 在七進制中 245 在八進制中 203 在九進制中 155
可以通過冪來檢驗這些數字.比如,在九進制中,155
是 1·92 加 5·91 加 5·90.由於 92 為 81,91 為 9,90 為 1,所以
81 加 45 加 5,即 131.在六進制中,335 為 3·62 加 3·61 加 5·60, 由於 62 為 36,61 為 6,60 為 1,所以 108 加 18 加 5,即 131.
在四進制中,2003 是 2·43 加 0·42 加 0·41 加 3·40,由於 43 為
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64,42 為 16,41 為 4,40 為 1,所以 128 加 0 加 0 加 3,即
131. 你可任選其餘各數,自作一番驗算.

計 算 機

計算機在當今受到輿論的非議,認為它們一無靈感二無人性. 但人們盼望的是什麼呢?他們成十億地生活在地球上,他們堅決 支持著成千億地化錢的政府(他們確實是這樣做的.每個美國人
都贊成削減政府的開支,除非這樣做會危及他們的生活方式;由於 每項削減都會損害成百萬人的生計,因此就無法作出什麼削減), 他們堅決主張龐大的企業、龐大的科學事業、龐大的武裝部隊以及
龐大的一切.這就使事情變得如此複雜,要是少了計算機,簡直是 寸步難行.
當然,計算機也會犯可笑的錯誤,但問題根子不在計算機上, 而在為計算機編寫程序或操作者身上.如果軋不平你的支票存根, 你到底責怪數制呢還是責怪你的加法技巧蹩腳?(責怪數制嗎?
那我猜想你也會責怪計算機的.)

圖 4 電子計算機
缺之人性嗎?我猜想,原始的蘇美爾人建築師也曾有過這樣

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的埋怨.在測量所建築的廟宇距離時,也會因他的年輕學徒所帶 的打結頭的繩子感到生氣和討厭,他會說,建築師應當使用他的頭 腦和眼睛,不應當依賴全無靈性的機械工具.
的確,人們對計算機所說的壞話僅僅是想當然的貌似聰明的 低劣攻擊,已經無法把計算機從社會生活中分離出去,除非是引 起災難.要是所有的計算機罷工二十四小時,你就會體會到什麼 是一個完全閉塞的國家的含義.
在充分利用了我們現代技術益處的同時又對之加以指責真是 件十拿九穩的事,不必付出任何代價.

但事情是不是到九進制為止了呢?是否還有十進制?好 吧,假定我們在十進制中寫下 131,用 10 來把它除一下:
131 除以 10 商為 13 余 1
13 除以 10 商為 1 余 3
1 除以 10 商為 0 余 1
可見 131 在十進制中為 131. 換句話說,我們的普通數制就是十進制,用 10 的一系列
冪來寫:100,101,102,103 等等.數字 131 等於 1·102 加
3·101 加 1·100 .由於 102 為 100,101 為 10,100 為 1,這就意 味著,100 加 30 加 1,即 131.
由此可見,普通的數制完全不是基本的或者基礎的記數 制.它們是建立在 10 的冪的基礎上,因為我們有十個手指, 我們是以手指開始計數的,但任何其他數字的冪同樣也能滿 足數學上的所有要求.
這樣,我們可以繼續下去,得到十一進制和十二進制.但 在這裡產生了一個困難,任何數制中的數字符號的個數(把零 算在內)都相當於用作基數的數字.
在二進制中,需要兩個不同的數字符號:0 和 1,在三進

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制中,需要三個不同的數字符號:0、1 和 2.當然,在我們熟
悉的十進制中,需要十個不同的數字符號:0,1,2,3,4,5,6,
7,8 和 9. 那末接下來,在十一進制中,就需要十一個不同的數字符
號,在十二進制中,則需要十二個不同的數字符號.可把第十 一個數字符號記作@,把第十二個數字符號記作#.在普通 的十進制中,@表示 10,而#為 11.
這樣,在十一進制中,131 為:
131 除以 11 商為 11 余 10(@)
11 除以 11 商為 1 余 0
1 除以 11 商為 0 余 1
因此,131 在十一進制中為 10@. 在十二進制中,
131 除以 12 商為 10 余 11(#)
10 除以 12 商為 0 余 10(@) 故在十二進制中,131 為@#.
如果需要的話,我們還可以再一步一步地上溯,得到 4,583
進制(把零算在內,需要 4,583 個不同的數字符號).

現在看來,使用哪一種數制都是合理的,問題在於使用哪 一種數制最為方便.隨著基數的逐步增加,數字似乎變得越 來越短.雖然 131 在二進制中是 11000001,在十進制中是 131,
在十二進制中只是@#,從八位數縮短成二位數.事實上,在 l31(或更高的)進制中,它會變成只有一位數.從這方面來 看,說明方便性增加了.誰會需要長長的數字呢?
然而,隨著基數的增加,用於構成數字的不同數字符號也 增加,這就增加了不方便.應當找到一種折衷的數制,在這種
-32-
數制中,所用不同的數字符號並不太多,而我們常用數字的
數位又不太長. 很自然地,對我們來說,似乎是十進制最恰當.記住十個
不同的數字符號,似乎不必付出太高的代價,而構成一萬以下 的任何一個數字時,最多只需使用四個數字符號就可組合了. 當然,十二進制也常常被提出來.在十二進制中,四個數
字符號的組合可以表達二萬多一些的數目,但這個好處看來 還抵不上學習掌握二個額外的數字符號所增加的困准(小學 生將不得不記住諸如@加 5 等於 13,#乘 4 等於 38 等等的
運算). 這裡,還出現了另一種說法.在談及任何一種數制時,往
往趨向於談論如 10,100,1000 之類的整數.在十進制中,10 只能被 2 和 5 整除.而在十二進制中,10(相當於十進制中 的 12)可以被 2,3,4,6
整除,這意味著十二進制更適用於商 業往來.其實,十二進制在以打(十二個)、籮(一百四十四個) 出售商品時就被應用了.因此,在十二進制中,12 即為 10,
144 即為 100. 然而,在當前計算機的時代裡,二進制顯得更有吸引力.
但二進制是一種由 1 和 0 組成的既不協調又不美觀的混合 體,因而有一種可能的折衷.
二進制和八進制有著密切的聯繫,因為在二進制中的
1000 等於八進制中的 10,或者你願意的話可寫成 23 等於 81, 因此,可以建立下列對應關係:
二進制 八進制
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 2
-33-
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
這個表格可以把八進制中的所有個位數(包括 0)同二進 制的所有三位數(包括 000)聯繫起來.
因此,任何一個二進制數字都可分拆成三個數字為一組
(需要時在左端加 0)並使用上表換算成八進制數字.這樣,二 進數 111001000010100110 就能分拆成 111,001,000,010,
100,110,即可寫成八進數 710246,八進制數字 33574 可以 寫成二進制數字 011011101111100.一旦記住了上表,換算速 度就幾乎同書寫速度一樣快.
換句話說,如果我們從十進制改變為八進制,則我們同機 器之間能有更多的相互理解,誰知道科學又會進步得多快呢. 當然,這樣的改變是不切實際的.但只要想一想,假定
起初原始人學會只用他的八個手指來計數,把這兩個笨拙又
討厭的拇指丟開的話,那該有多好啊!

3 感 歎 號!

我可以告訴你,愛情中的單相思可真是件令人痛苦的事. 事情是這樣的:我愛數學,而數學卻對我完全是冷酷無情的. 我自信數學的基礎知識倒還掌握得不錯,但一到需要敏
銳的洞察力的時候,她就去另覓新歡,對我不感興趣. 我對這一點很明白,因為間或我有興致操起紙筆探究一
-34-
些偉大的數學發現,但我所取得的結果迄今只有兩種:(1)完
全正確的發現,但卻已陳舊過時;(2)完全是創新的發現,但卻 是謬誤百出.
比如說(就舉所得第一種結果的例子來說吧),當我還在 很年青的時候,我就發現,連續的奇數之和是連續的平方數, 即:1=1,1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,等等.但
不幸的是,畢達哥拉斯(Pythagoras)1早在公元前 500 年就 得出了這個結論;我想,某一個巴比倫人早在公元前 1500 年 就知道這一點了.
第二種發現的例子可舉費爾馬(Fermat)末項定理 2. 二、三個月以前,我正好在思考這個問題,突然有一絲靈感
闖進我的天靈蓋,使我豁然開朗.我能夠以極簡單的方法來證 明費爾馬末項定理!
我只消告訴你,整整三個世紀以來,最偉大的數學家們都
為費爾馬末項定理而絞盡腦汁,他們用越來越複雜的數學工 具來驗證它,但全都失敗了.你就可以意識到,用一點也不比 普通的算術推理更複雜的方法就可以成功地解決這個問題,
這對我來說,該是多麼無可比擬的天才的靈感啊!
這種得意忘形的胡言亂語倒並沒有使我完全看不清這樣 的事實,即我的證明取決於一條假設,而這條假設是我可以輕 而易舉地用紙和筆來加以驗證的.我跑上樓,衝進書房,想把
這條假設驗證一番,並極為仔細地逐步加以推導,使我腦殼裡 所有的光輝不要受到絲毫不悅的影響.
我可以肯定,你猜對了.不消幾分鐘,我的假設就被證明

1 畢達哥拉斯,古希臘偉大哲學家及數學家,生卒年份約為公元前 580~497 年.譯 者注.
2 我不擬在此對之進行討論.只消這麼說,這個問題是現在還不能解答的最著名的 數學問題.原注.
-35-
是徹頭徹尾荒謬的,費爾馬末項定理最後還是沒有能證得,當
我失望而苦惱地坐到書桌面前時,我的光輝暗淡了下來,成了 平常不過的白晝的亮光而已.
然而,在我完全恢復常態之後,我就把剛才的那段插曲以 略帶滿意的心情回顧了一下.不管怎麼說,有那麼五分鐘的 時間,我曾以為我馬上會被公認為當代世界上最偉大的數學
家,在這麼一段時間裡,不能用言語來表達我的那種感受有多 麼美妙!
但是,總的說來,我認為正確的、舊的發現(無論多麼渺 小)畢竟要比新的、錯誤的發現(無論多麼重大)來得好.因此 我想把我在前幾天剛剛得出的一點小小的發現在你面前炫耀
一番,以博你一笑.但我可以肯定,這個發現實際上已經有三 百多年的歷史了.
不過,我卻從來沒有在任何地方看到過它.因此,我準備
把這項發現稱為阿西莫夫級數,除非讀者諸君來信告訴我: 誰、在什麼時候最早指出過這個級數,否則我就將把這個名稱 沿用下去.
首先,讓我把基本思想闡明一下.

我們可以用下式作為開端: □1+ =1 □
,其中可令 n 為任何
□ n □
□ □
整數.我們不妨用幾個整數來試一下.
若 n=1,則上式變為 □1+1 □ = 2 ;若 n=2,則上式變為
□ 1 □
□ □
2 2
3
□1+=1 □ 或 □ =3 □ 或 9
等於 2.25;若 n=3,則上式變為 □1+=1 □
□ 2 □
□ 2 □ 4
□ 3 □
□ □
或 □ 4 □ 或
□ □
□ □ □ □
64 ,等於 2.3074.
27
我們可以把一些不同的 n 的值代入上式,製成表 l:
-36-
表1 向 e 的趨近

n □1+1 □ n

□1+1 □
□ n □
□ n □
□ □ □ □

1 2 10
2.5936

2 2.25 20
2.6534

3 2.3074 50
2.6519

4 2.4414 100
2.7051

5 2.4888 200
2.7164

可以看到,n 的值越大,則 □1+1 □ 的值也就越大,然而,
□ n □
□ □
隨著 n 的增加,該式的值的增加變得越來越慢.當 n 從 1 增 加一倍變為 2 時,該式的值增加 0.25 但當 n 從 100 增加一倍 到達 200 時,該式的值只增加 0.0113.
該式的連續的值形成一個「收斂級數」,它不斷趨近一個 確定的極限值.即 n 的值越高,該式的值就越接近某個極限 值,但永遠不會等於這個數值(更不要說是超過它了).
已證明當 n 無限遞增時, □1+1 □ 的極限值是一個無窮小
□ n □
□ □
數,習慣上用符號 e 來表示.
事有湊巧,e 這個數對於數學家們來說是極為重要的,他 們已用計算機對它作了計算,直到小數幾千位.寫出它的五 十位小數也許夠了吧?好,讓我把 e 的值寫在下面:
e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995……

你可能會奇怪,數學家們怎樣把該式的極限算到小數 後 而這麼多 位的呢?即使我們把 n 增加到 200 ,解出
200
□1+ 1 □
,也只能得出 e 的精確到小數二位的值.我也無
□ 200 □
□ □
法使 n 到達更高的值了,我是用我圖書館裡最好的數學用

-37-
表——五位對數表來解 n=200 時這個方程的,在這種情況 下,對於解出 n 超過 200 時的值,這些對數表是不夠精確的. 事實上,連我本人對自己所算出的 n=200 時的值也是半信半 疑的.
幸而,另有一些可以確定 e 值的方法.試考察下面的級 數:

2 + 1 + 1 + 1 + 1 +

1 + "
2 6 24 120 720
就我在上面所給出的幾個數來說,這個級數共有六項,其 逐項之和為:
2= 2

2 + 1 = 2.5
2
2 + 1 + 1 = 2.6666……
2 6
2 + 1 + 1 + 1
= 2.7083333……
2 6 24
2 + 1 + 1 + 1 + 1
= 2.7166666……
2 6 24 120
2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
= 2.71805555……
2 6 24 120 720
換句話說,用六個數字作一個簡單的加法,就可以完全不 需要對數表而求出精確到小數後面三位的 e 的值.
如果在上述級數中再加入第七項,然後第八項等等,就可 以獲得 e 的準確到令人吃驚的更多的小數位數.其實,計算 機所獲得的 e 的直到小數幾十位的值,也是用了上述級數,將
級數中的幾千項分數相加面得出的.
但如何說出該級數的下一項是怎樣的一個分數呢?在一

-38-
個有用的數學級數中,應當有某種方法來根據前幾項推出每
一項. 假定 某級數 就前 幾項是 1 + 1 + 1 + 1 + " ,那 麼就
2 3 4 5
可以毫無困 難地把以後 的各項寫出 來 " 1 + 1 + 1 + "" ;
6 7 8
同樣,如 果 一個級數 的 前幾項是 1 + 1 + 1 + 1 + "" ,也
2 4 8 16
能夠有把握地寫出其後的各項:" 1 + 1 + 1 + "
32 64 128
實際上,一些數學愛好者也經常玩一種有趣的遊戲,就是
給出一個級數的前幾項,然後要你說出它的下一項,這兒有 兩個簡單的例子:
2,3,5,7,11……
2,8,18,32,50…… 由於第一個級數是一系列連續的素數,顯然下一個數就
是 13;而第二個級數則由這樣的一些數組成,它們是各連續 整數的平方的二倍,故下一項就是 72.
但我們又怎樣來對付這樣的一個級數

2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + "
2 6 24 120 720
它後而的一個數又是什麼呢? 如果你知道的話,答案當然是顯然的,但如果你過去並不
知道,那麼你曾否親自把它找到過呢?而你現在仍不知道的 話,你有辦法把它找出來嗎?

為了說得直截了當些,讓我把話題來個大拐彎. 你們都讀過多洛錫·塞爾斯(Dorothy Sayers)1的小說

1 多洛錫·塞爾斯,英國散文家、劇作家和小說家,公元 1893~1957 年.譯者注.
-39-
《九個裁縫》嗎?我在很多年前曾讀過這本書,這是一部謀殺
小說,但書中所講的謀殺、人物、情節以及其他內容我都已忘 得一乾二淨了,只記得其中的一件事,這件事與「打鍾遊戲」有 關.
顯然(我是在讀那本書的時候慢慢地得出的),在打鍾游 戲中,我們從一組可以打出不同音調的鍾著手,每人拉著其中 一口鐘的繩子,依次打響這些鍾:do,re,mi,fa 等等.接著,
大家再以不同的次序來打響這些鍾.然後,大家再以另一種 不同的次序來打響這些鐘,然後,再以又一種不同的次序來 打……
可以這麼打下去,直到這些鍾所可能打出的所有次序(或
「變化」)全都打出為止.在打鐘的時候,必須遵循一定的規則, 比如說,每口鍾打的順次與其在上次打的順次相比不能超過
一個順次,在各種打法變化中有不同的改變順次的方法,這些 方法本身就是頗有趣的,然而我在這兒所關心的只是與一定 數目的鍾相聯繫的所有可能的變化的總數.
讓我們用感歎號來作為鐘的特號,(!)表示鍾舌,這樣我 們就可以把一口鍾寫成 1!,把兩口鍾寫成 2!,餘者類推.
若鍾數為零,則只有一種打法——不打,因此 0!=1,鍾數 為 1(假定有鐘的話,則此鍾必打),也只有一種打法——「堂」 因此 1!=1.若鍾數為二,即 a 和 b,則有兩種打法:ab 和 ba,故
2!=2.

教堂的鍾

我在正文中用來說明階乘數的鍾在各種文化中都是極為普通 的東西,在我們的文化中,與鍾關係最密切的是教堂.在現代時計 發明之前的日子裡,用打鍾來向全體居民報告時間,比如通知居民
們作祈鑄等,是一種普遍使用的辦法.1974 年我曾在英國牛津呆
-40-
過,一個星期天早上,鐘樂開始奏響了,然後就奏個不停,其聲音之 響簡直無法言喻,正如有一次羅伯特·海因萊因(Robert Heinlein) 說的:「哪一個夜總會
要是只發出那怕是它 的一半響聲的話就會 因為公害的罪名而馬 上被迫停業.」
鍾還可以在火災 時或敵軍進犯時等等
作為報警之用.在雷 雨時也經常打鐘,企 圖似此驅散雷電,由 於在中世紀的城鎮或 早期的新式塔樓中, 教堂的鐘樓往往是最
高的建築物,故它常
常為雷電所擊,打鍾

非但不能驅散雷電, 相反有許多打鐘師被 雷電擊斃.

圖 5 教堂的鍾
至於對打鍾遊戲來說,我在正文中說到的「九個裁縫」所 打出的變化數根本算不上是最多的.在打鍾遊戲中可以用到多
達十二口鐘,用那麼多的鍾來打出的變化數才能稱得上是「最多
的」. 事情也許是這樣,因為對於十二口鐘,除了打出它的一部分
的變化外別無他法,把十二口鍾中的每一種可能的編排次序全都 挨次打到的話,每口鍾就將會有 479,001,600 種不同的打法.打鍾 遊戲「最少的」可由四口鍾來做,只需三十秒鐘就可以把這組鍾
的所有變化全都打完,而「最多的」得花上四十年!
打鍾遊戲與英國的教會關係尤為密切,它原先是一種紳士們
的娛樂活動,故《九個裁縫》一書中說到彼得·溫姆塞勳爵打響 了一口中音鍾.

-41-
三口鍾 a、b、c 可以有六種打法:abc、acb、bac、bca、cab
和 cba,此外不能再有別的打法了,故 3!=6.四口鍾 a、b、 c、d 可以有二十四種不同的打法.我不準備在這兒把這些打法 全部列出,你可以自己這樣開始編排一下:abcd、abdc、acbd 和
acdb,看看還能列出多少種的變化.如果你能列出四個字 母的二十五種截然不同的排列次序,你就動搖了數學的整個 基礎.但我認為你是做不到這點的,總之,4!=24.
同樣(把我所說的方法再用一下),五口鍾可以打出 120
種不同的變化;六口鍾可以打出 720 種不同的變化,故 5!=
120,6!=720. 我想你現在已經看出規律來了.如果我們再觀察一下給
出 e 值的級數: 2 + 1 + 1 + 1 + 1 +
1 + " 並把它寫成:
2 6 24 120 720
e = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + "
0! 1! 2! 3! 4! 5! 6!
這樣,就可以知道如何得出式中以後的一些分數,它們是:
" 1 + 1 + 1 ,等等,無窮繼續下去.
7! 8! 9!
要得出 1 , 1 和 1 這樣一些分數的值,必須知道 7!,8!
7! 8! 9!
和 9!的值,而要知道這些值又必須算出七口、八口和九口 一套的鍾能夠打出不同變化的數目.
當然,如果打算把所有可能的變化都列出並把它們數上 一數.怕得化上整整一天的時間;不僅如此,而且還會把你搞 得稀里糊塗、頭昏腦脹.
因此,讓我們來找找看,有沒有更為迂迴的方法.

我們還是先從四口鍾說起,因為鍾數再少便不存在什麼

-42-
問題了.我們首先應該打哪一口鍾呢?當然,四口鍾中隨便
哪一口都行,所以我們對於第一口鍾就有四種可能的選擇,對 於這四種選擇中的任何一口,都可以選擇餘下三口鍾中的任 何一口(即除了已選定為第一口之外的那幾口鍾)作為第二口 鐘,因此,對於前面兩口鐘,就有
4×3 種可能性.我們對於 這些選擇中的每一種都可以選擇餘下的兩口鍾中的任何一口 放在第三位,因此對於前面三口鐘,就有 4×3×2 種可能性. 對於這些可能性中的每一種,只剩下一口鍾可以放在第四位.
因此對於所有的四種位置,有 4×3×2×1 種排列.
那麼,我們就可以說,4!=4×3×2×1=24. 如果我們求出任意口數鐘的可能的變化,我們將得出同
樣的結論.比方說,對於七口鐘,其變化總數是 7×6×5×4
×3×2×1=5,040.我們可以說,7!=5,040.
(用於打鍾遊戲的鍾數一般為七口,稱為一套「諧音調的 鍾」.如果每 6 秒鐘把所有的七口鍾都打上一遍,這樣,要把 這一套鐘的所有變化全部打上一遍即 5,040 遍的話,就得化
上八小時另二十四分鐘的時間,而且這還是理想的情況,即 打的時候還不准出錯.所以說打出變化還不是件容易的事 哩!)
其實,符號「!」並不真正表示「鍾」(這僅僅是我為了引入 話題而自已設想出來的一種方法).在這種情況下,它代表「階 乘」這個詞,即 4!是「四的階乘」,7!是「七的階乘」.
這些數字並不僅僅表示一套鍾所能打出的變化,也可以 表示若干張紙牌所能洗出的次序,或若干人在桌子邊所能排 出的座次,等等.
我從來沒有見到過關於「階乘」這個術語的解釋,但我可 以給它一種在我看來顯得頗為合情合理的解釋.由於 5,040=
-43-
7×6×5×4×3×2×1,它可以被其中所含的 1 到 7 這七個
數中的每一個數整除.換句話說,從 1 到 7 的每個數字都是
5,040 的因子,那麼,為什麼不能把 5,040 稱為「七的階乘」
(七個因子的連乘積)呢 1?
我們可以推而廣之,從 1 到 n 的所有整數都是 n!的因 子,因此為什麼不把 n!叫做「n 的階乘」呢?

現在,我們可以看到,用級數來決定 e 的值,確是一個 很好的方法.
階乘數的值以極大的速度增加著,從表 2(僅僅只到 15!) 就可以清楚地看出這一點.

表 2 階乘數值

0 1 8
40,320
1 1 9
362,880
2 2 10
3,628,800
3 6 11
39,916,800
4 24 12
479,001,600
5 120 13
6,227,020,800
6 720 14
87,178,291,200
7 5,040 15
1,307,674,368,000

隨著階乘的值迅速增加,以階乘值為分母的分數值就必
然急劇遞 減.在達到 1 的 時候,其 值僅為 1
而在 達 到
6! 720
1
15!
的時候,其值要比一萬億分之一更小得多.

以這些階乘為分母的分數,每一項都大於該級數其後所

 

1 英語中「因子」一詞為 factor,「階乘」一詞為 factorial,兩者從拼法上看來有聯 系,故作者作此解釋.譯者注.
-44-
有各項之和 ,即 1
大於 1 + 1 +
1 " 等等、等等無窮
15!
16! 17! 18!
項分數全部加在一起的和.而且隨著級數的向後遞進,某一 項分數在該項與其後所有項分數的總和中所佔的比重也在增 加.
因此,假定我們把該級數之和一直加到 1
14!
,其值比該
級數實際值少 1
+ 1 + 1 +
1 等 等 、等等.然而,我們可
15! 16! 17! 18!
以說,其值比實際值少 1
15!
,因為該級數的其餘各項之和與 1
15!
相 比之下 是微 不足道 的 ,而 1
15!
的 值 又 小 於 一 萬億分之一,
換句話說,小於 0.000000000001,故把一打稍多些的分數相
加,所得的 e 的值就能精確到小數十一位.
假定我們把該級數的各項相加一直到 1 ( 當然是用 計
999!
算機),如果這麼做的話,我們所得的值就比 e 的 的實際值少
1
1000!
, 要知道這個數有多大,只須對 1000!的值有多大有
個概念就可以了.可以通過 1000×999×998…等等來把它計
算出來,但我奉勸大家切勿嘗試,那得花上不知多少時間呢.
幸好,有一些公式可以求得大的階乘值(至少是近似值),
還有一些給出這些大階乘值的對數表. 可以查得,log1000!=2,567.6046442,這就是說,1000!=
4.024×102567 或(近似地)在 4 的後面跟上 2,567 個零.如果
e 的值被算到 1
,則其值比實際值只少 1
,所獲得的
999!
4 ×102567
e 的值將精確到小數 2,566 位(我所知道的 e 的最佳值已被
計算到小數 60,000 位以上).

-45-
恕我再離題一次,因為我想起我對中等大小的階乘值曾 有過一次切身的應用.那時我在軍隊,有一個時期,我曾整天
同三個病友泡在一起,整日整夜玩橋牌,有一天,一位牌友用 拳頭狠捶了一下牌桌,打斷了牌局,嘴裡說道:「我們玩了這麼
多付牌,我手裡又開始抓到同樣一付牌了.」真是謝天謝地,因
為這麼一來,就有了可供我思考的東西了. 橋牌桌上牌的各種次序意味著每人抓到牌的各種不同的
可能性,由於牌的張數為 52,故排列的總數共有 52!種.然
而,在每人抓到的某一付的十三張牌總是同一回事,而每人抓 到的十二張牌的排列總數共有 13!,且對所有四位牌手來說,
這個情祝都是一樣的.因此,玩橋牌者手中牌的組合總數等
於 52 張牌的排列總數除以那些與次序無關的排列的總數,或 者說,等於:
52!
(13!)4
我手頭沒有數學用表,因此只得全部靠筆算來做完這長 長的計算.但這並沒有使我感到掃興,因為把自已的時間全 部用於自已的愛好,要比用在打橋牌上更使我愉快.我早已
遺失了當初得出的答案,但現在我可以借助數學用表來把它 再重算一遍.
52!的數值大約是 8.066×1067,13!的數值大約是(可從
我給出的上述階乘表內查出)6.227×109,而該值的四次方約 為 1.5×1039.若將 8.066×1067 除以 1.5×1039 得出可能的 不同牌局的總數約為 5.4×1028 或
54,000,000,000,000,000,
000,000,000,000 或 5,400 億億億局. 我把這個結果對牌友們說了,我說:「看來我們是不會再
次碰到已經打過的那局牌的,如果每秒鐘玩一萬億盤牌,那麼 連玩十億年也不會碰到一盤重複的牌.」
-46-
但是我得到的報應是遭到了徹頭徹尾的懷疑.那位起先
抱怨的朋友很和氣地對我說:「但是朋友,你知道,牌只有 52 張啊!」說著就把我領到軍營裡的一個僻靜的角落,要我在那 裡冷靜一會兒.
實際上,用來決定 e 的值的級數僅僅是某一般情況的一 個特例.可以表示為:
0 1 2 3 4 5
ex = x
+ x + x
+ x + x
+ x + ""
0! 1! 2! 3! 4! 5!
由於對任何的 x 值來說,都有 x0=1,且 0!與 1!均等於
2 3
1,故通常把上述級數的開頭表示為: ex =1 + x+ x
+ x + " ,
2! 3! 但我還是喜歡我在上面給出的那種表達式,它比較對稱和美 觀.
現在,可以將 e 本身表示為 e1,這時,一般級數中的 x 變 為 1.由於 1 的任何次冪均為 1,故 x2、x3、x4 以及 x 的全部 其餘次冪均為 1,級數就變成:
e1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ""
0! 1! 2! 3! 4! 5!
它就是我剛才所研究過的級數.
現在我們來考察 e 的倒數,即 1 ,其數值的小數十五位
e
為:0.367879441171442……

紙 牌

由於階乘數目的迅速增加,故有可能只用五十二張紙牌來玩 無數(說「無數」,是相對於有限的人生而言的)盤的牌.
其實,唯一的另一種普通的紙牌遊戲是「匹諾克爾(pinochle)」,
它是用兩付牌來打的,每付牌中只取出各種花色的 A、K,Q、J、10
和 9 六張牌,六八四十八,共計只有四十八張牌,這樣,階乘的數
-47-
目自然要少得多,況且由於兩付牌花色的重複,更減少了可能的 不同組合數,這意 味著在打匹諾克爾 時可能出現的不同 的組合數只有平常 紙牌遊戲中可能的 不 同 組 合 數 的
1/312,000,000 ,即 使這樣,這個相對 較少的數目仍足以 保證人們在玩匹諾
圖 6 紙牌
克爾時不必擔心碰 到重複的牌局.
紙牌遊戲今天在世界上流傳得如此普遍,但不知為什麼,人們 總有這麼一種想法,覺得它一定是一種古老的、甚至是一種史前的
娛樂.可是事實並非如此,它是中世紀時發明的,可能起源於遠東,
在十二世紀中傳入歐洲.也許是馬可孛羅(Marco Polo)1或是吉 卜賽 2人,或是阿拉伯遠征者帶至西方,但事實究竟如何,恐怕沒 有人能說確切了.
更奇怪的是,今天我們認為是理所當然的紙牌的兩個特點,看 來是近來的變化,一個特點是在紙牌的左上角和右下角畫上小的 標記,這樣只須露出牌的一角就可以認出這張牌來,如上圖.另
一個特點是上下的中心對稱,這樣無論怎樣來拿一張牌,它的右
邊總是向上的.如果沒有這些變化,在打牌的時候將會覺得極為 不便.
在紙牌被用作機遇遊戲之前,間或也用它來算命即打「塔洛脫」
(tarot)」牌.

由於 1 可以寫成 e-1,這意味著在 ex 的一般公式中,可
e
用-1 來代替 x.

1 馬可孛羅,意大利旅行家,曾遠遊東方,公元 1254?~1324 年.譯者注.
2 吉卜賽人,原為西亞一流浪民族.現散居亞、非、歐、美洲各地.譯者注.
-48-
對-1 的冪來說,其答案是,-1 的偶次冪等於+1,其
奇次冪為-1.即:(-1)0=1,(-1)1=-1,(-1)2=+1,
(-1)3=-1,(-1)4=+1 等等,余類推. 如果在一般的級數中令 x=-1,則:

0 1 2 3 4
e□1 = ( □ 1)
+ ( □1)
+ ( □1)
+ ( □ 1)
+ ( □ 1) "
0! 1! 2! 3! 4!

或 e□1 = 1 + ( □ 1) + 1 + ( □ 1) + 1 + ( □1) "
0! 1! 2! 3! 4! 5!

或 e□1 = 1 □ 1 + 1 □ 1 + 1 □ 1 + 1 □ 1 "
0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!

換言之,即 1 的級數與 e 的級數十分相像,只有所有的
e
偶數項從加號改變為減號而已.

進而, 由於 1 與 1 均等 於 1,則 1 級數的 前二項 :
0! 1! e
1 □ 1 相當於 1-1=0,故可將它們略去不寫,我們可以得
0! 1!
出:
e□1 = 1 □ 1 + 1 □ 1 + 1 □ 1 + 1 □ 1 + 1 "
2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10!
等等,余類推.

 

-49-
最後,讓我們回頭來談談我個人的發現吧!當查看我剛
才給出的 e-1 的級數時,我不禁想到加號和減號的交替出現 是美中不足.能不能找出一種方法,使之表達成只帶加號或 只帶減號呢?
由於象 □ 1 + 1 這樣的式子可改寫成 □ □ 1 □ 1 □ ,所以我
3! 4!
看可以把上式改寫成下列級數:
□ 3! 4! □
e□1 = 1 □ □ 1 □ 1 □ □ □ 1 □ 1 □ □ □ 1 □ 1 □" 等等.
2! □ 3! 4! □ □ 5! 6! □ □ 7! 8! □
現在我們就只有減號了,但也出現了括號,這又是一種有 礙美觀的東西.
因此我對括號裡的內容進行了考慮.第一個括號內包括

兩項: 1 □ 1 ,它等於 1

□ 1

,即等於 4 □ 1
3! 4!
3 × 2 ×1 4 × 3× 2 ×1
4 × 3× 2 ×1

或 3 ,同樣可得 1 □ 1 = 5 ; 1 □ 1 = 7 等等.
4! 5! 6! 6!
7! 8! 8!
我感到驚異萬分,又高興得難以形容,因為現在我得到 了阿西莫夫級數,那就是:
e□1 = 1 □ 3 □ 5 □ 7 □
8 " 等等,直至無窮.
2! 4! 6! 8! 10!
我敢肯定說,這個級數對於任何真正的數學家來說都是
一目瞭然的;我也相信,這個級數在正式文章中描述已有三百 年了,但我卻從來沒有見到過這個級數.因此,我打算把它 稱作阿西莫夫級數,直到有誰站出來阻止我為止.
阿西莫夫級數不僅只含有減號(除了在第一項前面有一 個未寫出來的正號外),而且依次包括著所有的數字,你再也 找不出比它更美的式子了.現在讓我們把這個級數的前幾項
-50-
算出來,以作本文的結束吧:
1
2!
1 □ 3
2! 4!
1 □ 3 □ 5
2! 4! 6!
1 □ 3 □ 5 □ 7
2! 4! 6! 8!
=0.5

=0.375

=0.3680555……

=0.3678819……
可見,只消把這個級數的前四項相加,便可以得到一個
僅比其精確值達 0.0000025 的答數,其誤差比 150,000 分之一
稍大一些,大約為 1 % .
1500
因此,假定你認為標題的「感歎號」僅僅指階乘符號的話,
你就錯了.它甚至更能表達我對阿西莫夫級數的樂趣和驚奇.

又及.為了把阿西莫夫級數中未表示出來的那個正號 除 去,一位 讀者(在本章初版後)建議將該級數寫成
( )
□ □ 1
0!
□ 1 □ 3 " ,則所有各項將全部為負,即使第一項也不
2! 4!
例外.不過,如果照此辦理,就不得不把自然數的領域進行 擴展,使之包括 0 和-1,而這將對級數的樸素美略有損害.
另一條建議是用 0 + 2 + 4 + 6 + 8 …… 來表示 1 ,使它
1! 3! 5! 7! 9! e
只含有正號,它看上去比負號更美觀些(在我看來),但從另 一方面來說,它也包括了 0.
還有一位讀者提出了一條與 e 本身相似的級數,這條
級數是這樣的: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 …… ,但這樣做就把
1! 3! 5! 7! 9!
-51-
自然數的次序顛倒過來了,也由於它的次序略顯凌亂而稍為
遜色,但它卻給級數以某種美的感覺,是嗎? 唉,要是數學也像我愛她那樣鍾情於我,該有多好啊!

4 T 形 數

有人指責我,說我對於大數有一種狂熱,這倒一點也不 假.我不想否認這種癖好,不過,我能不能說一下,我並不是 唯一喜愛大數的人呢?
舉個例吧,在一本題為《數學和想像》(1940 年出版)的 書中,作者愛德華·卡斯納(Edward Kasner)和詹姆士·紐曼
(James Newman)引入了一個名叫「googol」的大數,這個數 既大且好,很快就被著書撰文者採用在數學普及文章中.
就本人而言,我並不喜歡這個糟糕的名字,但這是一位作 家的小孩發明出來的,你想那位驕傲的父親會不為此高興嗎? 因此,我們就不得不永遠為這種兒語般的數字而受苦了.
googol 是這樣的一個數,即在 1 這個數字後而跟上一百 個零.現在我把 googol 這個數完整地寫出來(要不是我數錯 了零的個數,或者印我文章的諾貝爾印刷廠干了蠢事,那就一 定錯不了):
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000.
顯然,用這樣的方法來寫出一個 googol 是夠笨的了,但 對我們以 10 為基數的數制卻是適用的,在十進制中,要寫出
-52-
大數,我們只要乘上 10.因而,一百就是十乘十,並寫成 100, 而一千則是十乘十乘十,並寫成 1000,等等.數中的零的個 數等於乘上十的個數.那麼,1 後面跟上一百個零,即 googol,
就相當於一百個十乘在一起.這也可以寫成 10100,由於 100
是十乘十或 102,故 googol 又可以寫成10102 . 當然,這種指數形式的記法(其右上角的小數字即是「指
數」)是相當方便的,隨便哪一本數學普及讀物都會把googol 寫成 10100.然而,對於任何喜歡大數的人來說,googol還只 是大數的開頭,即使這種大數的簡短寫法還是不夠簡便的 1.
因此,我為記寫大數制定了自己的一套系統,我打算利用 這一章作為介紹這種記法的機會(請不要走,在我講完之前, 請誰也別離開!).

在我看來,麻煩在於我們是用 10 這個數字來構成大數 的.我覺得,對於穴居的原始人來說,這是夠大的,但我們現 代人已經複雜得驚人,我們知道很多比它更好的數字.
比如,目前美利堅合眾國的預算大約是每年 100,000,
000,000 美元(一千億美元)左右,就是說,1,000,000,000,000
銀角子(一萬億)2. 那麼,我們為什麼不把一萬億這個數字作為基數呢?當
然,我們不能想像出一萬億是多大的一個數目,但為什麼就 止步不前了呢?就是 53 這麼個數目,我們也是無法想像出來 的,舉例說,要是有人把一堆東西放在我們面前,說它們總

1 用美國術語來說,googol 的確切意思是一萬億億億億億億億億億億億億.但十分 遺憾,我敢說,這個名字永遠也不能取代 googol.原注.
2 本文初版於 1963 年八月,此後美國預算增加了三倍,超過了三萬億銀角子.我們 不是倒霉了嗎?這裡順便提一句,本書所加的附註放在括號內,以示與初版時所 列數字的區別.原注.
-53-
共有五十三個,如果不數一下的話,我們就說不出他所說的數
目是對還是錯.這就使一萬億並不比五十三來得更不現實, 因為我們對這兩個數都不得不數上一番,而兩者又同樣是可 以計數的.當然,要把一萬億數一下,那得花上比數一下五十
三多得多的時間,但計數的原則是一樣的,而我是(也許有人 會告訴你)一個講原則的人.
重要的是把一個數目同一些可以把握得住的物體聯繫起 來 ,這 一點我 們也己 經做 了 .1,000,000,000,000 這 個數目 大 約 同善良快活的山姆大叔每年從你我口袋中掏走(我有時
頗帶怨氣地認為,大部分是從我的口袋裡掏去的)用於建造 導彈和治理政府、國家的銀角子的數目相等.
然後,一旦我們在頭腦裡牢固地建立了一萬億是多大一 個數目,那麼只要略加想像就可以知道一萬億個一萬億是怎 樣一個數目,一萬億個一萬億個一萬億是怎樣一個數目,等
等.為了使我們在說這麼一些一萬億的時候不致結結巴巴, 可以使用一個簡明的方法,就目前所知,這個方法還是我首創 的呢 1.
讓我們把一萬億稱為 T-1,一萬億個一萬億稱為 T-2,一 萬億個一萬億個一萬億稱為 T-3,用這個辦法來構成一些大 數(即標題的「T 形數」.當然,你不會以為是足球隊的 T 形隊 形吧?).
我們不妨看一下如何使用這些數字吧.我剛才說過,T-1 即用於治理美國一年的銀角子數,那麼,T-2 就表示治理美 國一萬億年所用的銀角子數.由於這段時間無疑要比美國所

1 其實,阿基米德曾建立過一個以一萬為基數的數制,並使用一萬萬、一萬萬萬等
說法.但一萬隻有 10,000,而我所用的是 1,000,000,000,000,因此我不認為阿基 米德對我的創造有什麼影響,此外他只不過比我早了不到二十二個世紀.原注.
-54-
能存在的年數來得長得多(如果允許我用這個不大愛國的說
法),而且很可能要比地球這個行星所能存在的時間要長.可 見,用阿西莫夫的 T 進數的話,根本用不到 T-2.就早已把財 政方面的應用全都包括進去了.
不妨再試試其他的應用,任何物體的質量與其所含有的 質子和中子數成正比,這兩種粒子可以統稱為核子.T-1 個 核子所構成的質量是極小的,即使用最好的光學顯微鏡也遠
遠看不到,而 T-2 個核子也只能構成 1 2 克重或 1 英兩重的

物質.
3 16
現在我們似乎有機會把 T 數尺的刻度往上移動了.比如,
T-3 個核子的質量到底有多大?由於 T-3 是 T-2 的一萬億倍, T-3 個核子就能構成重 1.67 萬億克的物質,或者略少於兩百 萬噸.也許它並不比我們所想像的來得更多些.
事實上,T 形數的增加速度叫我們吃驚.T-4 個核子相 當於地球上所有海洋的質量,T-5 個核子相當於一千個太陽 系的質量.如果你硬耍繼續增加上去,T-6 個核子就相當於
一萬個我們銀河系這樣大小的質量,T-7 個核子的質量要遠 遠地、遠遠地超過整個已知宇宙的質量.
當然,核子並非原子中唯一的亞原子粒子,但即使我們把 電子、介子、中微子以及所有其他亞原子結構的粒子全部放進 去,我們還是到不了 T-7.總之,在可見的宇宙中各種亞原子 粒子的總數仍然遠遠少於
T-7.
很明顯,T 進數制是表示大數的一種強有力的方法.那 末,它又怎樣構成 googol 的呢?好,讓我們考慮一下普通 帶指數的數與 T 進數的相互換算的方法,T-1 等於一萬億或
1012,T-2 等於一萬億個一萬億或 1024,余類推.這樣,你只
-55-
要把指數除以 12 就得到 T 進數的數字部分;只要把 T 進數
的數字部分乘上 12 就可以得到十進數的指數.
如果一個 googol 為 10100,將 100 除以 12,就馬上可以
看到,它可以被表達為 T □ 8 1 ,注意: T □ 8 1 比 T-7 大,而
2 2
T-7 已經比已知宇宙中所有亞原子粒子的數目還要大.因此要
十萬個萬億個像我們宇宙那樣大的宇宙方能具有一個 googol
的亞原子粒子數.

看來,googol 這個數甚至對用於計數佈滿最大的已知空 間的最小的物質顆粒來說都顯得太大,那麼,這樣大的一個 數到底有什麼用處呢?
我可以回答說,其好處就在於其本身純粹的、抽像的美. 可能你們也要向我扔石子.然而且慢,讓我說清楚,在這
個宇宙裡正有比物質顆粒數量大得多的東西要計數呢. 比如,只要考慮一付普通的撲克牌.在玩牌時,我們得洗
牌,使牌按某種次序來排列,這樣就可以玩一局牌.一付牌可 以洗出多少種不同的排列次序呢?(由於在一付已洗過的牌中 基本不同的牌局數不可能多於牌的排列次序數,這個問題可 能會使你友好的牌友們感到興趣).
答案很容易得出(參見第 3 章),它大約是 80,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000,000 或 8×1067.在 T 進數中,它大約是 T □ 5 2 ,
3 只要一付普通的牌,其可能計數的排列數差不多可達到一個 銀河系中的亞原子粒子的數目.
如果不用 52 張牌,而用 70 張牌來玩——這並非不近情 理,我知道有一種叫卡那斯塔(canasta)的紙牌就得使用 108

-56-
張牌,那麼洗牌後可以得到的不同排列次序的數目就超過
googol 這個數. 因此,在分析紙牌遊戲時(更不用說下棋、經濟和核戰爭
了),就可以遇到與 googol 一樣大或甚至更大的數目. 事實上,數學家對許多不同種類的數字(具有或不具有實
際應用價值均可)感到興趣,在數學中遠遠超過 googol 的巨 大數字可以很快地達到.

比如,考慮一下中世紀最有才華的數學家萊昂納多·斐波 那契(Leonardo Fibonacci,他生於比薩,故常被稱為比薩的 萊昂納多),大約 1200 年的時候,斐波那契正值壯年,比薩是
一個繁華的商業城市,與北非的摩爾人在商業上有來往,斐波 那契就有機會訪問那個地區,並從摩爾人的教育中得益非淺.
那時,穆斯林世界已從印度人那裡學到了一種新的數制. 而其時歐洲人卻仍然為原始的羅馬數字(參見第 1 章)所苦. 斐波那契學到了這種新的數制,並在 1202 年出版的一本叫
《算盤書》的書中引進了這些「阿拉伯數字」並將其傳入歐洲. 由於阿拉伯數字比羅馬數字有用何止千萬倍,因此,只用了 一、二個世紀,就使歐洲商人們信服地改了過來.
就在這本書裡,斐波那契還提出了下面的問題:「有小兔 一對,若第二個月它們成年,第三個月生下小兔一對,以後每 月生產小兔一對,而所生小兔亦在第二個月成年,第三個月生
產另一對小兔,此後亦每月生產小兔一對,問一年後共有兔幾 對?」(設每產一對兔必為一雌一雄,而所有兔子都可以相互 交配,且無死亡.)
在第一個月,有一對未成年的兔;第二個月時兔數仍為一 對,但此時兔已成年;到了第三個月它們生下一對小兔,因此
-57-
共有兔二對,一對成年,一對未成年,到了第四個月,第一對
兔又生下小兔一對,第二對兔成年,因此共有兔三對,二對成 年,一對未成年.
如果願意的話,你可以繼續下去,推算出每個月共有幾 對兔子.但我可以馬上給你寫出兔子對數的級數,省卻你的 麻煩,它是:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144
你可以看到,到了年底,兔子的對數就達到了 144 對,這 就是斐波那契問題的解.
這個問題中的兔子對數的級數稱為「斐波那契級數」,級 數中的每個數稱為「斐波那契數」,如果你查看一下級數,你 將看到每個數(從第三個數開始)都是它前面二項之和.
這就是說,我們不必在斐波那契數的第十二項(F12)就 中止級數,只須將 F11 和 F12 相加,就可以很容易地得到 F13, 由於 89 加 144 等於 233,故 F13 等於 233.將
144 和 233 相加 將到 377 即 F14.按此辦法,我們可以繼續得到 F15 等於 610、 F16 等於 987 等等,你願意加到那一項就可以加到那一項.只
須簡單的加法,不必其他的運算,就可以得出你所需要的所有 斐波那契數.
當然,稍後,隨著斐波那契數逐漸變長,數位越來越多,加 法中發生錯誤的機會也增加了.只要在級數中的任意一項發 生一個加法錯誤,如未加糾正,則其後各項就將全部報廢.
但是,為什麼要把斐波那契級數一直算下去,算下去,直 到得出大數呢?原來,這個級數有它的用處.它與累計生長 有關,許多在實際中發生的事情就像兔子問題那樣,沿樹枝螺
旋前伸的樹葉分佈,松果上的鱗片分佈以及向日葵花盤上葵
花籽從中心向外的分佈,其排列情況都與斐波那契級數有關,
-58-
該級數亦與「黃金分割」有關,而「黃金分割」對藝術和美
學來說就同對數學一樣重要. 但除了這些之外,的確往往有一些人對大數感興趣(我無
法解釋這種癖好,但請相信,確有這樣的人).如果日日夜夜 用筆和墨水來算還不能過癮的話,我們今天已經可能讓計算 機來做這樣的工作,只需給它編寫一個程序即可.這樣,用過
去的老辦法企圖得出大數己經是不切實際的了.
1962 年十月號的《數學趣味雜誌》1上首次發表了斐波 那契數的第 551 項,是用IBM 7090 計算機算出來的.斐波那契 數的第 55 項已經超過了一萬億,所以可以說,F55 大於T-1.
從這兒開始,斐波那契數大致每隔 55 項(其間隔緩慢地 延長著)就超過下一個 T 進數.事實上,F481 就已經大於一個
googol 了,它實際上等於一個半 googol. 換句話說,那些不斷繁殖著的兔子將很快地超過任何可
能設想到的促進它們繁殖的什劃,它們很快就將使可能想像 得到的所有的飼料變得供不應求,所有可以想像得到的飼養 場地將變得擁擠不堪.到第一年年底時還只有 144 對兔子, 到第二年年底就變成將近
50,000 對,而到了第三年年底則變 成了 15,000,000 對,等等.到了第二十年年底,兔子的總數 就將比我們已知的宇宙中所有的亞原子粒子數還要多,而到 四十年後,兔子的總數就超過了一個
googol.
當然,人類的增長速度沒有象斐波那契的兔子那麼快,而 且老人都要死去.然而,原理卻是一樣的.那些兔子在幾年 內能夠增長到的數目,人類在幾個世紀或幾千年也能達到.這
就夠了.考慮到這些,就應把人口的激增控制在最低限度.

1 這是一本有趣的小期刊.我誠心地向所有同我一樣的熱心數學者推薦這本雜誌.
原注.
-59-

菜昂納多·斐波那契

萊昂納多·斐波那契約 1170 年生於比薩,死於約 1230 年. 正如我在正文中所說的,他的最大成就是在他的著作《算盤書》中 普及了阿拉伯數字.雖然
英國學者巴塞的阿德拉
( Adelard ) ——亨利
(Hanry)二世登基前的 太傅——比他早一個世 紀就介紹了阿拉伯數字, 但斐波那契的書卻留下 了深刻的印象.
但他為什麼把該書 稱為《算盤書》或算盤之
書呢?說來奇怪,因為阿 拉伯數字的使用源出於 「算盤」,這是一種早在 巴比倫時代和有史之初 就出現的計算工具.
圖 7 斐波那契象
最簡單的算盤可以 很容易地想像成由一排
排鐵絲組成,每條鐵絲上串著十個算珠,鐵絲上還留有餘隙,可 把一個或幾個算珠左右撥動.
如果想把五和四相加,可先向左撥動五個算珠,然後再向左撥 動四個,接著便數一下你所撥動的算珠是九個.如果想把五和八 相加,可先撥動五個算珠,但餘下的算珠只有五個而不是八個,因
此就撥動五個算珠,並在上面一排撥動一個算珠.上排算珠是「十位
數」,然後撥動餘下的三個,這樣就得到一個十和一個三,總數就是 十三.
各條鐵絲分別依次表示個、十、百、千等等,阿拉伯數字實質 上就是每條鐵絲上所撥動的算珠數,算盤上的操作即是阿拉伯數 字所要求的運算,只需再為不撥動算珠的鐵絲製定出一種符號,即

-60-
零(0),阿拉伯數字就能用於商業了.

我想把F571 寫出來以供消遣,這是本章所寫的最大數字
(當然,後面還會有更大的數字出現,但我不準備把它們寫出 來了!),不管怎樣寫,它總是:96041200618922553823952883
3609248650261049174118770678168222647890290143783084
78864192589084185254331637646183008074629,但這麼大的 一個數還達不到T-10 呢 1.
另一個大數的例子是素數.素數是象 7 或 641 或 5,237 這樣的一些數,它們只能被它們自已和 1 整除,此外別無其他 因子,你可以假設,隨著數字變得越來越大,素數也逐漸變得
越來越少,因為用作可能因子的較小的數變得越來越多了. 然而,卻不會出現使素數消失的情況,甚至古代希臘人就
知道這一點了,歐幾里得(Euclid)已經能夠十分簡單地證明, 如果把一個「最大的素數」以下的全部素數列出,那末總可以 構成一個更大的數,它或者本身是一個素數,或者具有一個比
那個「最大的素數」更大的素因子.因此,想找到一個「最大 的素數」是根本不可能的,素數的數目是無限的.
即使我們不能算出一個最大的素數,也有一個可算是同 出一源的問題,即我們已知的最大素數是什麼?也許可以輕 松地指著一個大數說:「這是一個素數,有無數個比它大的素
數,但我們並不知道它們是什麼數,這是我們所知道的最大 一個素數.」
這麼一說,你就可以想到,可能會有一些愛冒險的業餘數

1 本文發表以後,《數學趣味雜誌》編輯曾來信說,已找到新的斐波那契數,達到
F1000,它有 209 位數字,約比 T-17 還大.〔上述腳注首次發表至今已有十一年, 但我尚未聽到任何新的消息.我確信已得出了新的斐波那契數,但是每件事情都
得跟上那是困難的呀!新情況不斷在出現著.〕原注.
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學愛好者去發現一個比之更大的素數.
但找到一個真正的大的素數可不是件容易的事.比方說, 我在上面說過,5,237 是個素數.假定說,你對它有疑問,那 末你用什麼辦法來檢驗呢?唯一的可行的辦法是用所有小於
6,237 的平方根的素數來作檢驗,找一下它是否有因子,如有 的話,哪些是因子.這是件令人乏味的事,但對 5,237 來說 是可能的.不過對真正的大數,除非用計算機,否則這個辦 法是極不切實際的.
因此,數學家們便開始尋找可以用來構成素數的公式, 它也許不能把書本中的每一個素數都給出,以致它不能用來 檢驗某一已知數是否為素數.然而,它可以構成任意大小的
素數,自此以後,發現一個破記錄的素數的工作將變得毫無 意義,並可能從此被拋棄.
但是,這樣的公式卻一直未找到.直到 1600 年,一位名 叫馬林·默森(Marin Mersenne)的法國男修道士提出了一個 有時可能但並非總是可以得出素數的部分值公式,這個公式 是
2p-1,其中,p 本身是一個素數(我希望你能懂得,2p 是 表示 p 個 2 的乘積,因此 28 是 2×2×2×2×2×2×2×2 或
256).
默森提出,該公式在 p 等於 2,3,5,7,13,17,19,
31,67,127 或 257 時能得出素數.對於較小的數,這個公 式可以輕易證得.比方說,p 等於 3,則公式變為 23-1 或 7, 它確是個素數.如果 p 等於 7,則 27-1 等於
127,它也是一個 素數.你可以用你想用的任何別的 p 值來驗證這個方程.
在默森的方程中,由代入 p 而獲得的數字稱為「默森數」, 如果這個數字湊巧是素數的話,那就稱為「默森素數」,用大寫 字母 M 和 p 的值作記號來表示,這樣,M3 等於 7,M7 等於
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127 等等.
我不知道默森用什麼系統來確定那些素數可以從他的方 程中得出默森素數,但無論這個系統是什麼,它肯定是錯的. 默森數 M2,M3,M5,M7,M13,M17,M19,M31 和 M127 確是素
數,因此默森已屈指數出了不少於九個默森素數.然而,默森 曾說 M67 和 M257 是素數,但經過極為繁重艱苦的檢驗,卻證 明它們並非素數;另一方而,默森並未列入素數的 M61,M89, M107
卻是素數,這就使默森素數的總數共達十二個.
近年來,感謝計算機的勞動,又得出了八個默森素數(根 據 1962 年四月號《數學趣味雜誌》).它們是 M521,M607,M1279, M2203,M2281,M3217,M4253,和
M4423.繼那期發表的八個默 森素數之後,伊裡諾斯(Illinois)大學的唐諾爾德·吉裡斯
(Donald B. Gillies)又找出了三個更大的默森素數,它們是
M9689,M9941 和 M11213. 這些最新發現的默森素數中最小的一個是 M521,是通過
公式 2521-1 來計算出的.把 521 個 2 相乘再減去 1,其積遠遠 要比 googol 來得大,實際上,它甚至大於 T-13.
毋用置疑,最大的已知默森素數是M11213.我相信,這個
目前已知最大的素數有 3375 個數位,因此大約是 T □ 281 1 1.
4
與這樣的數相比,一個googol就顯得如此渺小,甚至沒有適 當的辦法來形容它的渺小的程度.
希臘人曾對數字作過許多遊戲,其中之一是把一些特殊 整數的因子相加.比如,12 的因子是 1,2,3,4 和 6(不計 該數本身).所有這些數字中的每一個都可以整除 12,這些

1 據 1979 年報道.美國的計算機專家哈里·內爾森和戴維·斯洛文斯基得出了目前 最大素數 M44497,它有 13395 位數.譯者注.
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因子的總和是 16,大於 12 本身,因此把 12 稱作為「過剩數」.
另一方面,10 的因子是 1,2 和 5,其和為 8,它比該數 本身要小,因此 10 是一個「虧數」(很明顯,所有的素數都是 極虧的).
但可以考慮 6,其因子是 1,2 和 3,其和為 6.當因子 相加能得到該數本身時,稱該數為「完全數」.

馬林·默森

馬林·默森於 1588 年九月八日出生於法國的窪翟(Oize)鎮附 近,他與大數學家勒奈·笛卡兒 1(Rene Descartes)曾同校學習.
鑒於笛卡兒因某種原因加入了他極不適應的軍隊,默森也進了教 會,於 1611 年入小修道院,
他是科學的熱心擁護者,在 教會中為了保衛科學事業做 了很多工作.他捍衛笛卡兒的 哲學思想,反對來自教會的 批評;也翻 譯過伽裡略
(Galileo)2的一些著作,並
捍衛了他的理論. 默森對科學所作的主要貢
獻是他起了一個極不平常的思 想通道作用.十七世紀時,科 學刊物和國際會議等還遠遠沒 有出現,甚至連科學研究機構
都沒有創立,默森成了歐洲
圖 8 默森象
科學家之間的聯繫的橋樑.他
寫了成卷的書信,寄發到遠至君士坦丁堡(Constantinople)這樣的 地區,向一位通信者報告另一位的研究工作,向他提供建議,而這 些建議來自他對許多人的研究工作的瞭解,並不斷地策動別人參加

1 笛卡兒,法國哲學、數學家.公元 1596~1650 年.譯者注.
2 伽裡略,意大利物理、天文學家.公元 1564~1642 年.譯者注.
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這種豐富多彩的相互通信活動. 他反對玄秘的學說,如星相術、煉金術和占卜術;他大力支
持實驗.他信仰實驗的一個實例是,他曾向克裡斯琴·惠更斯
(Christian Huygens)1建議用單擺來作為時計以測量物體沿斜面 滾下所需時間.單擺原理是伽裡略首先提出的,但伽裡略並沒有 想到用它作為時計,而是利用底部開孔的桶中落下的水滴作為時
計來測量物體滾下所需的時間.惠更斯採用了這個建議,結果發 明瞭鐘擺式時計,這就成了對科學很有用的第一台時計.
默森於 1648 年九月一日死於巴黎.

二千年以來,對完全數的研究毫無建樹,但希臘人受到這 些數的迷惑,其中有些人在心靈上崇拜完全數.比如,他們可 以論證(希臘文化一度曾滲透猶太基督教)說,上帝是在六天
內創造了世界的,因為六是一個完全數(其因子是最前面的三 個數 1,2,3,它們不僅和為 6 而且積也是 6,可以料想,上 帝是不可能反對這一切的).
我不知這些神秘主義者曾否對這樣的事實也立過論,即 陰曆一個月恰好也是 28 天稍多一點,而由於 28 的因數為 1,
2,4,7 和 14,其和為 28,所以它也是另一個完全數.可惜,
陰曆一個月的確實天數是 29 1 天,神秘主義著們也許對造物
2
主的這種隨便安排感到迷惑不解. 但這種奇妙的完全數到底有多少呢?試想一想在我們數
到 28 的時候就已經碰到了二個.也許你會覺得它們為數不會 少吧.事實上,這種數是不多的,比人們所熟知的其他任何 一種數都要少得多.第三個完全數是 496,第四個是 8,128,
而整個古代和中世紀,所知道的完全數就只有這麼四個.

1 惠更斯,荷蘭數學、物理、天文學家.公元 1629~1675 年.譯者注.

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第五個完全數直到 1460 年前後方被人發現(發現者姓名 不詳),它是 33,550,336.到了現代,感謝計算機的幫助,發 現了越來越多的完全數,其總數目前有 20 個.第 20 個,也是
最大的一個完全數有 2663 個數位,這差不多等於T-2221.
但從某種角度上來說,我對凱思納和紐曼倒是有點不太 公正的.我說過,他們發明了 googol 這個數,接著我又指出, 很容易舉出比 googol 大得多的數來.然而,我也應當補充說,
他們已發明了另一個數,它要比 googol 大不知多少,這個數 稱為「googolplex」,規定它等於 10googol,其指數即為 l 後面 跟上一百個零,我可以把它寫出來,但是我不打算這樣做.
我可以這麼說,一個 googolplex 可以寫成:

1010
100
10
或 10
googol 的本身並不是很難寫出來的,在本文開頭我已經 這麼做了,它只有幾行長,即使在本文前面提到過的那個最大
的數也可以不太困難地寫出來.最大的默森素數,如果把它 全部寫出來所佔的篇幅也不到本書的二頁.
然而 googolplex 卻是無法寫出來的,簡直是不可能!它 等於 1 後面跟上 googol 個零,而這本書無論如何也寫不下
googol 個零,不管在常情範圍內這些零印得多麼小.說實在 的,如果你能把每個零寫到不大於一個原子那麼大,就是整
個地球的表面也寫不下這個數.實際上,如果你以每個核子 來代表一個零的話,那麼在整個己知宇宙中,或者說在一萬 億個像我們這個宇宙這麼大的宇宙中,全部的核子個數還不 夠給你拿來當零.
這樣,你可知道,googolplex 這個數比我已提到過的隨便
哪個數都大到無可比擬的程度,然而用我的 T 進數卻可以毫

1 目前已知的最大完全數是 244496×(244496-1).譯者注.
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無麻煩地把它表達出來.
請想一下,T 進數通過 T-1,T-2,T-3 等等數字而逐漸 增大,直到達到 T-1,000,000,000,000.(這個數等於「一萬億 個一萬億個一萬億個一萬億……」,一直繼續下去,直到你把
萬億這個詞說上一萬億次,你得活上無數輩子的時間方能說 得完,但是原則仍然永存).由子我們決定讓一萬億記為 T-1,
故 T-1,000,000,000,000 這個數字可以寫成 T-(T-1). 記住,必須把 T 進數的數字部分乘以 12 才能得到十為底
數的指數,故 T-(T-1)等於 1012,000,000,000,000,它大於101013 . 同樣,我們可以算出,T-(T-2)大於101025 ,如果我們
繼續下去, 最後可以得 到, T- ( T-8 )差 不多 等於一個
googolplex,而 T-(T-9)則比 googolplex 還要大得多呢,事 實上,它要比 googol 個 googolplex 還要大.
再說一、二句話:我就結束這一章了. 在菲立浦·J.戴維斯(Philip J. Davis)所著的一本名叫
《大數博聞》的書中,給出了一個叫做「斯凱沃斯(Skewes)數」,
這個數是一位南非數學家 S·斯凱沃斯(S. Skewes)得出的,他 在推導一條有關素數的複雜定理時,在這個數上犯了個錯誤. 這個數被描寫成「在一道數學證明題中出現的,被認為是最
大的一個數」,它是:
1010
由於googolplex僅僅只有 10102 ,斯凱沃斯數要比它大到 無法比較的程度 1.
那麼,斯凱沃斯數又如何寫成 T 進數的形式呢? 但是,現在甚至我自己也打算打退堂鼓了,我不準備做這
件事了.

1034 10
102
10102
1 此處10 系 10 之誤;10 系10 之誤.譯者注.

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我想把這件事留給你去做.哦,親愛的讀者!我還得告
訴你一點 , 不止是作 一 個暗示, 在 我看來, 它 顯然要比
T-[T-(T-1)]來得大. 從現在起,路讓你自己去走吧,通往發瘋的道路上毫無
阻擋,你們大家全速前進吧. 至於我呢?我打算止步不前,並保持頭腦清醒,至少和
我往常一樣清醒,儘管我是不太有頭腦的 1.

5 關於無限大種種

有不少字眼是出版商們喜歡用在科學幻想小說的標題 中,對讀者起一種直接廣告的作用,它可以使科學幻想小說的 信徒們在漫不經心地偶然瞥見這樣的標題時,就知道這些書
確實是科學幻想小說.「空間」和「時間」就是兩個屬於這樣 的字眼.另外還有象「地球」、「火星」、「金星」、「α 半人馬星座」, 「未來」、「恆星」、「太陽」、「小行星」等等.其中有一個與本章
所要介紹的內容有關,就是「無限大」.
依我看來,歷來科學幻想小說最好的標題之一是約翰·坎 貝爾(John Campbell)的《來自無限的侵犯者》.「侵犯者」這 個字眼使人聯想起侵略、戰鬥和不安,而「無限」這個字又帶
有外層空間的浩瀚和恐懼感.
唐納德·戴(Donald Day)所著的必備書《科學幻想小說雜 志索引》在其目錄索引部分中列舉了「無限的腦袋」,「無限的

1 本文初次發表後,讀者們不斷來信,催促我寫一篇關於斯凱沃斯數的文章,我終
於讓步,於 1974 年寫了一篇《斯凱沃斯的!》文章,諸位可以在我的《論大和小》 一書的最後一章中找到這篇文章.(雙日公司出版,1975 年).原注.
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敵人」,「無限的眼睛」、「無限的侵略」、「無限的瞬間」、「無限的
想像」、「無限的零」等,我敢保證,除此之外還有許多別的標題 中也會出現這個字眼 1.
然而,對所有這些說法,對所有這些熟悉的用法,我們是 否明白「無限」和「無限大」究競意味著什麼?也許並不是都清 楚的吧.
我想,也許可以這樣來開個頭,假定無限大是一個大數, 一個很大的數,也就是說,令它等於可能存在的最大的一個 數.
如果這樣做的話.那馬上就錯了.因為無限大根本不是 一個大數,也不是任何一種數字,至少不是我們在使用「數字」 這個字眼時,我們所想到的那種東西.它肯定不是一個可能
存在的最大的數,因為根本不存在所謂「一個可能存在的最大 的數」這件事.

讓我們悄悄地來接近無限大.首先假定你要寫一個指示 給一位靈巧的小伙子,告訴他怎樣把買票參加講座的 538 位 聽眾計數一下.假定只有一道特設的門,所有聽眾都必須排
成單行通過此門魚貫而出.年青小伙子只消按 1,2,3 等等 的確定次序把每一個整數與每一名聽眾對應起來即可.
「等等」這個詞可以用來繼續計數,直到所有的聽眾全部 離場.最後一個離開的人就獲得了 538 這個整數.如果你想 把次序標得清楚明白,你可以告訴小伙子用這樣的方法來計 數,但要費勁把 1 到 538
的所有整數列出.這件工作無疑是

1 本文初版於 1959 年九月,唐納德·戴的索引僅收集到 1950 年.從 1950 年以來, 在科學幻想領城裡.由於文學滲透日益增加,因而「無限」這個字在科學幻想小
說標題中的通用性日趨衰落.真是,好遺憾啊.原注.
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沉悶而單調得無法忍受的,而你差遣的那位小伙子是聰明伶
俐的,並且知道一個帶有點子的一條線的間隔是什麼意思,這 樣,你就可以寫道:「請這麼數:1,2,3,…,536,537,538. 這個小伙子就會懂得(或應當懂得),那條帶有點子的線條表
示需按次序且無遺漏地用 4 到 535 之間的所有整數來填滿的 這個間隔.
假定你不知道聽眾的數目是多少,可能是 538 或 427 或
651.你可以指示那個小伙子,讓他一直數到給予最後一個人 的那個整數,不管那個人是誰,也不管那個整數是什麼.用符 號來表示,可以這樣來寫:「請數一下:1,2,3,…,n-2,
n-1,n」,這個靈巧的小伙子就能懂得,n 毫無疑問地表示某 個未知的但是一個有限的整數.
現在,假定佈置給那個小伙子的下一項任務是數一下進 入一扇門,然後排隊穿過房間,從另一扇門出來,繞大樓兜一 個圈子後,重新穿過第一扇門的人數,這些人形成了一個連續 的封閉系統.
設想川流不息的人和數著人數的小伙子都是不知道疲倦 的,而且樂於在這樣的活動中永遠這樣地幹下去.顯然這將 是永遠不會有最後的一個人,也永遠不會有最後的一個數(任
何整數,無論多麼大,即使它由一系列用顯微鏡才能看見其大 小的、從這兒排列一直延伸到最遙遠星球的數字所組成,也可 以輕而易舉地再加上 l).
那末我們怎樣來對此事所包含的確切無誤的計數寫出指 示呢?我們可以這樣寫:「這麼計數:1,2,3 等等,直至無窮」.
「等等,直至無窮」這些字眼可以簡單地寫成∞. 「1,2,3,…,∞」這種表示法可以讀成「一,二,三等等,
直到無窮」,或讀成「一,二,三等等,直到無限」,但通常讀成
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「一,二,三等等,直至無限大」.即使數學家也是在這兒引入
無限大的,比如喬治·蓋莫夫(Ceorge Gamow)1曾經寫過一 本十分引人入勝的書,標題就是:《一,二,三,…,無限大》.

大 數

事實上,在古代是很少用到大數字的,所使用的最大數字的名 稱一般是「千」.在需要更大的數字的時候,就用「幾十個千」或「幾 百個千」等詞組來表達(就像我們所用的詞組一樣).在古代,再
大的數字就被叫作「幾十個千」.「million(百萬)」這個詞(來自一個 意大利語,意為「大千」)表示「一千個一千」,只是到了中世紀晚 期才出現的.這時商業已經發展到這樣的程度,一千個一千這樣的
數字在薄記中已經相當常用,制定出這一個特別的詞,就便於使用.
(隨後又出現 billion、trillion 等數詞,直至今天,對大數的用法尚 未統一.比如,billion 一詞在美國表示「一千個百萬」即十億;而在 英國則表示「一百萬個百萬」即萬億.)
只消讀一下《聖經》就可以看出古人對大數是缺乏名稱的,《聖 經》中明確提到最大的數字的是出現在《歷代志下》2第十四章第 九節中,該節描寫了埃塞俄比亞侵略軍與猶大王阿薩(Asa)的部
隊之間的一場戰爭,它這樣寫道:「向他們衝來的是埃塞俄比亞人 撒拉罕(Zerah),率領一支一千個一千人的部隊……」.當然,這兒 的描寫是誇大了的,但這已是《聖經》中唯一的一次提到同一百萬
一樣大的一個數字.
另一些場合,在需要大數的時候,只能作一些比喻而已.比 如 在《創世記》 3 第二十二章第十七節中,上帝答應亞伯拉罕
(Abraham,他剛表白自己願意把獨生子祭獻給上帝)說:「我將把

1 蓋莫夫,當代俄國血統的美國理論物理、天體物理學家,同時又是深受歡迎的科
普作家.他的著作《物理世界奇遇記)、《從一到無窮大》(即《一,二,三,…, 無限大》)等已譯成中文由科學出版社出版.譯者注.
2 《聖經》,《舊約全書》第十四卷.譯者注.
3 《聖經》,《舊約全書》第一卷.譯者注.
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你的種子增加到如天穹之星辰或海濱之砂石那麼多」(這種說法似 乎可用於下圖.它表明里約熱內盧抗議中立的巴西船隻在巴西對 德、意宣戰之前不久被擊沉的人群).

圖 9 抗議的人群

甚至有這麼一種感覺,有些數字是這樣的巨大,大到似乎無法 計數.因此所羅門王把他的臣民說成是「一大群百姓,其數之眾是 無法記述和計數的」(《列王紀上》第三章第八節)1.但在公元前
三世紀,阿基米德就最早指出,任何有限的數字是可以輕而易舉 地說出其數目的.

可見,「無限大」這個字完全是可以使用的,由於它來自一 個意為「無窮」的拉丁詞,而如果盎格魯撒克遜人早就用它的 話,那就會好得多.「等等,直至無窮」的說法是不可能錯的,

1 《聖經》,《舊約全書》第十一卷.譯者注.
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其意義也是明確的,從另一方面來說,「等等,直至無限大,」的
詞組,不可避免地要引起這樣的概念,即無限大是某個有限的 整數,雖然很大,但一旦到達這麼個數字後,我們就可以停止 了.
因此,我們可以直率地說,無限大不是一個整數,或我們 所熟悉的任何一種數.它是一種特性,一種無窮無盡的特性. 任何無窮盡的客體的集合(數或其他事物)都可以說成是「無 限數列」或「無限集合」.從 1
開始往上數的整數的清單就是 「無限集合」的一個例子.

儘管∞不是一個數字,我們仍然可以把它寫在某些算術 運算中.任何符號都是可以這麼做的.我們可以在代數中用 字母來這樣做,並寫成 a+b=c;或者也可以對化學式這麼 做,寫成
CH4+3O2=CO2+2H2O;甚至還可以對一些抽像的 事物也這麼做,如,男人+女人=煩惱.
唯一必須記住的是,在通過算術方法來檢驗非整數的符 號時,如果它們並不遵循普通的算術規則的話,那是不必大 驚小怪的,因為算術的產生本來是特別應用於整數的.
比方說,3-2=1,17-2=15,4,875-2=4,873,一般 地說,任何整數在減掉 2 之後立即變為另一個不同的整數,若 非如此,則其他的說法都是不可思議的.
但現在,假定我們從一個無窮的整數數列中減去 2,為了 方便起見,我們可以去掉最前面的兩個整數 1 和 2,則數列是 這樣開始的:3,4,5 等等,直至無窮,你是否發現,從 3 開 始的整數數列就同從
1 開始的那樣一樣無窮無盡.因而可以 把它寫成:3,4,5,…,∞.
換句話說,從一個無窮集合中減去二項後,餘下的部分仍
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然是一個無窮集合,用符號表示,可以寫成:∞-2=∞.這看
起來似乎很奇怪,因為我們已經習慣於在整數中減去 2 後得 出一個差來.但是,無限大既然不是一個整數,故使用的規則 也就不同(這種情況是不會經常發生的).
由於這個緣故,如果從整數數列中去掉頭三個或頭二十 五個,或者甚至頭 1,000,000,000,000 個整數,那末這個整數 數列餘下的仍然是無窮無盡的.你總是可以從 1,000,000,
000,001,1,000,000,000,002 等開始,無窮繼續下去.因此,
∞-n=∞,式中 n 表示任何一個整數,且不論它有多大. 事實上,還有比這更令人吃驚的事情呢.倘若我們只考
慮偶數,我們可以有一個象 2,4,6 等等直至無窮這樣一個數列. 這是一個無限數列,因此可以寫成:2,4,6,…,∞;同樣, 奇數也可以構成一個無限數列,它可以寫成 1,3,5,…,∞.
現在,假定你沿著整數數列從頭到底讀一遍,把所遇到 的每個偶數都劃掉,即:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
11,12,…,∞,即從整數的無窮數列中去掉另一個偶數的 無窮數列,剩下的仍然是一個奇數的無窮數列.用符號來表示, 可以寫成:∞-∞=∞.
進一步也可以用其他的辦法來做.如果你只從偶數開始, 加上一個或者二個或者五個,甚至一萬億個奇數,所得到的 仍然是一個無窮數列,因此∞+n=∞.實際上,如果你把一
個奇數的無窮數列加到偶數的無窮數列上去,你所得到的恰 恰就是一個所有整數的無窮數列,或者說:∞+∞=∞.
說到這裡,你們中很可能有人會懷疑我急於得出一個無 窮數列.
總之,在頭十個整數中,有五個偶數和五個奇數;在頭一 千個整數中,有五百個偶數和五百個奇數,余類推.無論我們
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取多少連續的整數,總有一半是偶數,一半是奇數.
因此,儘管數列 2,4,6,…是無窮的,其總數只能等於另 一個同樣是無窮的數列 1,2,3,4,5,6,…的一半.對數列
1,3,5,…來說,也是這樣,它儘管也是無窮的,但總數只有 所有整數數列的一半.
你可能認為,從所有整數的集合中減去偶數數列,可以

得到奇數的集合.我們所講的即可表示為: ∞ □ 1 ∞ = 1 ∞ .
2 2
這樣,你必然滿意地認為,這是「有意義的」.

為了答覆這種不同意見,讓我們回過去再把聽講座的未 知的聽眾數一數.我們那位伶俐聽話的小伙子一直在為我們 數著,數著.現在他感到厭倦了,轉身向你問道:「講堂裡到底 有多少個座位?」你答道:「640.」
他略加思索後便說:「好啦,我看每一個的座位都有人坐 著,沒有空出來的位子,也沒有人站著.」
你同樣是好眼力,回答說:「不錯.」 「那麼,」小伙子說,「為什麼要在他們離開時再把他們數
一數呢?我們現在立刻就知道聽眾恰好是六百四十個.」 他說得很對.假如有兩個客體的序列(序列 A 和序列 B)
恰好相配,以致序列 A 中的每個客體,都有且僅有序列 B 中 的一個客體與之相對應,而序列 B 中的每個客體,亦都有且 僅有序列 A 中的一個客體與之相對應,那麼我們就可以知道, 序列 A
中客體的總數與序列 B 中客體的總數恰好相等.
事實上,我們計數時正是這樣做的,如果要知道一個滿 口牙齒完整的人的嘴裡共有兒順牙,我們只需給每顆牙齒編 上一個號碼(依次地),我們把一個號碼只用於某一顆牙齒(這
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叫作把二個序列一一對應).我們便發現,只需 32 個數字就
夠了.這樣,序列 1,2,3,…,30,31,32 就正好能同另一個 序列一顆牙、下一顆牙、下一顆牙、…、下一顆牙、下一顆牙、 一直到最後一顆牙相吻合.
因此,我們就可以說,在一個滿口完整牙齒人的嘴裡,牙 齒的數目與從 1 到 32 的整數的數目(包括 1 和 32 在內)正好 相等,或簡短地說,有 32 顆牙齒.
現在我們也可以對偶數的集合作同樣的處理.我們可以 把偶數寫出來,並給每個偶數一個號碼.當然,我們無法把每 個偶數都寫出來,但總可以寫出一部分,並且可以這樣來開個
頭:我們把指定每個偶數的號碼寫在這個偶數的正上方,並 用一個雙向箭頭把它們對應起來,即
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10…
□ □ □ □ □ □ □ □ □ □
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20… 這兒我們已經可以看出一個系統來了:每個偶數都被一
個特定的數字而不是別的數字所指定,你只要把這個偶數除 以 2,就可以說出這個特定的數字是什麼.這樣,偶數 38 就 由 19 這個數字而不是別的數字所指定;偶數 24618 就由
12309 所指定.用同樣的方式,全體整數數列中的任一給定 的數字可以由一個而且是唯一的一個偶數來指定.538 這個 數字用來指定偶數 1076 而不是指定其他偶數,29999999
這個數用來指定偶數 59999998 而不是指定其他的偶數,等 等.
由於偶數數列中的每一個數,都可用於指定所有整數數 列中的一個而且唯一的一個數,反之亦然,這兩個數列即為 一一對應,而且是兩個等價的數列.偶數的數目就與所有整
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數的數目相等,用同樣的推理,奇數的數目也同所有整數的
數目相等. 你會反對說,在全部偶數(或奇數)都用完之後,所有整數
的數列還會有整整一半剩下來.也許是這樣吧,但這種爭論是 沒有意義的,因為偶數(或奇數)數列是永遠不會用完的.
因此,當我們說「所有整數」減去「偶數」等於「奇數」時,
就等於是在說∞-∞=∞,像 1 ∞這樣的項可以扔掉.
2
事實上,在把偶數從所有整數中減去的時候,我們是在
把整數每隔一個劃去一個,這樣就是用把數列除以 2 的方法.由
於該數列仍然是無窮的,所以 ∞ = ∞ ,而無限大的一半又是
2
多大呢?
更妙的是,如果我們在偶數的數列中每隔一個數劃去一
個數,就可得到一個可以被 4 整除的整數的無窮數列.如果 我們在這個數列中再每隔一個數劃去一個數,則又可得到一 個可以被 8 整除的整數的無窮數列,可以這樣無窮無盡地一
直做下去.這些每一個「較小」的數列與所有整數的各數列 仍然是一一對應的.如果某種整數的無窮數列可以無限地被
2 整除,而整除後所得的數列仍然是無窮的話,我們就可以
說 ∞ =∞ .

如果你對那些已被刪得稀稀拉拉的無窮數列是否仍然 能與所有整數的數列一一對應抱有懷疑的話,那只要考慮 一下那些被乘上一萬億的整數.你可以得到:1,000,000,000,
000、2,000,000,000,000、3,000,000,000,000、…、∞.這些 數可以與 1,2,3,…,∞一一對應,對「萬億整數」的集合
中的任何一個數(比如說,4,856,000,000,000,000)來說,
-77-
在此情況下,在所有整數的集合中有一個而且僅有一個數與
之對應,此數就是 4856;對所有整數的集合中的任何數(比如
342)來說,在「萬億整數」的集合中也有一個而且僅有一個 數與之對應,那就是 342,000,000,000,000.所以,能被萬億除 盡的整數的數目應當同全部整數的數目一樣多.
也可以從另一個角度來進行思考.如在每兩個整數之間
插入中值分數,即: 1 ,1,1 1 ,2,2 1 ,3,3 1 ,…,∞,實
2 2 2 2
際上,我們是在把數列的項數加了倍,而這個新的數列仍能與
整數的集合建立一一對應,故 2∞=∞.其實,如果繼續不斷 地這樣做下去,在上述數列中插入所有的四分之一,再插入所 有的八分之一,然後插入所有的十六分之一,仍可使所得的數
列與所有整數的數列保持一一對應,故∞·∞=∞2=∞.
乍聽起來這好像難以令人相信,怎麼能把所有的分數羅 列起來,使我們能相信每個分數有且僅有一個數字與之對應? 要把整數或偶數羅列起來是容易的,如 1,2,3,…和 2,4,
6,…,就是把素數羅列起來也不太難:2,3,5,7,11,…,但 怎麼能把所有的分數全部羅列出來,並且肯定其中包括了所
有的分數,甚至象 14899
2725523
的分數而毫無遺漏呢?
和 689444473 這樣一些隨便想出
2
然而,確實有幾種把分數全部羅列起來的方法.假定先 把分子和分母之和為 2 的所有分數列出,這樣的分數只有一
個: 1 ;然後把分子和分母之和為 3 的全部列出,這樣的分
1
數共有兩個: 2 和 1 ;再下來把分子、分母之和為 4 的全部分
1 2
數列出,它們是 3 , 2 , 1 ,接著就是 4 , 3 , 2 和 1 ,可以

-78-
1 2 3
1 2 3 4
看出,在每一組中,我們把分數的分子按序遞減而分母遞增 的方式來排列.
如果我們列出這麼一張清單:1 , 2 , 1 ,3 , 2 ,1 , 4 ,
1 1 2 1
2 3 1
3 , 2 , 1 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 等等,無窮繼續下去,我們
2 3 4 1 2 3 4 5
就可以肯定,任何一個特定的分數,無論多麼複雜,都將被包
括在內,只要我們這樣繼續下去,直到足夠遠為止.分數
14899
2725523
將在那組分子分母之和為 2740422 的分數中,它是這
組分數中的第 2725523 個.同樣, 689444473 將位於分子分母
2
之和為 689444475 的那組分數中第二個分數.這麼一來,每個可
能存在的分數就都能在數列中找到它特別指定的那個位置了.
接下來,可以把每個分數編上號碼,那就沒有一個分數會
遺漏.況且每個號碼都有它自己的那個分數,也沒有一個號 碼會遺漏.所有分數的數列就這樣與所有整數的數列建立了一 一對應,因而所有分數的數目與所有整數的數目是相等的.
(在上述分數的清單中,你將發現一些分數在數值上是
相等的,即 1 和 2 被列為不同的分數,但兩者都有相同的值.
2 4
又如 1 , 2 ,3 這樣的分數,不僅具有相同的值,而且這個值
1 2 3
又是一個整數 1.這些都是對的,它說明分數的總數同整數
的總數相等,即使在分數的數列中,每一特定的分數值及所 有的整數值都被重複了多次,事實上是無窮多次.)
說到這裡,你可以勉強地作出結論:所有的無窮大都是同一 個無窮大;「無限大」就是「無限大」,不論你對它怎麼做.
但事實卻並非如此!

-79-
請考慮一條線上的點吧.可以把一條直線劃分成相等的
間隔並標以記號,這些劃分記號可以用 1,2,3,等等,直至無 窮的號碼點表示,如果我們把直線想像成無限延伸的話.在
這些整數點之問的中間點可以標上 1 ,1 1 ,2 1 ,…等數字,
2 2 2
然後可以標出所有的三分之一的點、所有的四分之一的點、 所有的五分之一的點,事實上,所有的無窮個分數數字都可 以在直線上被指定為某個特定的點.
看來,直線上的每一個點似乎都可以被這個或那個分數 指定.在用無窮個分數指定直線上所有的點之後,肯定不會 有哪一個點被遺漏掉麼?
事實究竟怎樣呢? 你要知道,在直線上有這麼一個點,它可以用相等於 2 的
平方根即 2 的值來表示.這可以證明如下:如果在直線上 作一個正方形,使其邊長正好等於已知直線上已標明的一個
整數間隔,則該正方形的對角線便恰好等於 2 了.如果把這 條對角線平放到直線上,使其一端與直線上零那個點重合,
另一端便與直線上可以被定為 2 的那個點重合. 現在,不易解決的問題就在於 2 的值不能用一個分數、
用任何分數、用任何想像得出的分數來表示,這是古希臘人早
就證明了的.證明很簡單,但我要求你們相信我的話,在這裡 不予贅述,可以節省些篇幅.如果所有的分數都被指定為直線
上的點,那麼直線上至少有一個對應著 2 的點會被遺漏. 所有能表達成分數的數稱為「有理數」,因為一個分數實
際上是二個整數——分子和分母的比值.不能用分數來表達
的數稱為「無理教」, 2 雖是第一個被發現的無理數,但決不 是唯一的無理數.大多數的平方根、立方根、四次方根等等,
-80-
都是無理數;大多數的正弦、餘弦、正切等等,以及包括 π 在
內的數,還有對數,也都是無理數. 事實上,無理數的集合也是無窮的.可以看出,在一條直
線上,可以用有理數來表示的任意兩點之間,不管這兩個點 靠得多攏,總有至少一個由無理數來表示的點.
有理數和無理數總稱「實數」.可以看出,任何給定的實 數總能與一條給定直線上的一個且唯一的一個點相對應;而 直線上的任何一點亦可與一個且唯一的一個實數相對應.換
句話說,直線上無法用分數來指定的點,總可以用一個無理 數來對應,沒有一個點能夠被排除在這兩類數之外.
因此,實數數列和一條直線上的點的序列是一一對應而 且是等價的.
談到這裡,下一個問題是,所有實數的數列或一條直線上 所有點的序列(兩者是等價的)能否與整數數列建立起一一 對應呢?答案是:否!
無論你怎樣來排列實數或點,無論你用什麼可以想像得 出的系統,總有無數個實數或點被遺漏,這是可以證明的.其 結果就好像我們面臨著這樣的一批聽眾,所有的座位都坐滿
了人,卻還有人站著.我們不得不得出結論說,人比座位來 得多.因此,用同樣的方法,我們也不得不得出結論說,實 數或一條直線上的點,要比整數來得多.
如果我們想用符號表示點的無窮序列,我們就不想用∞ 這個特號來表示「等等,直至無窮」,因為這個符號通常與整數 或有理數相聯繫.由於一條直線上的所有的點表示一條連續 的直線,故常用符號 C 來表示,C
表示「連續統」(continuum) 這個詞.
因此我們可以把點的序列寫成:P1,P2,P3,…,C.
-81-
喬爾格·康托爾

要說清楚康托爾(Georg Cantor)的國籍是困難的.事實上,他 於 1845 年 3 月 3 日生於俄國的列寧格勒(那時叫做聖彼得堡),他
的父親是從丹麥移居俄國的, 後來又離開俄國遷入德國,那 時小康托爾才十一歲,此外, 他的家庭還是猶太后裔,儘管 他的母親是天生的羅馬天主
教徒,而他的父親則皈依了新
教.
早在學生時代,康托爾就 顯出了數學家的天才,最後(不 顧他父親的反對)他終於選定 數學作為自已的專業.1867 年 他以優異的成績獲得了柏林
大學的哲學博士學位.其後他
圖 10 康托爾象
在哈爾大學獲得了一個教師的 職位,l872 年提升為教授.
1874 年,康托爾開始引進他的令人難以捉摸的無限大的概念. 伽裡略曾早於他模糊地考慮過無限大,但康托爾是第一個建立起 一個完整的邏輯結構的人,在這種結構中,他提出了一個超限數
的序列,不妨這麼說,它表示無限大的級.
從能夠加以描述的集合來說,無限大的級並不多.整數的序
列相當於它的第一級,實數的序列較之高一級,函數的序列又較其 高一級,到此我們就不得不止步了.
康托爾的現點並未為他所有的同事都接受.特別是利奧普爾 特·克朗尼格(Leopold Kronecker),他曾經是康托爾的老師,他 猛烈地攻擊康托爾的研究工作,出於專業上的忌妒,克朗尼格阻撓
康托爾的提升,不讓他獲得拍林大學的一個職位.經不起過度勞累
的激烈的論戰,康托爾的精神終於在 1884 年崩潰,1918 年 1 月 6
日,他在薩克遜州的哈爾精神病院去世.

-82-
現在我們有了另一種無窮大,它不同於由「普通的無限
大」來表示的無窮大,並更強於這種「普通的無窮大」. 這種新的更強的無窮大也有其特殊的算術.比如:在一
條短直線上的點可以與一條長直線上的點、與平面上的點和 與立體中的點建立起一一對應.事實上,我們大可不必多兜 圈子,直截了當地說:「一條只有一百萬分之一英吋長線段上
的點的數目與整個宇宙空間中所有的點的數目一樣多.」

大約在 1895 年,德國數學家康托爾制定了無限大的算術 並對各種不同的無窮大建立了一個完整的序列,他稱為「超限 數」.
他用希伯來字母表中的第一個字母「阿列夫」來表示這些 超限數,這個字母的字形是:□.
各種超限數可以按大小的遞增來排列,或者說,按無窮大 的強度來排列,每一個超限數被標以從零開始的下標.最低 的那個超限數可以稱為「阿列夫 0」,然後依次稱為「阿列夫
1」、「阿列夫 2」、「阿列夫 3」等等,直至無窮. 這可以用符號來記寫:□0,□1,□2,…,□∞ 一般說來,不管你怎樣用加、減、乘、除對某一個超限數進
行處理,它總是保持不變的.只有在對一個超限數取同這個超限 數相等(而不是小於這個超限數本身)的一個超限數次冪時, 它才會發生變化,這時它便增大為比它高一級的超限數,即:
□□0 = □ ;□□1 = □ ;等等
0 1 1 2
我們平常認為是無限大的整數無窮數列,其無窮性等於
阿列夫 0,即:∞=□0.因此,大得似乎漫無邊際的普通的無 限大就變成了超限數中最小的一個.
我們用符號C來表示的那個無窮大,其無窮性或許可以用
-83-
阿列夫 1 來表示,即C=□0,但這一點還沒有得到證明.迄今 還沒有一個數學家能夠證明,在整數序列和直線上點的序列 這兩個無窮集合之間,存在著第三個無窮序列,其無窮性強於
整數的無窮性而弱於直線上的點的無窮性.然而,也沒有一個 數學家能夠證明,這樣的一個中間無窮大確實並不存在 1. 如果連續統確實等於阿列夫 1.我們就最終可以為我們
的朋友「普通無限大」寫出一個可以使它發生變化的方程,即:
∞∞=C
最後,已經證明,在平面上可能畫出的所有曲線的無窮性 還要更強於一條直線上的所有點的無窮性.換句話說,要把曲 線排列起來,使之與一條直線上的點建立一一對應而不遺漏
一個曲線的無窮序列是無法做到的.曲線的這種無窮性有可 能等於阿列夫 2,但這一點也是至今未獲證明的.
我們只能到此為止.假定整數的無窮性是阿列夫 0,點的 無窮性是阿列夫 1,曲線的無窮性是阿列夫 2,我們就已經走 到了盡頭.至今還沒有人能提出任何類型的無窮大,其無窮性 等於阿列夫
3(更不用說阿列夫 30 或阿列夫 3,000,000 了). 正如約翰·E·弗洛因脫(John E. Freund)在他的著作《現 代數學引論》2(我要向一切覺得本文最索然無昧的讀者推薦
這本書)一書中所說的:「看來,當我們與無限集合打交道的
時候,我們的想像力還不允許我們算到 3 以上.」 我想,如果我們現在再回到《來自無限的侵犯者》這個題
目上時,我們仍有權不動聲色冷靜地問:「哪一種無限大?僅 僅是阿列夫 0 呢,還是更大的?」

1 自從本文初次發表以來,已經證明了 C=阿列夫 1 這個論斷無論用什麼方法都是 既不能證明也無法推翻的.原注.
2 美國紐約,普林蒂斯-豪爾(Prentice-Hall)公司山版,1956 年.原注.
-84-

第二部分 數和數學

6 π 點 滴

在我的文章《那些瘋狂的想法》(見雙日公司 1962 出版的 我的著作《事實和幻想》一書)中,我隨便加了個腳注,大意是 說 eπi=-1.以後我收到了許多評論,奇怪的是,很大一部分
的評論並非關於文章本身,倒是關於腳注的.有一位讀者,與 其說是氣憤倒不如說是遺憾地對這個等式還作了證明,這倒 是我疏漏了的.
於是我得出結論,認為某些讀者所感興趣的例是這些奇 特的符號,由於我本人對此亦頗有興趣(雖然我不是真正的數 學家或是其他什麼家),難以抑制一時的衝動,就選擇了這些 符號中的一個,即
π,在本章和下一章中來作一番議論.在第
8 章中,我將討論一下 i.
首先,π 是什麼?它就是希臘字母 pi,它表示一個圓的圓 周長度與其直徑長度之比.周長(perimeter)一詞源出希臘
文 perimetron,意即「一周的長度」.直徑(diameter)一詞來 自希臘文 diametron,意即「對徑的長度」,由於某些原因
不明的理由,習慣上把 Perimeter 這個詞用於多邊形的周 長,而在說到圓的時候,習慣上也採用拉丁文 circumference
(周長)一詞.我認為,這也無甚關係(我不是有修辭癖的人), 但這樣一來,就把符號 π 的來歷弄模糊了.
早在 1600 年,英國數 學家威廉· 奧托蘭特( willian Oughtred)在討論圓的周長與它的直徑之比時,就使用了希臘 字母 π 作為圓周長的符號,並使用希臘字母
δ(delta)作為直 徑的符號,它們分別是 perimetron 和 diametron 兩詞的起首
-86-
字母.
數學家們現在往往在可能的時候通過令數值等於單位數 值來簡化問題.比如,他們可能討論一個直徑為單位長度的 圓.在這樣一個圓中,圓周的長度就在數值上等於周長與直
徑之比(我想,對你們中間某些人來說,這是很顯然的,而其餘 的人可以根據我所說的話來理解它).由於在單位直徑的圓 中,周長等於比值,故比值可用符號 π 即周長的符號來表示.
由於單位直徑的圓是經常接觸到的,所以這種習慣很快就變 得根深蒂固了.
使用 π 來作為圓的周長與其直徑之比的第一個最優秀的 人物是瑞士數學家利昂納德·歐勒(Leonhard Euler),他在
1737 年使用了這個符號.對歐勒說來既然是不錯的東西,對 我們大家來說當然都是不錯的了.
現在我可以回過去把圓的一周的長度稱為周長了.
但圓的周長 與直徑之比 倒底是怎樣 的一個實際 數 字
呢?
顯然,即使在純粹數學發明之前很久,這就是一直為古人 關心的一個問題,無論修造什麼建築,在搭腳手架之前,如果 不想接二連三地對助手吆喝:「你這個笨蛋,這些梁木都短了
半尺!」就必須事先計算各種長度.為了測量,不管怎樣,在 乘法中總得用到 π 的值,即使測量與圓無關,而只與角度有關
(角度是無法避免的),也總得碰到 π. 可以推測,最初認識到圓周率重要性的經驗計算者們,是
用畫出一個圓然後實際測量直徑和圓周長度的辦法,當然, 測量圓周的長度是頗需技巧的,因為使用普通的木製直尺是 無法測准的,木尺對於測量圓周長度太不靈活了.
金字塔的修造者和他們的前輩們很可能是極為仔細地把
-87-
一條麻繩繞在圓周上,在圍繞一周後作上一個記號,然後把麻
繩拉直,再用木尺來量它的.(對於這種做法,現代的理論數 學家們會皺起眉頭傲慢地指責道:「你應對所作的假設是否正 確先加證明,否則何以知道麻繩拉直後與彎曲時是一樣長短
呢?」我想,如果這樣的責難落到組織修造廟宇的工匠頭上,即 使是最老實的人,也一定會把橫加指責的人扔進尼羅河去 的.)
然而,畫了許多大小不同的圓,作了多次測量之後,建築 師和工匠們無疑很快就明白,對所有的圓來說,圓周率都是 一樣的.換句話說,如果一個圓的直徑是第二個圓的二倍或
1 5 倍,那麼,它的周長也一定是第二個圓的二倍或1 5 倍.這
8 8
樣,問題就變為不是求出你在使用中感興趣的特定的圓的圓 周率,而是求出任何時候都要遇到的一切圓的普遍的圓周率. 一但知道了 π 的值,對任何圓來說,就永遠不再需要重新決定 它的圓周率了.
至於對由測量而確定的圓周率的實際值,在古代取決於 測量者的仔細程度以及他在抽像中所給予的精確度.比如, 古代希伯來人不善於運用建築師的方法,在他們需要修造一
座建築物(如所羅門的廟宇)的時候,便不得不請腓尼基的 建築師來幫忙.
可以料想,希伯來人在描繪廟宇圖樣時只願使用整數,他 們覺得毫無必要使用愚蠢而討厭的分數,他們不願在設計上 帝的宮殿時受這種瑣碎麻煩的東西的打擾.
因此,在《兩個編年史》的第四章中,他們便這樣來描繪一 個建造在廟宇裡面的「熔池」(它大抵是一種圓形的容器),這 段描寫是在該章的第二節裡開頭的,它說:「他也建造了一
-88-
個熔池,池為圓形,對徑為十腕尺 1,池高為五腕尺,其周長 為三十腕尺」.
可見,希伯來人並未意識到,在他們給出一個圓的直徑 後(比如十腕尺或其他任何長度),他們就同時把圓周長也給 定了.他們覺得必須把圓周長度規定為三十腕尺,這就說明 了這樣的事實,即他們認為圓周率恰好等於
3.
經常有這麼一種危險,即某些過於墨守《聖經》中的詞語 的人可能把 3 看成是上帝最終神聖地制定了的 π 值.我懷疑 這也許曾是某國家立法機關中一位頭腦簡單的人的動機,若
干年前,他曾提出過一項法案,想在國界之內從法律上把 π 的 值規定為 3.幸好,這項法案未被通過,否則那個國家裡的所 有車輪(它們當然是遵守堂堂國家立法者所制定的法律的), 都會變成六邊形了.
無論如何,那些古代建築老行家們很明白,根據他們的 測量,π 的值是明顯地大於 3 的.他們所獲得的最佳的 π 值
是 22 (如某你喜歡,也可以說成 3 1 ),這個值其實是很不錯
7 7
的,直至今天,它仍被用在快速的近似計算中.
從小數來看, 22 大約等於 3.142857…,而 π 的實際值大
7
約相當於 3.141592….這樣, 22 只比 π 的值高出 0.04%,或
7 二千五百分之一,對大多數手工勞動來說,這個值已經是夠 好的了.

阿基米德
古代最偉大的科學家和數學家阿基米德是一位天文學家的兒

1 腕尺,古長度單位,等於肘至中指尖的長度,約長 18~22 英吋.譯者注.
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圖 11 阿基米德象

子,直到伊薩克·牛頓誕生之前,二千年中還沒有出現過足以與他 相提並論的人物.雖然他曾在當時的大學城亞歷山大受教育,但 他的研究工作卻都是在西西里島他的家鄉錫拉庫扎城完成的.他 於公元前約 287
年出生在那裡,可能是錫拉庫扎國王希隆(Hieron) 二世的親戚,家境相當富裕,足以使他能居閒從事研究工作.
阿基米德發現了槓桿原理和浮力原理.利用浮力原理,他得

-90-
以不損壞王冠而算出金冠中是否摻入了銅.阿基米德是在洗澡時 觸動靈感而發現這條原理的,他立即光著身子跑過錫拉庫扎城,口 中高呼「Eureka,Eureka!」(我知道了,我想出來了!)
關於他的最動人的傳說是他長長一生的晚年.在錫拉庫扎與 它的盟國羅馬共和國分裂後,羅馬派了一支艦隊來圍城.當時阿 基米德一人負責城防工作,他想出了一些靈巧的機械來摧毀艦隊.
估計他可能是設計了一些大型透鏡使艦隻著火,用一些起重機械 舉起敵人的船艦並把它們弄翻等等.最後,據說羅馬人不敢過分靠 近城牆,只要看見城牆上出現象一根繩子之類的玩意兒,就嚇得趕 快逃離.
然而,圍城三年之後,該城終於在公元前 212 年被攻陷.羅馬 軍總司令命令活捉阿基米德,當時他正在潛心思考一道數學題,一 名士兵找到了他,命令他跟他走.他拒絕離開他在沙地上所畫的
圖形,那士兵一怒之下就把他殺了.

希臘人後來發展了一套不用這種繩子和木尺來測量圓周 長度的幾何方法.很明顯,這套方法可以獲得與用木尺、繩子 和人眼的辦法一樣精確的數值,但所有這些還不是很完善的.
希臘人進而推論,一旦發現了理想平面幾何中的純粹直線和 曲線,則在計算中,π 應取什麼值才是適當的.
比如,錫拉庫扎的阿基米德已經使用了「逼近的辦法」來 計算 π,(這是積分運算的前身,如果其後幾世紀的哪位慈善 慷慨之士能通過時間機器把阿拉伯數字贈送給他的話,阿基
米德也許會在牛頓之前二千年就發明這種運算的).
為了說明這個想法,想像一下一個三個頂點位於單位圓 的圓周上的等邊三角形.用普通的幾何方法就可以精確地計

算出這個三角形的周長為 3

3 ,如果你好奇的話,可以把它
2
寫成小數形式,即 2.598076…,由基本的幾何推理又可知道, 這個周長必然小於圓周的長度(即小於 π).
-91-
下一步,想像一下把三角形各頂點之間的弧分為二等分,
這就可以在圓周上作成一個正六邊形(一個有六條邊的圖形). 它的周長亦可確定(恰好等於 3),可以看出它比正三角形的 周長要大,但仍比圓周長要小.繼續按此下去,就可以得到圓 的內接正 12 邊形、正
24 邊形、正 48 邊形…
多邊形與圓的周界之間的空隙變得越來越小,或者多邊 形無限向圓周「逼近」,可以按你的願望讓多邊形不斷接近圓 周,儘管它們永遠不能完全與圓周重合.可以同樣用一系列
圓的外切正多邊形(它們位於圓周外面,各邊分別與圓周相 切)來重複同樣的工作,得到一系列逐漸減小、但不斷趨於圓 周長的數值.
實質上,阿基米德把圓周長包圍在二個級數之間:一個 從下面逐漸逼近 π,另一個從上面不斷逼近 π.這樣,只要有 足夠的耐心,忍受得了邊數極多的多邊形的沉悶單調的計算, 就可以把 π
的值確定到任意的精確程度.
阿基米德花了大量的時間,極耐心地一直計算到九十六
邊形,發現π的值略小於 22 ,而略大於 223(這個分數僅比 22
7 71 7
略小一些 1).
這兩個分 數的平均 值是 3123 ,化為小數相 當 於
994
3.141815,它僅比 π 的實際值大 0.0082%,或 1 .
12500

1 我國魏晉數學家劉徽於魏景元四年(公元 263 年)在注《九章算術》中提出割圓 術來計算圓周率的想法,這個想法中也已包含了求極限的概念.他正確地算出圓
內接正 192 邊形的面積,從而得出 π 的近似值為 1 57 (=3.14),又算出圓內接正
50
3072 邊形面積.從而得到 π 的近似值為者 3927 (=3.1416).譯者注.
1250
-92-
在歐洲,至少直到十六世紀,再沒有得到過比這個值更
佳的數值了.此後才首次用 355 這個分數作為π的近似值 1.
113
如果要把π表示成一個簡單的有理分數的話,這個數就是它的
最佳近似值了. 355 化為小數是 3.14159292…而π的真正的值
113
是 3.14159265…,可見 355 僅比π的真正值大 0.000008%或
113
1 .
12500000
想瞭解一下近似值 355 的精確度有多高,只須假設地球
113
是一個標準的球體,其直徑正好等於 8000 英里.我們可以將
8000 乘上 π,計算出赤道的長度.如果用 355 作為 π 的近
113
似值的話,得出赤道的長度為 25,132.7433…英里;而從 π
的實際值所得到的赤道長度為 25,132.7412…英里,兩者相 差大約是 11 英尺.在計算地球的周長時,11 英尺的誤差完 全可以認為是微不足道的,即使把地理測量提高到新的精確
度水平的人造衛星,也未能給我們提供比這更精確的測量.
除了數學家之外,對任何人來說, 355 都是足夠精確的,
113
除非是最不尋常的情況.但數學家有他們自己的想法,找不
到精確值是不能叫他們愉快的.一個誤差,無論多麼微小, 在他們看來,都像是一百萬秒差距一樣糟糕.

向π的實際值進軍的關鍵性的一步是由十六世紀法國數

1 我國南北朝時代數學家祖沖之(公元 429~500 年)曾推算 π 的值在 3.1415926 和
3.1415927 之間,並提出約率 22 ,密率 355 ,比歐洲早一千年左右.譯者注.
7 113

-93-
學家弗蘭索瓦·韋達(Francois Vieta)1提出的.他被公認為代 數學之父,因為他首先引用字母作為未知量的符號,即著名的 x和y,在我們大多數人的生活中,隨時面臨著不安和動亂時
都要用到它們.
韋達對阿基米德所用的幾何逼近法用代數中相應的方法 來作了演算,即不用建立一個越來越靠近圓周的多邊形的無 窮序列,他推導了一個分數的無窮級數,可用它來估計給出 π
的數值.用於估計的級數的項數越多,就越接近 π 的精確值.
我不打算在這裡介紹韋達的級數,因為其中包括著平 方根、平方根的平方根以及平方根的平方根的平方根,在其 他數學家們 已經得出了 估計 π 值的更容易寫 得出的級數
(經常是無窮級數)之後,就沒有必要再把自已纏在那個式子 裡了.
例如,1673 年德國數學家哥特弗裡德·威爾赫姆·萊布尼 茲(他最早發明二進制,見第 2 章)推得一個可以表達成下列 形式的級數:
π = 4 □ 4 + 4 □ 4 + 4 □ 4 +
4 □ 4 …
1 3 5 7 9 11 13 15
我本人並非數學家,實在沒有什麼值得一提的數學洞察
力,在我起初決定寫這篇文章的時候:我認為可以用萊布尼茲 級數來進行一段簡短的演算,以此向讀者們表明它如何能輕 面易舉地得出一打左右位數的 π 值.然而,剛開始後不久,我 就放棄了這個想法.
你可能要譏笑我沒有耐心,但歡迎你們中隨便哪一個來 把萊布尼茲級數計算一下,只要算到上面給出的那幾項,即

1 弗蘭索瓦·韋達,法國數學家,公元 1540~1603 年.譯者注.
-94-
4 就行.你甚至可以寄一張明信片來把你的結果告訴我.
15
要是在你完成運算後很失望地發現答案並不像 355 這個數
113
值那樣地接近 π 的話,也不要放棄,可以再加上幾項.在你的
答案上加上 4 ,然後減去 4 ,再加上 4 ,再減去 4 等等.
17 19
21 23
可以這樣繼續下去,喜歡多長就多長,要是誰發現需要多
少項來使 355 這個值有所改進,也請寫個便條給我,告訴我
113
結果如何.
當然,這些都可能讓你失望.無窮級數肯定是 π 的實際
值和精確值的一種表達方式.對於一位數學家來說,這是與 其他表示數值的方式一樣有效的方法.但如果你想把它寫成 實際數字的形式,它又如何對你有所助益呢?想把幾打的項相
加起來,對任何想以日常生活的方式辦事的人來說都是不切 實際的.那麼,又怎麼可能把無數個數字相加起來呢?
但是,正因為項的數目是無窮的,數學家們就不會放棄求 一個級數之和的努力,比如級數:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 +
1 + …
2 4 8 16 32 64 是可以用越來越多連續的項來求和的,如果你去做一下,就 會發現,所用的項越多,其和就越接近 1,可以用縮寫的形式
來表示這個無窮級數,說它的無數個項之和總之是 1 就行了. 事實上,有一個公式可以用來確定任何遞減幾何級數之
和,上面的級數使是一個實例. 因此,把級數:
3 + 3 + 3 + 3 +
3 + …
10 100 1000 10000 100000

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的所有光輝燦爛的無數個數字相加起來,只能得到 1 .而級
3
數:
1 + 1 + 1 + 1 +

1 + …
2 20 200 2000 20000
相加後則得 5 .
9
肯定說,計算出 π 值的級數沒有一個是遞減幾何級數,因 此不能用公式來求和.事實上,可以算出萊布尼茲級數或其他 任何級數之和的公式一直沒有找到過.然而,起初似乎沒有 理由假定某種能夠計算 π
值的遞減幾何級數的方法也許根本 不存在.如果找得到,則 π 就可以被表示成一個分數.一個 分數實際上是二個數之比,任何可用分數或比值來表示的數
是「有理數」,就像我在前一章中已經說明過的那樣,當時所希 望的是 π 也許是一個有理數.

證明一個數是有理數的一個辦法是求出它的小數值,盡 可能把小數位數算到足夠多(比如,把一個無窮級數的越來越 多的項相加),然後看出結果是一個「循環小數」,即一個某數
字或某些數字的數組本身無限重複的小數.
比如, 1 的小數值是 0.333333333333…,而 1 的小數值
3 7
則是 0.142857142857142857…等等,無限繼續下去.即使象
1 這樣一個看來「除得盡」的分數,如果把零也算上去的
8
話,由於它的小數值是 0.125000000000…,所以實際上也可
說是一個循環小數.可以從數學上加以證明,每個分數無論 多麼複雜,都可以表達成一個小數,它或早或遲可變成一個
循環小數.反之,任何其尾端變成循環小數的小數,不論其循
-96-
環部分包含著什麼,也可以表達成一個精確的分數.
任取一個循環小數為例,比如:0.373737373737…,首
先,可以從這個小數中找到一個遞減的幾何級數,只要這麼 來寫:
37 + 37 + 37 + 37 + …
100 10000 1000000 100000000
就可以使用公式來求出它的和,得到 37 (試求出與該分數等
99
值的小數,並看看得到的是什麼).
或者假定有這麼一個小數,它開始是不循環的,然後變
成了循環小數,比如:15.21655555555555…它可以寫成:
15 + 216 + 5 + 5 +
5 + …

從 5
10000
1000 10000 100000 1000000
開始,可以得到一個遞減的幾何級數,求出其

和為 5
9000

,故級數變成一個有限的級數,只有三項組成,別
無其他項,其和可以容易地求出:
15 + 216 + 5
= 136949
1000 9000 9000
如果願意的話,不妨把 136949 再化為小數,看看得到的是什
9000
麼樣的小數.
這樣,如果能夠求出帶有若干位小數的 π 的小數值,並發
現其中帶有一些循環小數的話,不管其循環部分是如何微小、 如何複雜,只要能把它表示成無限繼續的形式,就可以寫出一 個新的級數來表達它的精確值.這個新的級數應包括一個可
以求和的遞減幾何級數,這樣就能得到一個有限的級數,而 π 的實際值也可以不表示為一個級數而表示為一個實在的數.
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數學家們投身於這種追蹤.1593 年,韋達本人使用了他
自己的級數把 π 計算到了十七位小數.如果你想看它一下的 話,那就是:3.14159265358979323.可以看到,找不到任何 明顯的循環.
後來在 1615 年,德國數學家魯道爾夫·馮·蔡倫(Ludolf Von Ceulen),使用了一個無窮級數把 π 算到了小數三十五 位,其仍然不能發現任何循環的跡象.然而,在他的年代裡,
這是一種令人難忘的奇跡,使他贏得了 π 後來在德國教科書 中有時被稱為「魯道爾夫數」的聲譽.
到了 1717 年,英國數學家阿布拉罕·夏普(Abraham sharp)超過了魯道爾夫,把 π 算到了小數後第七十二位,仍然 找不出什麼循環的跡象.
但從此以後,對 π 的計算就中止了.

要證明一個數是有理數,必須把它表示成一個等值的分 數並寫出這個分數.然而,要證明它是無理的,就不必求出 那怕是一位小數.你只須假設這個數可以表示為一個分數 p ,
q
然後指出其中存在著矛盾,比如 p 必須同時是偶然又是奇數. 這就證明了沒有一個分數可以表示這個數,因此它就是無理 的.
這種證明恰恰是古代希臘人研究出來的,用以表明 2 的
平方根是無理數(這是第一個發現的無理數)的.據推測,這是 畢達哥拉斯學派首先發現的,他們在發現可能存在著無法用 任何分數、無論這分數多麼複雜來表示的數的時候,嚇得毛骨
悚然,於是相互發誓要嚴守秘密,誰要是洩露了這個秘密就得 被處死.但和從無理數直到原子彈的一切科學秘密一樣,這

-98-
個發現最終還是走漏出去了.
最後,在 1761 年,德國物理學家和數學家約翰·海恩裡 希·蘭伯特(Johann Heinrich Lambert)1終於證明了π是一 個無理數,因此就根本找不到任何分數的表達式,不論多麼
徽弱的表達形式,也不論求出多少位小數,其實際值只能被 表達為一個無窮級數.
天哪!
但不必傷心.一旦證明了 π 是個無理數,數學家們就滿 意了,問題也就解決了.至於將 π 用於物理計算,這個問題已 經結束:也業己完成了.你可能會認為,在極為精密的計算 中,有時也許需要知道 π
的精確到好幾十位甚至幾百位的小 數值,但事實並非如此!當代科學測量的精確度已經是很高的 了,但仍不大會有精確到十億分之一的情況發生,即使把 π 用
於這樣精確的計算,也只不過需要九至十位小數就足夠了.
比如,假定我們畫出一個直徑為一百億英里的圓,以太陽
為中心,把整個太陽系都包圍在裡面.假如你用 355 為 π 的
113 近似值,想計算這個圓的周長(它的長度要超過三百一十億 英里),所得到的誤差也不會大於 3000 英里.
假如你是一個一絲不苟的人,覺得在 31,000,000,000 英 裡的周長中有 3,000 英里的誤差還是無法忍受的,你可以運 用魯道爾夫的 35 位小數的 π 值,這時你所得到的圓周長,其
誤差就相當於一個質子直徑的一百萬分之一了.
或者我們取一個大圓,假設以已知宇宙為周長,假定正 在建造中的大型射電望遠鏡可以接收從 40,000,000,000 光年 這麼遠的距離發來的信號,一個以這個長度為半徑的宇宙圓,

1 蘭伯特,德國物理、天文、數學家,公元 1728~1777 年.譯者注.

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其周長大約等於 150,000,000,000,000,000,000,000(1.5×1023) 英里,如果用魯道爾夫的 35 位的 π 值來計算這個圓的周長, 其誤差大約不到一百萬分之一英吋.
那末,我們對夏普的 72 位的 π 值又能作些什麼評論呢? 很明顯,所知的 π 值,即使在它的無理性被證明的時候,
也已經遠遠超過了科學所可能要求的精確度,不論是目前還 是將來.
然而,對於早已超出科學家們需要的 π 值,整個十九世 紀的上半個世紀裡,人們仍然在繼續不斷地求出比己經確定 了的值更多的數位.
一位名叫喬治·威加(George Vega)的人把 π 算到了 140
位,另一位名叫查恰連斯·達斯(Zacharias dase)的人算到了
200 位,還有一位名叫雷歇(Recher)的則把它算到了 500 位. 最後,在 1873 年,威廉·謝克斯(William Shanks)報告
說,他已經把 π 的值求到了小數 707 位.直到 1949 年,這個 記錄一直保持著,也算得上是個小小的奇觀.謝克斯花了整 整十五年的時間來求得這個數值,而且更糟的是,看不出任何 循環的跡象.
你可能會奇怪,是什麼動機促使一個人花十五年的時間 去做一件毫無目的的工作呢?也許這和促使一個人去坐在旗 桿頂上,或者生吞金魚的想法是一樣的,為了要「打破記錄」,
或許謝克斯認為這是使他自己通向成名的一條道路.
如果確實是這樣的話,他的目的達到了,數學史在記述 了諸如阿基米德、費爾馬、牛頓、歐勒、高斯等人的著作之餘, 也將會擠出那麼一、二行的篇幅來記述 1873 年前威廉·謝克 斯曾把 π 計算到小數
707 位這件事.這樣,他也許會覺得自 己的生命沒有虛度.
-100-
可是,天哪!為了人類的虛榮心——
1949 年,巨大的計算機問世了,操作計算機的小伙子們 充滿興趣,精力旺盛,偶然能夠擠出時間來玩計算機.
有一次,他們把一個無窮級數輸入了稱為ENIAC的計 算機中,讓它來計算π的值.他們用計算機計算了七十個小 時,得到了有 2035 位的π的值 1(活見謝克斯的鬼!)
在第五百幾十位的地方,發現謝克斯的值有一個錯誤,這 樣,謝克斯的 π 值的第五百幾十位以後的所有數位,足足有一 百多位,便全部報了銷,這就把可憐的謝克斯和他的十五年浪 費了的光陰全都一筆勾銷了!
當然,萬一你要想知道的話,其實是不應該有疑問的,可 以告訴你,在計算機算出的值中仍然看不出有任何循環的跡 象.

7 幾何作圖的工具

上面那一章還沒有把 π 的故事全部講完,正如標題所說 的那樣,這只不過是 π 的點滴罷了,因此讓我們再繼續往下說 吧.

希臘人對幾何學的貢獻在於把這門學科理想化和抽像化 了.埃及人和巴比倫人曾用特定的方法來解決特定的問題,

1 到了 1955 年,一台快速計算機在 33 個小時之內把 π 算到了 10,017 位,從研究 π 的各種數位得到了有趣的數學觀點(很可能此後又算到了更多的數位,但我未曾 繼埃搜集).原注.
-101-
但他們卻從來沒有設法建立通用的規則.
然而,希臘人則努力使幾何學通用化,他們覺得數學的圖 形具有某些永存的、不變的固有特性.他們也覺得,考察這些 特性的本質和它們之間的關係,乃是人類體驗美和神的絕對
本質所能達到的最接近的程度——如果我能脫離科學片刻, 闖入人類的宗教領域,我也許要指出,這個觀念恰恰是埃德那
·聖·文森·米雷(Edna St. Vincent Millay)的一句名言中所 說的:「能覬覦美神真面目的,唯歐幾里得(Euclid)一人而 已.」
為了最終能看清美神的真面目,我們就不得不設想以完 美的、理想化的組成部分來構成完美的、理想化的圖形.比 如,理想直線只具有長度,別的什麼也沒有;事實上,也只有長
度.兩條理想的、完美的、準直的理想直線,相交於一個理想 的、完美的點,這個點,除了位置而外,壓根兒就沒有大小.一 個圓是一條直線上的各點以完全等同的方式彎曲的線,在這
條曲線上的每個點到一個特定的、稱為圓心的點均精確地等 距離.
很不幸,這樣的抽像雖是我們可以想像得出的,但通常卻 並不是把它們僅僅作為抽像來進行交流的.為了說清這種圖 形的性質(即使是為了你本人對它們進行研究),就必須用一
支尖細的棍子、粉筆、鉛筆或者鋼筆把它們畫在蠟板上、泥地 上、黑板上或者紙頭上,以助思考,這事實上幾乎是少不了的. 而所畫出的圖形卻只是一些粗糙的、有寬度的、拙劣的近似線
條(可惜,在數學中,美神必須被包裹在衣錦之中,就像在生活 中一樣).
而且,為了證明各種幾何圖形的一些無可言喻的美的特 性,通常有必要用到比圖形本身所具有的線條更多的線,也
-102-
許有必要通過一點畫出一條新的直線,使之平行於、或者(也
許)垂直於第二條直線,也許必須把一條直線分成相等的兩 部分,或者把一個角的大小加倍.

歐幾里得

亞歷山大大帝 1(Alexander the Great)逝世以後,他的幾位 將軍先後統治了古代的世界.其中一位名叫托勒密(Ptolemy)2的
建立了一個後來統治埃及達三個世紀之久的王朝.他把他的京都亞 歷山大城改造成古代最偉大
的文化中心,歐幾里得就是 曾經在那裡工作過的一位第 一流的偉大人物.
關於歐幾里得個人的傳 記後人知道得很少.他大約
生於公元前 325 年,我們不
知道他生於何地,死於何時 何地.
他的名字與幾何學結下 了不解之緣,因為他編寫了 部關於幾何學的教科書《幾 何原本》.這本書,當然先後
曾有些修改.但一直是幾何
學的權威著作,自從印刷術 發明以來,前後共再版了一 千次以上,他無疑是歷來首 屈一指的教科書編寫者.
然而,作為一位數學家, 歐幾里得的名望倒不是在於
圖 12 歐幾里得象
他自己的研究工作.收入他的教科書中的定理,幾乎沒有一條是他自
己發現的,歐幾里得的貢獻以及使他成為偉人的,是接受了直到他的

1 亞歷山大大帝,馬其頓國王,公元前 356~323 年.譯者注.
2 托勒密王朝,從公元前 323 年到公元前 47 年,前後經歷十六代國王.譯者注.
-103-
時代人類所積累的全部數學知識,並集其大成,編寫成一本完整的 著作.在編寫這本書的時候,他推論了一系列公理、公設,並以 此作為全書的起點,就其表達之簡潔明瞭和文筆之優美流暢來說,
這些公理和公設是足以令人讚美的.
除了幾何學之外,他的教科書還論述了比和比例以及我們今 天稱之為數論的內容.他也曾把光線描繪成直線從而把光學作為 幾何學的一部分來加以研討.
關於他的傳說中有一條與托勒密國王有關.托勒密在學習幾 何時曾請教過歐幾里得,問他能不能把他的證明搞得稍為簡單易
懂一些,歐幾里得頂撞了國王,他說:「在幾何學中是沒有皇上走 的康莊大道的.」

為了把這些圖盡可能地全都畫得工整準確,必須使用器 械.我想,一旦你習慣於希臘人的思考方法之後,那就很自 然地認為,為此目的而使用的器械愈少、愈簡單,則所繪出 的圖形就愈接近於理想.
最後,作圖的工具被減少到一個極妙的最小值 2,其一 是直尺,用於畫直線,需要提醒的是,這並不是一把刻有英吋 或厘米的尺子,這是一把沒有刻度的木尺(金屬或塑料亦可用
於此種目的),除了用這器械畫出直線這種形狀外,不會再有 更多的用處了.
第二件工具是圓規,它最簡單的用途是畫圓,也可以用於 在直線上劃出等分線段,或畫出相交的弧來得到一個到其他 兩點等距離的點,等等.
假定讀者大多學過平面幾何,並曾使用過這些工具來作 一條直線與另一條直線相垂直、平分一個角、作一個三角形的 外接圓等等.所有這些工作和其他無數工作都可以用直尺和 圓規,經過一系列的有限的操作來完成.

-104-
當然,到了柏拉圖(Plato)1時代,已經知道可以用一些 稍為複雜的工具來簡化某些作圖問題.實際情況是,有一些 單憑直尺和圓規無法解決的作圖問題到那時就可以解決了.
這對希臘幾何學家來說就跟用箭來射狐狸或蹲著的鴨子,或 者用蟲餌來釣魚,或在解題時到書背後去找答案一樣.這雖 然是可以獲得效果的,但這種做法並非屬於君子風度.對幾
何作圖來說,直尺和圓規是唯一「正當」的工具.
當時亦未感到,這種限於直尺和圓規的作圖規定對幾何 學的限制不免過於苛刻,有時,墨守這些作圖工具可能是令 人厭煩乏味的,如果使用別的工具,也許會更易於走捷徑;但
當時曾這麼斷定,只要具有足夠的耐心和聰明才智,僅用直尺 和圓規也是能夠完成這一切工作的.
比如,如果給出一個其長為定值的線段,令其表示數字
1,則可以只用直尺和圓規作出另一條線段,使之恰好等於該 長度的 2 倍,以此來表示數字 2,或另一些線段表示 3,5,
500,或表示 1 , 1 , 1 , 3 ,2 3 ,27 1 6 等.事實上,只要
2 3 5 5 5 23
使用圓規和直尺,就可以把任何有理數(即任何整數或分
數)用幾何的方法來加倍.你甚至可以使用一條簡單的約定
(可惜希臘人是從來不使用這種約定的),就可以用這種方法 來表示所有正的和負的有理數.
一旦發現了無理數,即不能寫成某種分數形式的數字,那 麼,看起來圓規和直尺便似乎無法表示無理數了,即使在這 樣的情況下,它們也不會對此束手無策.
比如,2 的平方根的值是 1.414214…等等、等等,無窮繼 續下去,然而,你能不能作一條線段,使之等於另一條線段的

1 柏拉圖,古希臘哲學家,公元前 427~347 年.譯者注.

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1.414214…倍,而你在作的時候可能還根本不知道你想要畫
的這條線段精確地說來到底應當等於它的多少倍. 事實上,這是很簡單的,設想有一條從 A 點到 B 點的已
知線段(我想,可以不必畫出圖就可作好,但是如果你感到需 要的話,你可以在讀本文的時候自己把這些線段畫一下,那不 是很難的事),讓這條線段 AB 表示 1.
接著,通過 B 點作一條直線與 AB 垂直,現在你有了兩 條直線,構成一個直角.以兩直線的交點 B 點為圓心,用圓 規畫一個圓,使該圓的圓周通過 A.這個圓周即能與你剛才
所作的那條垂線相交於一點,稱之為 C,由於大家都熟悉的 圓的性質,線段 BC 與 AB 正好相等,也等於 1.
最後,把 A 點與 C 點用第二條直線連接起來. 可由幾何學證明這條直線 AC 的長正好等於 AB 或 BC
的 2 倍,因此它表示無理數 2 . 當然,不要以為只需用 AB 來度量 AC 就可以得出 2
的一個精確值.由於這個圖形是由一個不熟練的人,用不精
確的工具來作出的,它僅僅是所表示的理想圖形的粗糙的近 似.由 AC 所表示的理想線段才是 2 ,而在實際的現實中,
AC 本身並不表示 2 . 用同樣的方法,可以使用直尺和圓規來表示其他無數個
無理數. 事實上,希臘人沒有理由懷疑,任何可以想像得出的數字
都能夠由一條線段來表示,而這條線段可以僅僅用直尺和圓 規,經過有限的步數作出.由於一切作圖問題都可以歸結為 作出表示一定數字的一定線段,因此可以感覺到,用任何工具
作出的任何圖都能夠只用直尺和圓規來作,有時,尺規作圖 的具體步驟可能難以捉摸,暫時無法發現;但希臘人覺得,只
-106-
要具有足夠的靈感、洞察力、智慧、直覺和運氣,作圖的方
法最終總是能夠發現的. 比如,希臘人一直沒有研究出如何只用直尺和圓規來把
一個圓周分為十七等分.然而,這是可以作出的.作圖的方法 直到 1801 年還沒有發現,可是就在那一年,年僅二十四歲的 德國數學家卡爾·弗列德裡希·高斯(Karl Friedrich Gauss)找
出了作圖的方法,一俟他把圓周分成了十七等分,就可以用直 尺把十七個等分點連接起來,從而構成具有十七條邊的規則 多邊形(「正十七邊形」).用同樣的方法可以作出一個正 257
邊形,以及其他無數個邊數更多的多邊形,可能作出的邊數可 以用一公式計算出來,但我不打算在這裡介紹這條公式了.

卡爾·弗列德裡希·高斯

高斯於 1777 年 4 月 30 日生於德國的不倫瑞克(Braunschweig), 是個花匠的兒子.他在數學上
是個神童,而且一輩子一直是
一個奇才,他有超人的記憶力 和驚人的心算能力.還在三歲 的時候,他已經能糾正他父親 帳目中的錯誤.他的出類拔萃 的能力為人所發現,由不倫瑞 克的費迪南德(Ferdinand)公
爵資助送去深造,1795 年,高
斯進了哥廷根(Goltingen)大 學.
還在十多歲的時候,他已 作出了許多卓越的發現,包括
「最小二乘方法」,這個方法可 僅以三個測點來確定一條最佳

圖 13 高斯象
擬合曲線.還在大學讀書的時候,他證明了一種正十七邊形的作
-107-
圖方法,更重要的是,他還指出,什麼樣的多邊形不能用這種方法 來作,這是最早的關於數學的不可能性的證明.
1799 年,高斯證明了代數學基本定理,即每一代數方程必具有
一個複數形式的根,1801 年他繼續證明了算術基本定理,即每個 自然數均可表示為素數乘積的形式,而且這種表示方式是唯一的.
這一切都需要高度的思想集中.有一個故事,說的是 1807 年 他的妻子臨終前,他正專心致志地埋頭研究一個問題,有人告訴他 說,他的妻子快嚥氣了,他抬起頭來,低聲地咕噥說:「去跟她說,請
她稍等一會兒.我馬上就好了」.
儘管個人的悲劇接連不斷,但他靈敏的思想似乎永不枯竭.在 六十二歲時,他自學俄語.他先後兩個妻子都年紀輕輕就死去,他 生過六個孩子,可只有一個死在他的後頭.1855 年 2 月 23 日,他
在哥廷根逝世.

如果作一個象正十七邊形這樣簡單的圖就可以把偉大的 希臘幾何學家難住.而結果被證明是一個完全可解的;那末, 為什麼任何可以想像得出的作圖,不論看起來如何困難,不能 最後被證明為可解的呢?

舉個例來說,把希臘人難住的作圖題之一是:給出一個已 知圓,求作一個正方形,使其面積與該圓的面積相等.
這個題稱為「化圓為方」 有好幾種方法可以解決這個問題.下面就是一種方法:
用你手裡最精確的測量工具,把圓的半徑量一下.比如,就隨 口說說吧,如果半徑恰好是一英吋長(這種方法可適用於任何 長度的半徑,那麼為什麼不盡量利用它的方便性呢?),把那條 半徑平方,謝天謝地,因為
1×1 等於 1,其值仍然為 1.然後 用你所能弄到的最佳的 π 值來乘它(當我又回到 π 的時候,你 們不感到奇怪嗎?),如果你把 π 的值取為 3.1415926,那末該

-108-
圓的面積即為 3.1415926 平方英吋.
現在,取該值的平方根,其值為 1.7224539 英吋,用你的 測量工具劃出一條長度正好等於 1.7724539 英吋的線段.在 線的兩端均作一條垂線,在兩條垂線上均截取 1.7724539 英
寸,然後把這兩個點連接起來.
解出了!你現在得到了一個與已知圓面積相等的正方形 了.當然,你可能感到不安,你的測量工具並非無限精確的,而 你所使用的 π 的值也是一樣,這難道不意味著與圓等積的正 方形不過是近似而非精確的嗎?
是的,但關鍵在於原則而不在於細節.我們可以假設測 量工具是完美無缺的,而所用的 π 的值又是精確到無限數位
小數.總之,假使以我們實際劃出的線段來表示理想的線段, 這實在是無可非議的,考慮到我們的直尺是完全準直的,我們 的圓規所劃的圓的起迄點也完全吻合,從原則上來說,我們確
實是將圓完美無缺地化成了正方形.
可是,我們所使用的這件測量工具,卻不是高尚雅致的幾 何學家所允許的僅有的兩件工具之中的一件,那就證明了你 不過是一個無賴和粗俗之流,你就得因此而被攆出這個俱樂 部.
這兒還有一種化圓為方的辦法.假設圓的半徑為 1,那
麼你真正需要的是另一條表示 π 的線段.如果以這樣的一 條線段為邊長來作一個正方形,則它的面積就正好同單位半
徑的圓的而積相等,那麼,怎麼得到這樣的一條線段呢?好 吧,如果你能夠作出一條與半徑長度的 π 倍相等的線段,那就 有辦法只使用直尺和圓規作出一條其長度與那條線段的平方
根相等的線段,這樣就表示了我們正在尋求的 π . 要得到一條等於半徑 π 倍的線段倒是挺簡單的.根據熟
-109-
知的公式:圓周的長度等於半徑乘 π 的兩倍.因此我們想像
一下,要是有一個圓停在一條直線上,並在圓周與直線相切的 地方作上一個小的標記,然後慢慢地轉動這個圓,使它沿著 直線滾動(不能有所滑動),直到剛才所作的記號繞完一周後
再次與直線相切為止,在再次相切線上作另一個記號.這樣, 你就把圓的周長在一條直線上截取下來了,這兩個標記之間 的距離恰好是 π 的兩倍.
然後用平常的直尺和圓規的幾何作圖法把這條線段兩等 分,就可以得到一條等於 π 的線段,作那條線段的平方根,你
就得到了 π . 作出啦!用這個方法事實上就把圓化成了正方形.
但是事情並非如此.恐怕你仍然得被攆出俱樂部,因為 你用了一個上面標有記號的滾動圓,而這項工具又是直尺和 圓規之外的另一種工具.

問題是,儘管有許多化圓為方的方法,但希臘人卻無法找 到只用直尺和圓規、經過有限的步數來解決這個問題的任何 作圖法.(他們耗費了不知多少時間來尋求一種方法.在回顧
這個問題的時候,現在看來,似乎是一件毫無意義的工作, 但過去卻並非如此.在他們的研究中,他們發現了各種各樣 新的曲線,像圓錐曲線,還有新的定理.它們的價值比化圓為
方本身所可能具有的價值要遠遠高得多.)
儘管希臘人沒能找到化圓為方的方法,但這項研究卻不 斷地繼續下去,人們不斷地試了又試,試了又試…….
現在讓我們把話題稍為轉一轉.

請考慮一個簡單的方程,比如:2x-1=0.你可以發現,
-110-
若令 x = 1 ,就可以使這個方程成立,因為 2 i 1 □ 1 確實等於零.
2 2
沒有其他哪一個數可以代替這個方程中的 x 而使方程仍然成
立.
改變上述方程裡的整數(即大家所謂的「係數」),就可以
令 x 等於別的特定的數.比方說,在 3x-4=0 中,x 等於 4 ;
3
而在 7x+2=0 中, x = □ 2 .實際上,只要選擇適當的係數,
7
就可以使 x 的值等於任何正或負的整數或分數.
但在這樣的一個「一次方程」中,所得出的 x 的值只能
是有理數.在 Ax+B=0 這樣一種形式的方程中(此處 A 和 B
是有理數),x 是不可能等於例如 2 這樣的數的. 我們要做的是試一試更為複雜的一類方程.假定我們試
一試 x2-2=0,這是一個「二次方程」,因為它包含一個平方
項.如果解這個方程,就會得到其解為 2 ,將 2 代入方 程就可以使它成立.事實上,有兩個可能的解,因為如果將
x 等於- 2 代入方程,同樣也可能使方程成立. 你可以建立三次方程,比如 Ax3+Bx2+Cx+D=0,或者
四次方程(我不必給出什麼例子了,行嗎?)或者更高次的 方程.在這些情況下要解出 x 就會變得越來越困難,得到的 解中將包括立方根、四次方根等等.
在任何這類「多項式方程」中,x 的值可由係數的運算 求出.以最簡單的情況即一次方程的一般形式 Ax+B=0 為
例,x 的值等於 □ B ;而在二次方程的一般形式 Ax2+Bx+C
A
□ B +
B2 □ 4 AC
= 0 中, x 有兩個解:其一為 ,另一為
2A
□B □
B2 □ 4 AC .
2A

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方程的解逐漸變得越來越複雜,最後,對於五次以及五次
以上的方程,儘管仍能求出它們的特殊解,卻找不出它們的通 解.然而,原則仍然保持不變,即在所有的多項式方程中,x 的值可以表達成有限個整數的有限次運算.這些運算包括加、
減、乘,除、求冪(乘方)和求根(開方).
這些運算是普通代數中所用到的僅有的運算,因而稱為 「代數運算」,任何可以由整數經過有限個任何組合的代數運 算得出的數均稱為「代數數」.反之,任何代數數均為某多項 式方程的可能解.
現在,問題成了所有代數運算的幾何等價,除了求平方根 以上的方根以外,均可僅用直尺和圓規作出.因此,如果一條
已知線段表示 1,則表示任何代數數的線段(不包括高於平方 根的方根)均可用直尺和圓規,通過有限步數的操作來作出.
由於 π 似乎並不包含任何立方根(或更高次的方根),它
是否有可能僅用直尺和圓規來作出呢?如果代數數包括一切
數字的話,也許,是可以作出的.但是否如此?是否存在著 不能成為任何多項式方程的解,因而不是代數數的數字呢? 先從有理數開始吧,所有的有理數都可能是二次方程的
解,因此所有的有理數都是代數數.當然,某些無理數也是代 數數,因為很容易寫出這樣的一些方程,使它們的根是 2 或
3 15 □ 3 之類的數. 但是否存在著這樣的無理數,它們不能用作各種可能次
數的無數個不同的多項式方程中任何一個方程的解呢?
1844 年,法國數學家約瑟夫·劉維葉(Joseph Liouville)1
終於找到了一個方法來證明這些非代數數的確實存在(我並 不知道他是怎麼找到的,但如果有哪位讀者認為我懂得這個

1 劉維葉,法國數學家,公元 1809~1887 年.譯者注.
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方法,我必須提醒他,別把我估計過高了;如果有誰能把這
個方法給我寄來的話,這是頗受歡迎的). 然而,在證明了非代數數確實存在之後,劉維葉卻仍然
舉不出一個特別的例子.他所達到的最接近的結果是證明了由 符號 e 所表示的一個數不可能作為任何想像得到的二次方程 的根.
(說到這裡,好像有什麼在誘使我對 e 這個數發起一次 討 論 ,因為我 在上一 章開 頭時曾 說到 過一個 著名 的方程 eπi=-1.但是,我將不理睬這種誘惑,因為在第 3 章中我已
經談了一些關於 e 的內容.)
後來到了 1873 年,法國數學家查爾斯·埃爾米特(Charles Hermite)1想出了一個分析的方法,用這個方法可以證明e 不可能是可以設想得出的任何次數的代數方程的根,因此實
際上它不是一個代數數.事實上,它是一個所謂「超越數」,即 一個超越(也就是超過)代數運算且不能用整數通過任何有限
的代數運算來獲得的(那就是說, 2 是無理數,但可以通過 一次代數運算來產生,即取 2 的平方根.另外,e的值只能通
過一個無限數列,其中包括無限次加、除、減等等才能計算出 來).
用埃爾米特所研究出來的這些方法,德國數學家費迪南· 林德曼(Ferdinand Lindemann)2於 1882 年證得了π也是一 個超越數.
對本章的目的來說,這一點是事關重要的,因為這意味著 一條等價於 π 的線段是無法通過只用直尺和圓規經過有限的
步驟作出圖來的.不能只用直尺和圓規把圓化為等積的正方

1 埃爾米特,法國數學家,公元 1822~1901 年.譯者注.
2 林德曼,德國數學家,公元 1852~1939 年.譯者注.

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形.這就好像不可能找到 2 的精確值,或者找到一個奇數 使之精確地等於 4 的倍數一樣.

關於超越數,我還想說上幾句,也許這是很奇怪的: 超越數曾經是很難找到的,但一旦發現它們之後,卻證明
了它們的存在是無數的.事實上,任何包含 e 或 π 的表達式 都是超越數,除非該式未經整理,而在整理後是可以消去 e 或 π 的;一切包含對數(其中包含著 e)的表達式,一切包含三角
函數(其中包含著 π)的表達式都是超越數.包含無理指數的
表達式,如 x
2 之類的數也都是超越數.
事實上,要是你回憶一下第 5 章的話,我曾說過,已證明 代數數可以與整數建立一一對應,但超越數卻不能,這你就不 難理解了.
這就是說,儘管代數數是無限的,但屬於超限數的最低一
級,即□0;而超越數則至少屬於比代數數高一級的超限數□1. 因此,超越數的數目要比代數數來得多.
儘管關於 π 的超越性的事實已經完好地建立了將近一個 世紀的時間了,但這件事卻仍然不足以阻止熱衷於化圓為 方的研究者們繼續他們的研究工作,他們依然如故地繼續企
圖用直尺和圓規來完成這件渺無希望的工作,並繼續定期地 報告著他們的解法.
因此,如果你知道一種可以只用直尺和圓規來化圓為方 的方法,我就得向你道賀,可是你的證明中肯定在哪裡會有一
個錯誤.因此沒有必要把你的結果寄給我,因為我是一個蹩 腳的數學家,不可能找出你的錯誤在什麼地方,但是我仍得告 訴你,錯誤肯定會存在的.

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8 並非虛幻的虛數

當我是一個瘦長少年還在學院裡唸書的時候,我曾有過 一位朋友,我倆每天都在一起吃午飯.他上午 11 點鐘的那堂 課是社會學,這種課我是絕不願意去聽的.而我上午 11 點鐘
的那堂課是微積分,他對這種課也是毫無興趣的.因此我們 不得不每天在十一點鐘的時候分手,再在十二點鐘的時候碰 頭.
事情是這樣發生的:他的社會學教授是一位處世態度傲 慢的學者,每每在授課結束之後還喜歡作些高談闊論,讓比較 熱心的學生全圍在他的四周,聽他發表十五分鐘題外的宏論,
在那段時間裡,學生們可以用提問的方式在他雄辯的火焰中 隨時添入一些木柴.
因此,我上完自己的微積分課之後,總是不得不到社會 學課堂去,耐心地呆到教授的演講結束為止.
一天,我走進那個課堂的時候,教授正在黑板上列出他對 人類的分類.他把人類分成二部分:神秘主義者和現實主義 者.他把數學家列入了神秘主義者這一部分裡,和詩人、神學
家並列在一起.有一位學生提問,請他解釋為什麼說數學家 屬於神秘主義者.
「因為,」教授回答說,「數學家們相信一些壓根兒不存在 的數.」
由於我不是這個班級的學生,所以我平常總是坐在角落 裡,靜靜地在無趣中受罪,可現在我卻激動地站起來問道:「什 麼數?」
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教授朝我看了一眼,說:「負 l 的平方根,它是根本不存在
的,所以數學家管它叫虛數,可他們又相信這種數以某種神秘 的方式存在著.」
「虛數根本沒有什麼神秘的,」我生氣地說,「負 1 的平方 根就跟其他任何的數完全一樣的現實.」
教授微笑了一下,他覺得現在有一個活靶子可以供他賣 弄他卓越的才智了(自從我自己聽他的課以來,就確切地知 道他當時是怎麼感覺的).他得意洋洋地說:「現在我們這兒有 一位年青的數學家,他想證明負 1
的平方根的現實性,好,來 吧,小伙子,請給我拿出負 1 平方根枝粉筆來!」
我的臉發紅了,「嗯,那,等一下……」 「那就得了.」他揮了揮手說,他準以為,這場爭論已經干
淨、利落地結束了. 但我提高了嗓門說:「我可以做得到的,可以做得到的,我
可以給你拿出負 1 平方根枝粉筆來的,不過你先得給我拿出 半枝粉筆來.」
教授又微笑了一下,說:「很好.」他把一枝新粉筆折成兩 半,把其中的一半交給我說:「現在,你總沒有什麼話可以說 了吧.」
「噢,別著急,」我說,「你還沒有做到這一點呢,現在你拿 給我看的是一枝粉筆而不是半枝粉筆.」我把那段粉筆舉起 來讓大家看,「你們大家說這是不是一枝粉筆?它當然不是兩 枝或三枝粉筆.」
現在教授不再微笑了,「拿著!一枝粉筆是指一枝正常長 度的粉筆,而你手裡的只有正常長度一半的粉筆.」
我說:「可現在你突然對我提出了一條任意解釋的定義, 就算我接受你這條定義,那你是不是打算堅持說,這確實是半
-116-
枝而不是 0.48 枝或者 0.62 枝粉筆呢?當你對一半的意義還
弄不大清楚的時候,又怎麼能認為你自己確實有資格來談論 負 1 平方根的問題呢?」
現在,那位教授完全喪失了他泰然自若的態度,對我最後 的駁斥,他顯然是無法回答的,他只得嚷道:「把這個混蛋攆 走!」我大笑著走出了課堂.此後,我就在走道裡等待我的朋 友.
從那以來,已經過去了二十個年頭,我覺得,現在應該 來結束那場爭論……

讓我們從一個簡單的代數方程 x+3=5 說起.這個表達 式中 x 表示某個數,若以這個數來代替 x,就可以使方程的兩 邊相等.在上述這個方程中,x 必須等於 2,因為 2+3=5,
這樣我們就「解出了 x」.
有趣的是,這個解是唯一的解.除了 2 以外,沒有一個數 能夠在加上 3 之後得到 5.
對這類問題來說,任何一個方程都是這樣的.這種方程 叫做「線性方程」(因為它在幾何學上能以一條直線表示)或 「一次多項式方程」.沒有一個一次多項式方程,其 x 可以擁有 多於一個的解.
當然,還有其他一些方程是可以擁有一個以上解的.這裡 就是一個例子:x2-5x+6=0,這裡 x2(讀作「x 平方」或「把 x
平方」)表示 x 乘 x.這種方程稱為「二次方程」,「二次」
(quardratic)一詞來自拉丁語,意即「平方」(square),因為它包 含著 x 的平方.它也可以稱為「二次多項式方程」,因為在 x2 中有「2」這個小字碼.至於 x 本身,則可寫作
x1,只是「1」經常 被認為可以理所當然地省略不寫,這就是為什麼說 x+3=5
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是一次方程.
如果以方程 x2-5x+6=0 為例,取 2 代 x,則 x2 為 4,5x 為 10,故方程變為 4-10+6=0,該式成立,故 2 是方程的 一個解.
但是,如果取 3 代 x,則 x2 為 9,而 5x 為 15,這樣方程 就變為 9-15+6=0,它也是成立的,故 3 是該方程的第二個 解.
現在還沒有發現任何一個二次方程能擁有多於二個的 解,但三次多項式方程又怎樣呢?三次多項式方程包含著 x3
(讀作「x 立方」或「把 x 立方」),故這類方程也稱為「立方方 程」.符號 x3 表示 x 乘 x 乘 x.
方程 x3-6x2+11x-6=0 有三個解,因為可以令 x 等於
1、2 或 3,代入這個方程後,每次都能夠使等式成立.然而迄 今為止,尚未發現任何三次方程有多於三個解的.
用同樣的方法可以構成四次多項式方程,它具有四個解, 但不會有更多的解;五次多項式方程有五個解,也不會有更多 的解;余類推.這樣,可以說,一個 n 次多項式方程就可以具 有 n
個解,但也永遠不會有超過 n 個的解.
數學家們要求的是比這更美的東西.直到 1800 年左右 才找到.當時,德國數學家卡爾·弗列德裡希·高斯證明了每 個 n 次方程都有恰好 n 個解,既不多,也不少.
然而,為了證實這條基本定理的正確性,我們關於代數方 程解的構成概念必須極大地加以擴大.

起初,人類所接受的只有「自然數」:1、2、3 等等.對於 計數客體的個數來說,這是合適的.因為客體一般僅被認為 是些單位.你可以有 2 個孩子,5 條牛,或者 8 個水壺;說你
-118-
有 2 1 個孩子, 5 1 條牛,或者 8 1 個水壺是沒有多大意義的.
2 4 3
然而,在測量連續量的時候,比如象長度、重量等等,
分數就成為必不可少的了.埃及和巴比倫人曾試圖找到處理 分數的方法,雖然這些方法拿我們的標準看來並不是非常有 效的,但其中有些保守的學者無疑曾嘲笑過那些神秘的數學
家,因為他們相信存在著象 5 1 那種既非 5 又非 6 的數字.
2
這種分數其實是整數之比.比如,說一塊木板長 2 5 碼,
8
這就是說,這塊木板的長度對標準碼尺的長度之比為 21 比 8.
然而,希臘人發現,有一些確定的數是不能表示為整數之比
的.最早發現的這樣的數是 2 的平方根,通常表示為 2 . 這是這樣的一個數,它自乘之後就能得到 2,這樣的數確是
存在的,但它卻無法表示為一個比值,因此它是一個「無理 數」.
從前,對於數的概念僅擴展到此為止.這樣,希臘人是
不接受比零更小的數的.怎麼能比「無」更小呢?因而,在 他們看來,方程 x+5=3 是沒有解的.怎麼能把 5 加到一個 數上,得出 3 這個結果呢?即使把 5 加到最小的數(即零) 上去,所得的和也是
5,如果把 5 加到別的任何數(它總是 大於零的)上去的話,所得到的和總是大於 5 的.
第一位打破這條戒律並對小於零的數作出系統使用的是 意大利人基洛拉莫·卡爾達諾(Girolamo Cardano).總之,存
在著可以比無更小的事物,債務就是一件比無更小的事物. 如果你在世界上擁有的全部財產是兩元錢的債務,那你
就比無少了兩元錢.如果後來有人給了你五元錢,結果你自 己就有了三元錢(假定你是一個肯還債的老實人),因此,在

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x+5=3 這個方程中,可令 x 等於-2,其中負號表示一個小
於零的數. 這樣的數稱為「負數」,這個詞來自一個拉丁詞,其意義
為「否定」.這樣,這個名稱本身就帶上了希臘人否定這種數 的存在的痕跡.比零更大的數稱為「正數」,它們可以寫成
+1,+2,+3 等等. 這樣,就從一個實際的問題出發,把數字系統進行了擴
展,使它包括了負數,從而簡化了各種各樣的計算.舉例說, 簿記中的計算就能簡化了.
從理論的角度出發,使用負數意味著每個一次方程都恰 好有一個解,既不多,也不少.

如果我們繼續研究二次方程,就會發現,對於方程 x2-
5x+6=0,希臘人將會同意我們,說它有兩個解:2 和 3.然 而,對於方程 x2+4x-5=0,他們會說它只有一個解:1,以
1 代 x,則 x2 為 1,而 4x 為 4,故方程變為 1+4-5=0,要是 我們把自己局限在正數範圍的話,那麼這個方程確實再沒有 其他的數字來作為它的解了.
然而,如果給出幾條與負數的乘法有關的規則,則我們可 以認為數字-5 也是這方程的一個解.為了得出符合實際的 結果,數學家們決定讓負數乘正數得到負數的積,而負數乘 負數則得出正數的積.
若在方程 x2+4x-5=0 中,以-5 代 x,則 x2 成為-5 乘
-5 得+25,而 4x 則成為+4 乘-5,得-20;方程變為 25-
20-5=0,它是成立的.此時我們就可以說,該方程有兩個 解:+1 和-5.
有時,一個二次方程看來確實只有一個解.舉例說,方程
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x2-6x+9=0,如果將+3 代 x 而且只有將+3 代 x,則等式成 立.然而,方程解的結構表明,事實上它確有兩個解,但這 兩個解恰好相等.這樣,方程 x2-6x+9=0 就可以改寫為
(x-3)(x-3)=0.從每個(x-3)均能得出一個解,因此該 方程的解為+3 和+3.
如果在數字系統中包括了負數,且我們允許偶然出現的 兩重解,那麼能不能說所有的二次方程均能證明恰好具有兩 個解呢?
可惜不能!考慮一下方程 x2+1=0.首先,必須令 x2 等 於-1,因為以-1 代 x2,則方程成為-1+1=0,這完全是成 立的.
但要使 x2 等於-1,則必須使 x 等於著名的負 1 的平方根
( □ 1 ),就是那個引起我同那位社會學教授之間的一場爭
論的東西.負 1 的平方根是這樣的一個數,當它自乘時,可以 得到-1.但在正數和負數的集合中是沒有這個數的,這就是 社會學教授嘲笑這個數的理由.首先,+1 乘上+1 等於+1, 其次,-1 乘上-1
還是等於+1.
為了讓方程 x2+1=0 好歹能有解,先別去管它是否有兩 個解.都必須越過這個路障.如果沒有一個正數,也沒有一 個負數能夠成為這個方程的解,那就完全有必要定義一種全
新的數,一種虛數,如果你喜歡這麼說的話;這個數的平方 等於-1.
如果願意的話,我們可以給這種數以一個特別的記號,我 們已經用了加號來表示正數,用減號來表示負數,現在我們可 以用一個星號來表示這種新的數,並且說:*1(「星號 1」)乘*1 等於-1.
然而,我們卻並沒有這麼辦.瑞士數學家利昂納德·歐勒
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於 1777 年引入了符號 i 即「虛」(imaginary),來表示這種新
的數,此後這個符號就被廣泛採用了.這樣,我們就可以寫 成: i = □ 1 ,或 i2=-1.
對 i 下了這樣的定義之後,我們就可以用它來表示任
何負數的平方根.比如,
□ 4 能寫成 4 乘
□ 1 ,或 2i.一
般說來,任何負數的平方根
□ n 都可以寫成相應的正數平方
根乘以負 1 的平方根,即:

□ n = n i
用這樣的方法,我們可以把整個虛數的數列描繪成完
全類似干普通的數或「實數」的數列.對實數 l,2,3,4,…, 可以寫出虛數 i,2i,3i,4i,…,這也可以包括分數,因為
2 可以與 2i 相對應, 1 5 可以與 1 5i 相對應,等等;它也能包
3 3 17 17
括無理數,因為 2 可以與 2 i 相對應,即使象 π 這樣的 數也能與 πi 相對應.
這些是正數與虛數的全部的比較.它與負數又如何相比
較呢?好吧,為什麼不能有負的虛數呢?對於-1,-2,-3,
-4,…,可以有-i,-2i,-3i,-4i,…,與之相對應. 這樣,我們就有了四類數:(1)正實數,(2)負實數,
(3)正虛數,(4)負虛數(將一個負虛數乘上一個負虛數, 其積為負數).
將數字系統作這樣地進一步擴展,我們可以發現方程
x2+1=0 的兩個必要的解,它們是+i 和-i.首先,+i 乘以
+i 等於-1;其次,-i 乘以-i 等於-1.故在這兩種情況下, 方程都變成了-1+1=0.等式成立,
事 實上, 可以 使用同 樣的 數字系 統的 擴展來 找到象
x4-1=0 這樣一個方程的所有四個解.這些解是+1、-1、
+i、-i.為了說明這 一點,我們 必須記住,任何數的 四

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次冪等於該數平方的自乘積,即 n4 等於 n2 乘上 n2. 現在,讓我們把所提出的四個解逐一代入方程,則 x4 分
別等於:(+1)4,(-1)4,(+i)4 和 (-i)4.
首先,(+1)4 等於 (+1)2 乘以 (+1)2,由於 (+1)2,等 於+1,該式變為+1 乘+1,其積仍然為+1.
其次,(-1)4 等於 (-1)2 乘上 (-1)2,由於 (-1)2 亦等 於+1,故上式仍然變為+1 乘以+1,或仍為+1.
第三,(+i)4 等於 (+i)2 乘上 (+i)2,由於我們規定 (+
i)2 等於-1,故上式變為-1 乘以-1,其積為+1. 第四,(-i)4 等於 (-i)2 乘以 (-i)2,它也等於-1 乘以
-1,其積為+1.
以上提出的所有這四個解在代入方程 x4-1=0 時,都能 得到下式:+1-1=0,該式是成立的.

在數學家看來,在談論到虛數時似乎一切都很順利.只 要某些已定義的數字遵守與數字系統中的其他一切規則並不 矛盾的運算規則,數學家就感到高興了.對於它「意味著什麼」 他們並不真正在乎.
但是普通的人卻很在乎,就是因為如此,那位社會學家 才把數學家指責為神秘主義者.
然而,給所謂的「虛數」賦予真正的現實和具體的意義,這 是世界上最簡單不過的事.只要想像一條水平的直線與一條 垂直的直線相交,把交點稱為零點,現在就有了四條從零點出
發的射線,共同構成一個直角,你可以把這些直線與四種數字 等價起來.
如果在向右的那條射線上每隔相等的間隔就標以記號, 這些記號就可編上+1,+2,+3,+4,…等等的數字,一直
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編到要多遠就多遠,只要我們把直線畫得足夠長即可.在記
號與記號之間是所有的分數和無理數,事實上,可以表明, 這樣直線上的每個點都相應於一個而且唯一的一個正實數, 而對每個正實數,在直線上也可以找到一個而且唯一的一個 點.
向左的那條射線可以類似地用負實數來作上記號,這樣, 水平線就可以認為是「實數軸」,包括正實數和負實數.
同樣,向上的那條射線可以用正虛數來作記號.向下的那 條射線可以用負虛數來作記號,這樣,垂直線就可以作為虛數 軸.
假定我們並不利用通常的記號和符號,而是用直線所指 的方向來標明不同的數字.正實數的朝右的射線可以稱為東, 因為在一般的地圖上這個方向正好是東方,朝左的負實數的
射線稱為西;向上的正虛數的射線為北,而向下的負虛數的 射線為南.

利昂納德·歐勒

歐勒是一位基督教加爾文派教長的兒子,1707 年 4 月 15 日 誕生於瑞士巴塞爾.十六歲時,他就取得了巴塞爾大學的碩士學 位.
1727 年,歐勒到了俄國的聖彼得堡,卡德琳娜(Catherine)一世
——彼得大帝(peter the Great)1的遺孀剛在那兒建立了彼得堡科 學院.歐勒在彼得堡科學院度過了他一生的大部分時間.為了試 圖制定一種定時系統,他長期不息地觀測太陽,致使他的右眼在
1735 年失明.
1741 年歐勒到柏林去領導和整頓腐敗的柏林科學院,但他與

1 彼得大帝,俄國沙皇,公元 1672~1725 年,在位期間公元 1682~1725 年.卡德 琳娜一世,公元 1684~1727 年,在位期間公元 1725~1727 年.譯者注.
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普魯士的新君弗雷德裡克二世(Fredrick)1相處不甚融洽,遂在
1766 年再度到彼得堡工作.1783 年 9 月 18 日,歐勒在彼得堡逝 世.
歐勒是個空前多產的數學家,他的著作遍及數學的各個分支. 他的論證推理周密嚴謹,並將他所走的彎路編列成表.1766 年, 歐勒剩下的另 一
只眼睛也終於 失 明,但這幾乎絲毫
未能阻擋和減 緩
他的寫作速度,因 為他有著非凡 的 記憶力,可以記住 整整幾黑板的 演 算.他共計出版了 八百篇論文,其中
有些篇幅很長,在
他逝世以後,遺下 的論文讓印刷 出 版界足足忙了 三 十五年之久.
歐勒在 1768
年出版過一本 極 為成功的科普 讀
物,這本書一連發 行了九十年之久.
圖 14 歐勒象

他逝世前不久剛研究了某個與汽球飛行有關的數學問題,這是
在蒙高飛(Montgolfier)兄弟 2乘坐汽球飛行成功之後受到啟示而寫

的.他引入了「e」作為自然對數的底的符號,「i」作為負 1 平方根

1 弗雷德裡克二世,普魯士國王,公元 1712~1786 年,公元 1740~1786 年在位. 譯者注.
2 蒙高飛兄弟,約瑟夫·米歇爾·蒙高飛和雅各·埃坦·蒙高飛,法國人,1782 年 發明熱空氣氣球.生卒年份分別為公元 1740~1782 年,1745~1799 年.譯者注.
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的符號,「f ( )」作為函數的符號.

現在,如果我們同意+1 乘+1 等於+1,並且我們集中 思想於像我剛才已定義的那樣用羅盤上的字符來考慮問題, 則我們就可以說東乘東得東.又由於-1 乘-l 也等於+1,
故西乘西亦得東.接下來,由於+i 乘+i 等於-l,而-i 乘
-i 亦等於-l,故北乘北等於西,南乘南亦得西. 我們也可以再作一些其他的組合,比如-l 乘以+i 等於
-i(由於正乘負得到負的積,即使在虛數的情況下也是如 此),故西乘北得南.如果我們把羅盤上的各點的所有可能的 組合全部列出,用文字來寫出這些點,就可以列出下面這個表 格:

東×東=東 東×南=南 東×西=西 東×北=北 南×東=南 南×南=西 南×西=北 南×北=東 西×東=西 西×南=北 西×西=東 西×北=南 北×東=北 北×南=東
北×西=南 北×北=西

我們得到一個極有規律的模式:羅盤上的任何一點乘以 東總是保持不變,故以東作乘數的話,就表示旋轉 0°.其次, 羅盤上的任何一點乘以西則旋轉 180°(「向後轉」),北和南
表示轉過一個直角.乘以南得出順時針向轉動 90°(「向右 轉」),而乘以西則得出逆時針向轉動 90°(「向左轉」).
現在,方向不變恰恰是最簡單的排列,故東(正實數)比起 其他各種數字來說,都要更易於掌握,也更能讓腦子感到舒服 些.西(負實數)得出向後的旋轉,但至少仍然保持在同一條
直線上,它當然是不那麼舒服的,但總算還過得去.北和南
(虛數)會把你帶到一個新的方向去,這是最不舒服的.

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但從羅盤上的點來看,你可以發現,沒有哪一種數集合比
其他的數集合來得更「虛」些,或者說,由於這個緣故,沒有 哪一種數集合比其他的數集合來得更「實」些.
現在可以考慮一下,這兩條數軸的存在是多麼有用.如 果只考慮實數,那麼我們就只能沿實數軸向前或向後作一維 移動.如果只使用虛數軸,則只能同樣沿虛數軸作上下移動.
同時使用這兩條軸,我們就可以在實數軸上右行或左行 到某個地點,並在虛數軸上上行或下行到某個地點來確定一 個點.這樣就可以指定由兩條軸所構或的四個象限之一中的
某個點.這恰恰就是用經度和緯度將地球表面的某個點定位 的方法.
我們可以這樣來說一個數,比如+5+5i,它代表沿實數 軸朝東數上五個單位,接著朝北數上五個單位後到達的那個
點 .你 也可以 得到- 7+ 6i,或 + 0.5432- 9.11i,或 + 2
+ 3 i 這樣一些點. 把實數和虛數的單位結合起來的這樣一些數稱為「復
數」. 使用兩條數軸之後,平面內(而不僅是直線上)的任何一
點都可以使之與一個而且唯有一個複數相對應;而每個可設 想的複數也能且僅能與平面內的一個點相對應.
事實上,實數本身僅是複數的特殊情況,從這一點看來, 虛數也是一樣.如果你用- a+ bi 的形式來表示所有複數的 話,則實數就是 b 恰好等於零的所有那些複數;而虛數則是
a 恰好等於零的所有複數.

用複數平面來代替實數的直線,其用途對數學家來說是 無可估量的.
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例如,只有在把複數解考慮在內時,多項式方程的解的個
數才與它的次數相等,如果僅考慮實數解或虛數解則不然.例 如 x2-1=0 的兩個解是+1 和-1,可以寫作+1+0i 和-1+0i; x2+1=0 的兩個解是+i 和-i 或 0+i 和
0-i;x4-1=0 的四 個解是剛才所列的四個複數.
在所有這些非常簡單的例子中,包含著零的複數可以簡 化為不是實數就是虛數.然而,情況並非總是這樣.在方程
x3-1=0 中,一個解當然是+1+0(i
它可以簡單地寫成+1),
但另外兩個解卻是 □ 1 + 1 3 i 和 □ 1 □ 1 3 i .
2 2 2 2
胸懷大志的親愛的讀者,請您不妨把上面這兩個解來立
方一下(如果您還記得代數多項式乘法的話),要是確能得出
+1,您就可以心滿意足了. 複數還有著它重要的實際意義.許多熟悉的度量都涉及
到「標量」,它們只有大小之分.某一體積大於或小於另一個; 某一重量大於或小於另一個;某一密度大於或小於另一個.從 這一點來說,某項債務亦可以大於或小於另一項,對於所有
這樣的度量,只要正的和負的實數就足夠了.
然而,還存在著既有大小又有方向的「矢量」.一個速度 與另一個速度不僅大小可以不同,而且方向也可以不同.力、 加速度等也是如此.
對於這樣的矢量,在數學處理中,就必須用到複數了, 因為複數既包含著大小也包含著方向(這就是我用四種數字 比擬於羅盤上方位點的理由).
那麼,當那位社會學教授要求拿出「負 1 平方根枝粉筆」 的時候,他所說的只是標量的現象,它只需使用實數就足夠 了.

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在另一種情況下,要是他問我如何從他的課堂走到校園
裡的某個地方去,這時如果我回答說:「走二百碼」的話,他很 可能會大發脾氣,他很可能會惱火地問:「朝那個方向走?」 現在,你可以明白了,對那些實數不足以解決的問題,
必須牽涉到矢量.我只要這樣說就可以使他滿意了:「朝東北
走二百碼」.這種說法同「走 100 2 +100 2 i 碼」是等同 的.
因為不能使用複數來數粉筆的枝數,就把負 1 的平方根 看作是「虛」的,這實在是很可笑的.這正像 200 這個數字,因 為只用它本身不能表達一點相對於另一點的位置而把它看作 是「虛」的一樣荒唐.

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第三部分數和度量衡

9 忘 掉 它!

幾天前,我把一本新的生物學教科書(《生物科學:生命的 探索》,由一些特約撰稿者編寫,1963 年由 Harcourt,Brace & World 公司出版)通讀了一遍,發覺它寫得十分動人.
可是不幸得很,我先把該書的前言讀了一遍(我是那種喜 歡先讀前言的人),這一來,就使我深深陷入了憂慮之中.現
在不妨把前言的最前面兩段文章在這兒摘錄幾句吧: 「我們的科學知識每隔一代便增加五倍……以目前科學
進展的速度來看,我們今天重要的生物學知識大約是 1930 年 的四倍,是 1900 年的十六倍,以這樣的速度增長下去,到
2000 年左右,生物學所『包含』的知識就將為本世紀初的一 百倍.」
可以想像,這些話多麼叫我感到不安.我在科學上是一 個職業「趕形勢的人」,在我比較狂熱、奔放、得意的時候,我 甚至以為我的工作是幹得挺成功的呢.
在我讀到上面所摘錄的那些文字的時候,我覺得世界好
像在我的身邊崩潰了,我並未趕上科學的發展,槽糕的是, 我根本無法趕上它.更槽糕的是,我正在一天比一天更落後
於科學的發展.
最後,在我為自己歎息得夠了之後,我也專心致志地為整 個世界憂慮了好一陣子.人類將變得怎麼樣呢?我們將會變 得更加視死如歸.不久以後,我們都會死於有害健康的教育,
讓種種事實和概念塞滿我們的腦細胞,達到無法消化的地步, 讓我們的耳邊爆發出陣陣資料的暴風.
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但是,事有湊巧,就在我讀《生物科學》前言的那一天,碰
巧我也見到了一本老掉了牙的舊書,書名是《派克算術》.至 少,在書脊上是這麼寫的.在扉頁上,這本書的書名就寫得稍
為詳細一點,因為在那個對代,書名不過是書名而己.扉頁上 的標題是這麼寫的:「為美國公民之用而編寫的一本算術全
書,碩士尼古拉·派克(Nicolas Pike)著」.它於 1785 年初 版,我讀的那個版本是「第二版增訂本」,於 1797 年出版. 那是一本篇幅超過五百頁的巨著,密密麻麻地印滿了小
號字體,沒有任何插圖、表格之類能叫人喘口氣的東西.它是 結結實實的一大塊講解算術的文章,只有在書末才附了幾小
段介紹代數和幾何知識的文字. 我心裡迷茫了.我有兩個孩子在小學唸書 1(而我本人
也曾經在小學念過書),我知道今天的算術書是什麼樣子的. 它們的篇幅一點也不像這本書那樣大,書的字數甚至不到派 克著作的五分之一.
是不是我們刪除了些什麼內容呢?
因此我就把派克的書從頭至尾讀了一遍,你知道,我們確 是刪除了一些東西,而那樣做一點也沒有什麼弊病.糟糕的 是,我們所刪除的內容實在還不夠多.

比如,在第 19 頁上,派克花了半頁篇幅開列了一張用羅 馬數字表示的數目表,表中的數字一直列到五十萬這麼大. 阿拉伯數字在中世紀全盛時期傳入歐洲,一旦它們出現 之後,羅馬數字便完全銷聲匿跡了(見第
1 章).羅馬數字失去
了一切可能的用途,阿拉伯數字比它們不知道要勝過多少倍.

1 本文初版於 1964 年 3 月,隨著歲月的流逝,現在我的第二個孩子也已經在大學裡 學得不錯了.原注.
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直到此前,為了表達用羅馬數字來計算的方法,誰知道得用去
多少令紙張啊.而從此之後只需百分之一的紙,就可完成同 樣的計算,而我們除了一些無用的規則之外,並沒有失去什 麼知識.
然而,在羅馬數字判處死刑五百年之後,派克仍然把它們 收編在冊,還要求他的讀者學會把這兩種字數相互轉譯,儘管 他沒有說明如何運用它們.事實上,在派克以後的近二百年
中,羅馬數字仍然在學校中傳授著.我的小女兒現在就在學 習羅馬數字呢.
但是,為什麼還要學習它們呢?哪些地方用得到它們呢? 的確,你可以在街角石、墓碑石,鐘面、一些公共建築物和文 件上找到羅馬數字,可它壓根兒不是必不可少的.它僅僅用在
陳列、等級,用於古色古香以及某種仿古典主義的情調中.
我敢這麼說,確有一些多愁善感的人,他們感到有關羅 馬數字的知識乃是學習歷史和文化的一種入門,如取消羅馬 數字,就可能有點像廢棄巴台農神廟 1里遺留下來的東西那
樣.但我對這種令人厭惡的東西卻毫無耐心.照這種想法, 我們也完全可以要求,每個人在學習駕駛汽車時也都得花一 些時間去學習福特T型汽車的方向盤,以便獲得一些早期汽車 的情調.
羅馬數字嗎?忘掉它吧!省下些篇幅來寫點新的有價值
的材料吧. 但我們是不是敢於忘掉一些東西呢?為什麼不呢?我們
已經忘掉了很多,比你所想像的還要多.我們的麻煩不是出 在我們已忘掉的事實,而是出在我們把它們記得太牢了,我們 忘記得還不夠多.

1 這是希臘雅典祭雅典娜女神的神廟.譯者注.

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派克書中的大量內容乃是我們還沒有徹底忘掉的東西.
這就是為什麼現代算術書比派克的書來得簡短.如果我們能 把有些東西忘記得一乾二淨的話,那麼現代的算術書還可以 寫得更簡短些.
比方說,派克把很多頁的篇幅用於表格,用於那些他認 為讀者應當非常熟悉的大概很重要的表格.他的第五張表格 的標題是「布的度量」.
你是否知道 2 1 英吋是一「奈爾」(nail)呢?當然啦,是
4
這樣.16 奈爾等於 1 碼,而 12 奈爾則等於 1 埃爾(ell).
不,請等一會.那 12 奈爾(27 英吋)等於的是一個佛蘭芒
埃爾;而一個英國埃爾要等於 20 奈爾(45 英吋),一個法國 埃爾要等於 24 奈爾(54 英吋);另外,一個蘇格蘭埃爾等於
16 奈爾零1 1 英吋( 37 1 英吋)呢.
5 5
現在,如果你打算進入商界,做些布匹進出口生意的話,
你就得知道所有這些埃爾,除非你能想出什麼法子來把這些 埃爾全部從商業中清除出去.
除了布匹之外,差不多每件貨物都要用它自己的單位來 計量.你說一小桶(firkin)黃油、一缽子(punch)洋李脯、一 福特(fother)鉛、一口石(stone)鋪子裡的肉等等.這些單位表
示一定磅數的重量(指常衡磅,此外還有金衡磅和藥衡磅 1等), 派克詳細地列出了所有這些單位的等價法.
你想不想測量距離呢?好吧,不妨看一下: 712 英吋等
100
於 1 令克(link),25 令克等於 1 桿(pole),4 桿等於 1 測鏈

1 常衡磅,以 16 盎司(英兩)為一磅.金衡磅、藥衡磅均以 12 盎司為一磅.譯者 注.
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(chain),10 測鏈等於 1 佛浪(furlong),8 佛浪等於 1 英里. 或許,你想計量一下淡鮮啤或者啤酒吧?在殖民地時代
1,這是件很普通的事.當然,你得懂得這種語言,這就是:
2 品脫(Pint)等於 1 夸脫(quart),而 4 夸脫等於 1 加侖(gallon). 是啊,不管怎麼說,直到今天我們還在用著.

然而,在殖民地時代,十足的一加侖啤酒或淡鮮啤還只是 最起碼的呢,那不過是孩童之量,你還得知道怎麼說成人之量. 請看:8 加侖等於 1 小桶,即等於「倫敦的一小桶鮮啤酒」.然 而,取 9
加侖等於倫敦的「一小桶啤酒」.中間量是 8 1 加侖,
2
稱為「一小桶鮮啤或啤酒」,這個單位大概是在倫敦郊區以外
的地方使用的,那兒的老鄉們對於區分這兩者是並不講究的. 再往下說吧:2 小桶(我假定是中間的一種,但我說不准
是否真是這種),等於 l 桶(kilderkin),2 桶等於 1 琵琶桶
(barrel).接下來是:1 1 琵琶桶等於 1 中桶(hogshead),2 琵
2
琶桶等於 1 大桶(puncheon),3 琵琶桶等於 1 特大桶(butt).
你有沒有把這些都搞清楚了?
如果你還有胃口再瞭解些更好的東西的話,讓我們再來 試試干量.
這兒,2 品脫等於 1 夸脫,2 夸脫等於 1 壺(pottle)(請注 意,不是瓶,而是壺,你不會從來沒聽說過壺吧!),讓我們繼 續說下去.
接下來,2 壺等於 1 加侖,2 加侖等於 1 配克(peck),4 配 克等於 1 蒲式耳(bushel)(現在,請你深深地透口氣吧).然 後,2 蒲式耳等於 1 斯突拉克(strike),2
斯突拉克等於 1 庫

1 指美國獨立前為英國殖民地的時代,亦稱十三州時代.譯者注.

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姆(coom),2 庫姆等於 1 誇特(quarter),4 誇特等於 1 卻爾
特倫(chaldron)(雖然在倫敦這個消費城市裡,要 4 1 誇特方
2
才等於 1 卻爾特倫).最後,5 誇特等於 1 韋(wey),2 韋等 於 1 拉斯脫(last).
以上這些內容都不是我自己編造出來的,而是直接從派 克書上的第 48 頁抄錄下來的.
那麼,1707 年的時候學習算術的人是否需要把這一切全 記住呢?當然是囉,因為派克用了那麼多的時間來講解復合
加法,千真萬確,復合的加法. 你可知道,你平時所認為的那種加法只不過是「簡單加
法」而已,復合加法是比這更難的一些加法.現在我就來給 你解釋什麼是復合加法.

假如你有 15 個蘋果,你的朋友有 17 個蘋果,一位過路的 陌生人有 19 個蘋果,你打算把這些蘋果聚成一堆,聚攏以後, 你還想知道這裡一共有多少個蘋果.如果不喜歡把它們數一
下的話,你就會用在學校受教育時學到的知識來把它們相加 起來:15+17+19.你先從個位數開始加,得到 5+7+9=21, 然後把 21 除以 10,得到商為 2,加上餘數 1,因此你就寫下 餘數
1,把商 2 進入十位數……
我好像聽到讀者中間發出了一陣響亮的喊聲,一陣火氣 很大的責問聲:「這算什麼意思:」「這種『除以 10』之類的 廢話是何從而來的?」

碼尺

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碼尺是我們大家都理所當然地認為生活中不可缺少的物件之
一,但是卻很少有人瞭解,碼尺的產生曾經遇到了 多少因難;在形成碼尺之前,曾有過多少個敏銳的 思想.
古時候,測量長度的自然方法是採用人體的各 個部分來達到度量的目的.我們今日在量馬的身高 時,仍然說它是多少「掌」(hand)高.我們還用 「指距」,即手掌張開時,大拇指和小指兩端的距離
來度量長度;「肘尺」(cubit)這個單位來自一個拉 丁詞,意即「肘」(elbow),等於指端到肘部的跟離; 「碼」(與「圍長」有關),指鼻子到指尖的拒離,或 者指一個男人的腰圍長度.
使用人體各部分作為度量工具,其麻煩在於這 些部分的長度因人而異.從我的指尖到鼻子的長度 接近一碼,但我的腰圍就大大超過一碼.
最後,人們想到應當建立一把「標準碼尺」,至 於你自己的尺寸如何就可以不管了.據傳,一碼
的標準長度最初取自英王亨利(Henry)一世 1的 指端到鼻子的距離.據推測,一英尺的標準長度 則是查理曼(Charlemagne)大帝 2的腳長為依據 的.
自然 ,英 國國 王不 可能 挨村 挨戶 去用 他的 鼻 子和指尖的距離度量布匹,因此就把一根木棍放在
他面前,把他 的鼻子和指尖 在棍子上下作 兩個記
號,這兩個記號之間的距離就作為一個標準碼尺. 再用這把標準碼尺來量其他的木棍,製造一個副標 准碼尺,送到各個村子,用來校核當地商人們的長 度測量.

1 亨利一世,公元 1068~1135 年,在位期間公元 1100~1135 年. 譯者注.
2 查理曼大帝,公元 742~814 年,公元 768~814 年為法蘭克王. 譯者注.

圖 15 碼尺

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啊!親愛的讀者們,可是你在每次作加法的時候確實是
這麼做的.全靠那些設想出我們以十為基數的阿拉伯數字系 統的善良的人們,方才使我們在將任何一個二位數除以 10 的時候,第一個數字恰好表示商,第二個數字恰好表示余 數.
由於這個原因,一旦不用除法運算,我們手中有了商和 餘數,那末我們就可以自動地相加.如果個位數加起來是 21, 我們就記下 1 進 2;如果個位數相加得到 57,我們就可以記 下 7 進 5,等等.
提醒你一下,這麼做唯一的理由是,在把一系列的數字 相加時,每一列數字(自右向左算下去)表示一個比前一列大 十倍的數字,最右邊的一列是個位數,其左邊的一列是十位 數,再左邊的一列是百位數,余類推.
正是這種十進制數字的組合,其每一列數字與相鄰一列 數字的比值是十,才使加法變得極其簡單.由於這個緣故,所 以派克把它稱為「簡單加法」.
現在,假定你有 1 打零 8 個蘋果,你的朋友有 1 打零 10 個蘋果,一位過路的陌生人有 1 打零 9 個蘋果,把這些蘋果堆 在一起,這樣來相加:
1 打 8 個
1 打 10 個
1 打 9 個
由於 8+10+9=27,我們是否也記 7 進 2 呢!根本不是. 因為一打裡有 12 個,故「打」的列與「個」的列的比值不是 10 而是 12.由於我們所用的數制是以 10 為基數而非以 12
為基 數,因此,我們就不能再讓原來的進位方法支配我們的思想, 我們得兜上一個大圈子才行.
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如果 8+10+9=27,則必須用列與列之間的比值來除它
們,在此情況下,這個比值是 12.我們知道,27 除以 12 得商 為 2,加上一個餘數 3,因此我們記 3 進 2,在打的一列中我 們就得到 1+1+1+2=5.因此,蘋果的總數是 5 打零 3
個.
凡是使用非 10 的列與列之間的比值的,在做加法時實際 上就得做除法,這時你所做的就是「復合加法」.在把 5 磅 12 英兩和 6 磅 8 英兩相加時,就要遇到復合加法,因為 1 磅等於
16 英兩;在把 3 碼 2 英尺 6 英吋和 1 碼 2 英尺 8 英吋相加的 時候,也要遇到類似的情況,因為 1 英尺有 12 英吋,3 英尺為
1 碼. 如果願意的話,你可以做上面第一個問題,讓我來做第二
個.首先,6 英吋加 8 英吋等於 14 英吋,14 除以 12 等於 1 餘數為 2,故記 2 進 1,在英尺這一列中,2+2+1=5.5 除 以 3 得 1,餘數為 2,故記 2 進
1.在碼這一列中,可得 3+1
+1=5.故答案為 5 碼 2 英尺 2 英吋.

我們的數制既然己經如此牢固地以十為基數,那末,當今 世界上我們的單位比率為什麼又搞得這樣變化多端呢?人們 有許多理由(這些理由在當時都是有根有據的)來採用象 2,
3,4,8,12,16 和 20 這樣一些特殊的比率,但是,我們今 天的確己經是相當先進和富於經驗的了,可以使用 10 作為唯一 的(或者幾乎是唯一的)比率.如果我們可以這麼辦,我們就
可以十分愉快地把復合加法、復合減法、復合乘法,復合除法 等等統統忘掉(當然,它們也是存在的).
的確,有時大自然也會使十進制不是到處都可以通用的. 在測量時間時,年和月有它們自己的長度,這些長度是由天文 條件決定的.因此這兩種時間單位都是無法廢棄的.類似象
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這種特殊場合,復合加法以及其他的復合運算就不得不保留
下來,這有什麼辦法呢. 但是:會不會有人怒氣沖沖地說我們非得使用小捅、罐和
佛蘭芒埃爾之類的單位來度量事物不可呢?這些單位都是人
為的測量方法,我們必須記住,測量為人所用,並非人為測量 所用.
在當今世界上,同樣也產生了一種唯一地以十為基礎的 度量衡制度,它稱為公制.除了在某些說英語的國家如美國 和英國以外,公制在文明世界到處通用.
由於不採用公制,我們要學習自己的度量衡制,結果什麼
收穫也沒有,一樣也得不到,我們浪費了時間.時間損失(這 損失的確是高代價的)是我實在難以想像用什麼東西可以補 償的.(當然,要更換現行的儀器和工具確實是代價很高的,
但是,如果我們在一個世紀之前就像我們應當做的那樣做了, 那就完全不會付出這樣高的代價.)
當然,有那麼一些人,他們反對打亂我們長期沿用下來的、 對之已有感情的度量衡制,他們已經廢棄了庫姆和卻爾特倫 這樣一些單位,但是又認為英吋、英尺和品脫、夸脫、配克、蒲式
耳之類的單位比米和升等來得更為「簡單」或者更為「自然.
甚至有些人會覺得在公制中有些東西洋得和激進得近乎 危險(就是為了那個已經消失了的恥辱之詞「雅各賓黨」1),
然而,帶頭者卻是美國.
1786 年,在法國革命 2之前十三年設計出公制,托馬斯· 傑斐遜(Thomas Jofferson)3(至少,按擁護聯邦主義者的說

1 1789 年法國資產階級革命時的一個激進黨派.譯者注.
2 指 1789 年至 1794 年的法國資產階級革命.譯者注.
3 托馬斯·傑斐遜,公元 1743~1826 年,於 1801~1809 年任美國第二任總統.譯 者注.
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法是一個臭名昭著的「雅各賓黨」)看到,他的一條建議為襁
褓中的美國所採納.這個國家建立了一個十進制的幣制. 我們在此前所使用的一直是英國的幣制,那是一種可怕
而又奇特的東西,只須指出它是如何的乖戾就行了.我得說, 英國人民好多世紀來就有一種值得稱道的耐心,教會他們自 己來忍受任何東西,只要它是「傳統的」,而現在對他們的貨
幣也感到討厭和不耐煩了,他們正在爭論如何把它改變為十 進制(只是對改變的具體細節尚未達成一致的意見)1
請看英國一貫使用的幣制,從小到大是:4 法興(farthing) 等於 1 便士(penny),12 便士等於 1 先令(shilling),20 先令 等於 1
英鎊(pound),此外,實際上還有一大堆名目繁多的 錢幣,其中有些錢幣甚至並不存在,比如:半便士、三便士、六 便士、克朗(crown)、半克朗、弗羅林(florin)、畿尼(guinea),
還有老天爺才知道的其他東西.這些東西使英國兒童的智力 變得畸形發展,而當來訪的旅行者試圖克服貨幣的困難時,英 國商人就可以乘機大賺其錢.
毋須說,派克詳細地敘述了如何掌握英鎊、先令和便士, 他的那些指導也確是別出心裁的.比如,請把 5 英鎊 13 先令
7 便士除以 3,要快! 在美國,最初建立的幣制是這樣的:10 密爾(mill)等
於 1 分,10 分等於 1 角,10 角等於 1 元,10 元等於 1 金幣
(背面有鷹徽的).目前,現代美國人在計算時只用分和元. 結果如何呢?美國的錢幣可以表示成十進制,並且可以 像其他任何十進數一樣來處理.一個學過十進制的美國小孩

1 本文初版後,英國也實行了變革.我 1974 年訪問英國時極為失望地發現不再碰得 到三便士和半克朗之類的貨幣了.他們同樣也採用了公制,把毫不妥協的美國實 際上孤零零地拋在反對陣營之中.原注.
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只需教會他認識美元的記號那就一切都解決了,而在這個小
孩學會這些知識的同時,另一個英國小孩還得勉勉強強地才 學會三便士零半便士等於 14 個法興.
十三年以後的 1799 年,公制問世了.可惜的是,我們原 來的反英親法情緒卻未能持續到足以使我們採用公制的時 候.要是我們採用了公制,我們本來是可以愉快地忘掉我們
愚蠢的配克和盎司,就像我們今天樂於忘掉我們的便士和先 令一樣.(你究竟是情願回到英國的幣制去呢,還是喜歡我們 自己的幣制?)
我願意看到全世界都採用同一種貨幣,到處都一樣,為什 麼不這樣呢?
我意識到這樣一個事實,由於這種希望,可能有人認為 把人性澆注在一個模子裡以及把我看作為一個大同主義者,我 也許會受到斥責.當然,我不是一個大同主義者(天知道!),
我也不反對各地的風俗習慣、方言土語以及各地的飲食口味. 事實上,我是主張這一切的,因為我本人也親自設立了一個純 粹地方性的團體.我不希望保存的僅僅是那些在當時雖是相
當好的,但到目前卻干擾著這個周長只有 90 分鐘的世界 1中 人類的正常生活的鄉土觀念.
如果你認為鄉土觀念是令人喜愛並具有人性的色彩和魅 力的話,那麼請讓我再從派克的書中引用一些材料吧.
「聯邦貨幣」(元和分)在派克著作的第二版問世前十一 年就引進了,派克記述了建立這種幣制的確切的法律條文,並
詳細地討論了這種幣制(他是以十進制而不是以復合加法來 作討論的).
自然,由於除了聯邦幣制外,當時還有其他一些幣制仍在

1 指人造衛星繞地球一圈的時間.譯者注.
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使用,故必須制訂並規定一些標準,以便一種幣制與另一種幣 制之間的兌換(或「折合」).這兒有一份清單.我打算把派克所 列的必需的折算表照本抄錄如下,但實際折算標準不予列出:
I.新罕布什爾、馬薩諸塞、羅德島、康涅狄格和弗吉尼亞
貨幣與下列貨幣的折算:
1.聯邦貨幣
2.紐約和北卡羅來納貨幣
3.賓夕法尼亞、新澤西、特拉華和馬裡蘭貨幣
4.南卡羅來納和佐治亞貨幣
5.英國貨幣
6.愛爾蘭貨幣
7.加拿大和新斯科夏 1貨幣
8.法國貨幣(圖爾利佛)
9.西班牙密爾元(錢幣上有壓印花邊)
II.聯邦貨幣與新英格蘭和弗吉尼亞貨幣的折算.
III.新澤西、賓夕法尼亞、特拉華和馬裡蘭貨幣與下列 貨幣的折算:
1.新罕布什爾、馬薩諸塞、羅德島、康涅狄格和弗吉尼 亞貨幣
2.紐約以及…… 瞧,這有多繁瑣啊.你現在明白了嗎? 誰會對這一切逗人喜愛的地方風味的消失感到遺憾呢?
你每次在作州際旅行時,當你需要購買物品時,不必讓自己泡 在不舒服的算術裡面,你難道為此感到過遺憾嗎?或者在類 似的情況下,每當外州的來訪者進入貴州,打算同你做生意的
時候,你難道感到過什麼不愉快的地方嗎?既然如此,忘掉這

1 加拿大東部沿大西洋海岸的一省名.譯者注.

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一切又是何等的令人高興啊.
請告訴我,如果五十個州有五十套結婚和離婚的法律的 話,那又有什麼好處呢?
1752 年,英國和她的殖民地(大約比天主教的歐洲遲二 個世紀)廢棄了儒略歷而採納了在天文方面更為正確的格裡 歷 1(見第 11 章).差不多半個世紀之後,派克仍然在解答
儒略歷和格里曆的複雜的曆法依據問題的法則.難道把儒略 歷忘掉有什麼不好嗎?
如果我們能把曆法上大多數的複雜問題忘掉,採用一部 合理的曆法,這種曆法能夠把每個月的日子同每一周的日子 聯繫起來,而且以一部簡單的三月曆作為永恆的曆法來使用
下去,每隔三個月重複一次,這不是很好的嗎?曾提出過一部 世界性的曆法,它可以做到這一點.
它將有助於我們遺忘大量不必要的東西.

我很願意看到英語成為全世界廣泛使用的語言.這並不 是說非得讓它成為世界上唯一的語言不可,甚至也沒有必要 讓它成為主要的語言.只要每個人,不論他自己的語言是什
麼,也能夠流利地說英語就行了.這就會有助於相互交流,或 許到頭來,每個人都會選擇說英語.
這樣就可以省出很多精力來用於其他方面. 為什麼要用英語呢?那是因為一方面,在地球上把英語
作為第一語言成第二語言的人要比其他任何語言的人都要來 得多,這就有了第一個優先的地方;其次,用英語報道的科學 文獻要遠比用其他任何文字來得多,而科學的交流在今天是

1 儒略歷為古羅馬獨裁者儒略·愷撒制定的曆法,十六世紀為格里曆所代替,後者
即目前通用的陽曆.譯者注.
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十分重要的,在今後甚至會變得更加重要.
當然,我們應當讓人們盡可能容易地學會講英語,這就 意味著我們應當讓英語的拼寫和語法規範化.
今日英語的拼寫幾乎有點像方塊漢字一樣.如果只看組 成英語單詞的字母,什麼人也不能肯定它是如何發音的.比如 像這麼幾個字:rough,through,though,cough,hiccough和
lough1,你怎樣把它們讀正確呢?而且,有什麼必要非此不 行地讓這個精神病似的字母組合「ough」來發出所有這些語音 來呢?
要是把這些詞拼寫成ruff,throo,thoh,cawf,hiccup和 lokh的話,看起來也許會覺得有點不嚴肅,但是我們不是已經
把hiccough寫成hiccup,看上去沒有什麼不嚴肅.同樣,我們 也把colour、centre,shew和grey已經分別拼寫成color、center、 show和gray
2,儘管這些拼法在英國人眼裡看來也許是不嚴 肅,但在美國卻這樣用了.我們也可以將此用於其他詞的拼 法,可以讓腦袋少受許多折磨.如果一個人的聰明可以用拼
寫的熟練程度來衡量的話,我們都會變得更加聰明些,而我 們卻沒有失掉什麼東西.

美國鈔票

美國曾向正確的方向邁開了堅定的步伐,可惜沒能繼續下去, 這確實是令人傷心的.
美國在獨立戰爭後不久,反英的情緒相當強烈,促使許多美國
人要廢除足以回想起他們仇敵的一切瑣事.「英國人的權利法案」3

1 這些詞中 ough 的發音分別為:[Λf]、[u:]、[□u]、[□f]、[Λp]、[□k].譯者注.
2 這些詞英美拼寫法不同,前者為英國的拼寫法.譯者注.
3 指 1689 年頒布的英國資產階級確立君主立憲的憲法性文件之一.譯者注.
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並不是瑣事,因此便保留而成了《人權法案》1.貨幣制度,無論 怎樣為人們熟知.但總是屬於瑣事.
在這一方面的一位關鍵人物是賓夕法尼亞州的古凡納·毛裡
斯(Gouverneur Morris)2.他是一名聯邦主義者,鼓吹建立一個 強有力的中央政府來統一那些爭吵不休、四分五裂的州.他在 獨立後立即組成後來被誤稱為「合眾」的國家.他是立憲大會的
一名成員,比任何人都更負責憲法的實際文字工作,並把它精煉 成為一個措詞清晰簡潔的文件,避免浮誇的文藻和感情偏激的辭
令.
他還提出建議,美國應當採用一種新的以十進制為基礎的貨 幣制度,其基本單位是「美元(dollar)」(其紙幣見附圖,儘管它對 我們美國人來說是很熟悉的,幾乎毋須再加附圖),這個名稱的由
來也真是說來話長.早在大約 1500 年,從喬金谷(Joachim's Valley) 銀礦(現在捷克斯洛伐克的西北部)開採出來的白銀用來鑄造重一 英兩的銀幣.在德文中喬金谷被稱為
Joachimsthal,因此這種銀幣
被稱為「Joachimsthalers」,或簡稱為「thalers」,在英文中被稱為
「dollars」. 在殖民地時代,西班牙有一種其價值與已經存在的為人熟知的
美元相近的銀幣,西班牙人稱它們為「比索」(pesos),即英語的 「dollars」.美國人採用了這一名稱,並於 1794 年開始鑄造這種貨 幣.

圖 16 美元紙幣

1 指 1789 年通過的美國憲法第一次修正案.譯者注.
2 美國早期政治家及外交家,公元 1752~1816 年.譯者注.
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那麼語法呢?誰還需要關於「shal1」和「will」,或者
「which」和「that」之間由於存在著細微的區別而作無止境 的爭吵呢?實際上,這些問題無論怎樣也是沒有人能分析得 有條有理的,事實說明了這種爭吵是毫無裨益的.除了白白浪
費寶貴的時間,除了使孩子的推理機能變得愚鈍,除了把對英 語的極端厭惡灌輸給他或她之外,你究竟能得到些什麼呢? 全如果有人認為,這樣來抹煞美好的差別是會毀壞語言的.
我倒想指出,在語法學家掌握語法之前,除了代詞之外,英語早 就在其他幾乎一切場合失去了它的性和格.事實是,英語中只 有一個定冠詞「the」,可用干所有的性、格和時態,而法文有三
個定冠詞(le,la,les),德文有六個定冠詞(der,die,das,dem,
den,des),但這一事實絲毫沒有使英語變得愚鈍,它依然是 一種靈活得令人讚歎的語言工具.我們鍾愛自己的愚蠢,並 不是因為它們確實並不愚蠢,而僅僅是我們對它們早已習以 為常的緣故.
我們必須留出地盤來擴展知識,或者至少盡可能多留出 些地盤來.忘掉舊的和無用的知識,無疑就跟學習新的有益 的知識一樣的重要.
忘掉它吧,我說,把越來越多的東西忘掉,忘掉它們吧! 可是,我幹嗎要這麼激動呢?這是因為我說的話連一個
字也沒人聽呢.

10 加 上 前 綴

我像諸位一樣仔細審視了由許多令人愉快的虛幻知識支 持著的和承托著的生活,我本人特別喜愛的信條之一,就是
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無可爭議的公制,而普通的單位卻是站不住腳的、毫無意義的
大雜燴,要不是出於頑固和愚蠢,我們是不會把它們保留下 來的.
然而,最近我卻偶爾發現了一封來信,那是一位英國紳士 寫來的,他尖刻地指責公制,說它完全是人為的、缺乏思想的, 而且是不適合人類需要的.請想一下,這些話是多麼叫人耳目
一新啊!比如,他說(恕我不逐字逐句地引用原話),如果有人 想喝啤酒,那麼一品脫是再好不過的了,因為一公升太多,而 半公升又太少,只有一品脫才不多不少,恰到好處 1.
就我所知,那位紳士對他的鄉土觀念確是一絲不苟的,並 且認為,他所習慣的事物必定具有自然規律的力量.這使我 不禁想起一位虔誠的女人,她執意抵制所有的外國語言,雙手
緊抱著她的聖經說:「如果英語對於先知以賽亞 2(Isaia)和 使徒保羅 3是完美無缺的話,那麼它對我來說又有什麼不好 的呢?」

但這麼一來,就勾起我一個想法,該寫一篇談談公制的文 章了.
為了這麼做,我想先說明一下,公制的價值並不在於其
基本單位的實際大小.而在於它是一種符合邏輯的系統,這 個系統的各個單位相互聯繫得很密切.
我所熟知的其他度量衡制,其單位都是名目繁多的,各種 不同的量都使用名稱毫不相干的單位,在距離方面,我們自

1 我知道你會寫信告訴我:半公升是大於一品脫的,但且慢,請讓我說明一下,盡
管半公升大於一個美國品脫,但它卻小於一個英國品脫.原注.
2 聖經中希伯來的大預言家.譯者注.
3 聖經中初期教會的主要領袖之一.譯者注.
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己有英里、英尺、英吋、桿、佛浪 1等等.在體積方面,我們 有配克、蒲式耳、品脫、打蘭(dram)2等等.在重量方面, 我們有英兩、磅、噸、格令(grain)3等等.在這方面看來,我
們簡直有點像愛斯基摩人,據說他們對於雪的名稱不知有多少 打的名詞:正在飄落的、積在地上的、松的、緊的、濕的、干的、 新下的、早已下的,各種雪都有各不相同的名稱.
這時我們就看出我們自已使用形容詞加名詞組合的優越 性了,因為這樣一來,我們就可以對各種各樣的雪有一個總 稱,而可用形容詞來描述各種特殊類型的雪.比如:濕雪、干
雪、硬雪、軟雪等等.這到底有什麼好處呢?首先,我們可以 看到以前所看不到的通用性.其次,我們可以將同一個形容 詞用於其他名詞,從而就有了一種關於「硬」字的新的通用性.
例如:硬石頭、硬麵包,硬心腸等等.
據我所知,公制是進展到這個時期的唯一的度量衡制. 我們隨便取一個長度的度量來開始吧.米(meter)這個
詞來自拉丁詞 metrum 或希臘詞 metron,兩者都意為「度量」. 讓米作為長度的總稱,這樣,所有的長度單位就全都是米了. 一個長度單位與另一個長度單位之間的區別只要用形容詞就
可以區分開了,我認為這樣安排是十分妥貼的.
確實,公制中的形容詞被牢牢地加到通用詞的前面(我 想,大概是怕因意外情況而把它們丟失掉),從面變成了前綴
(是啊,親愛的讀者,在對度量衡制這樣做時,這就是在「給 通用詞加上前綴」).

1 桿,佛浪見本書第 134 頁.譯者注.
2 打蘭,衡量名,藥衡=1/8 英兩,3.888 克;常衡=l/16 英兩,1.771 克.譯者 注.
3 格令,英美最小重量單位,等於 64.8 毫克.譯者注.
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這些前綴是從希臘文和拉丁文中得來的,茲列表於下:

英 文 希 臘 文 拉 丁 文 thousand(千) chilioi
milli hundred (百) hccaton centum
ten (十) deka decem

現在,如果我們對大的單位使用希臘文,對小的單位使用 拉丁文,就有:
1 kilometer1 (千米)等於 1000 米
1 hectometer (百米)等於 100 米
1 dekameter (十米)等於 10 米
1 meter (米)等於 1 米
1 decimeter (分米)等於 0.1 米
1 centimeter (厘米)等於 0.01 米
1 millimeter (毫米)等於 0.001 米

至於一米的長度究竟有多長,這是無關緊要的,其他一 切長度單位也是同樣規定的.如果你湊巧知道米的長度等於 多少碼,或者等於多少個光的波長,或者等於一根木棍上某兩
點之間的距離,你就馬上知道了所有其他單位的長度.再者, 用十的各種冪來作出的所有其他的子單位,就使從一個單位 換算到另一個單位(在我們的十進數制中)變得極為容易了.
比如,我馬上可以告訴你,一公里中恰好有一百萬個毫米.請 問,你能不能馬上說出,一英里中到底有多少英吋呢?
再說,一旦記住了前綴,那麼就能對付任何類型的度量, 如果告訴你「泊」(poise)是粘度的一個度量單位,那麼,這個
單位到底有多大,這個單位同其他各種單位的關係如何,或者甚

1 希臘文 ch 的發音為德文的顎音 ch,發明公制的法國人,由於在他們的語言中沒有 這樣一個音素,故只能用最接近的音素 k 來代替,因此 chilio 就變成了 kilo.因為 英語中也沒 ch
這個音素,所以這種拼法也適用.原注.
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至說,粘度確切的意思到底是什麼,這些都是無關緊要的.
即使對它的情況一無所知,你仍然會知道,一厘泊(centipoise) 等於一泊的一百分之一,一公頃(hectare)等於一百畝(are),
一分貝(decibel)等於十分之一貝(bel),一「千塊錢」(kilobult) 等於一千美元 1.

在我看來,1795 年建立了公制的法國科學家們只有在一 個方面是目光短淺的.他們所制訂的一系列前綴都沒有超過 千這個符號的.
也許他們覺得,一旦為某些可度量的量選定了一個方便 的基本單位,那麼,一個比它大一千倍的子單位就可能是最大 的有用單位.而只有它千分之一大的子單位就是最小的了.或
者,也許他們受到這樣的事實的影響,即在拉丁文中,大於一 千的數是沒有單詞的,像百萬(million)和十億(billion)這 樣的詞只是到了中世紀晚期和近代初期才發明的.
誠然,晚期的古希臘語 2中使用了「myrias」一詞來表示 一萬,因此可把十個千米說成是「myriameter(萬米)」,但這 個詞幾乎從來沒有使用過,人們說「十千米」(ten
kilometers) 來代替.
這樣,實際形成的結果是,最初制訂的公制只提供了數量 級為 6 級的前綴.最大的單位「千(kilo)」是最小的單位「毫
(milli)」的一百萬倍,(106)指數 6 表明了數量級的大小. 然而,科學家們對此不能無動於衷.6 級的數量級對於日 常生活來說也許綽綽有餘,但隨著測試設備的進步,迫使科學

1 如果有人要想寫出一毫筐(pede)就是筐的千分之一,那末一個分筐就必定等於
10 毫筐了,是嗎?可我沒聽說過.原注.
2 指公元二~六世紀的希臘語.譯者注.
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幾乎在每一領域中的度量衡都進入很大和很小的範圍,這個
系統就不得不加以擴展了. 大於千和小於毫的單位曾出現過一些非正式的前綴,當然
這意味著有不一致的危險(在科學言語中,不一致是一件糟糕 的事).比如,我們稱之為一個「Bev」(即 billion electron-volts,
十億電子伏特)的單位在英國則被稱為一個「Gev」(giga- electron volts).
1958 年,巴黎國際度量衡委員會批准了將前綴加以擴大, 制訂了一套新的體系,其中各前綴與其相鄰前綴之間的間隔 均為 3 個數量級.請見下表,為了表明其連續性,將舊的前 綴也列入其中:

大小範圍 前綴 希臘語詞根 trillion(1012)(萬億) tera- teras(「極大的」)
billion(109)(十億) giga- gigas(「巨大的」) million(106)(百萬) mega-
megas(「大的」) thousand(103)(千) kilo-
one(100)(一)
thousandth(10-3)(毫) milli-
millionth(10-6)(微) mioro- mikros(「小的」)
billionth(10-9)(毫微) nano- nanos(「微小的」)
trillionth(10-12)(微微) pico-

前綴 Pico-沒有希臘語詞根. 這樣,我們就有「微微米(Picometer)」等於一萬億分之一
米,一個「毫微克(nanogram)」等於十億分之一克,一個「十 億秒(gigasecond)」等於十億個秒,一個「萬億達因(teradyne)」
等於一萬億個達因.由於最大的單位萬億(tera)是最小單位 微微(Pico)的 1024,故公制現在擴展到不僅是 6 個數量級, 而是整整 24 個數量級.
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1962 年又增加了二個前綴:毫微微(femto-)等於一千萬
億分之一(10-15);微微微(atto-)等於一百億億分之一(10-18). 它們都無希臘語詞根 1.這使公制擴展到 30 個數量級.
前綴是否太多了呢?或許有點過分了吧?我們來看看 吧.
公制的長度單位是米,關於米的確切長度是如何定下的 故事,我不打算細說了,我在這兒只用熟悉的單位來提一下: 一米的確切長度等於 1.093611 碼或 39.37 英吋.
一千米自然應當等於一米的一千倍,或 1093.6 碼,它合
0.62137 英里.如果我們把一公里看作是 5 英里的話,相差也
8
不太大.一英里有時也被稱作等於「城裡的 20 個街區」長, 那就不妨說是曼哈頓第 50 街到第 79 街之間的距離.如果這 樣的話,一公里將表示 12 個半街區,或者是從第 66 街和第
67 街的中點到第 79 街的距離. 把千米增加三個數量級就得到了百萬米,它等於 621.37
英里.對於行星量度來說,這是一個方便的單位.從馬薩諸
塞州的波士頓到加利福尼亞州的舊金山的空間距離只有大約
4 1 個百萬米.地球的直徑是12 3 個百萬米,其周長大約是 40
3 4
個百萬米;最後,月球與地球的距離為 380 個百萬米.
再上去便是十億米,這個單位長 621,370 英里,它對太陽
系的較近星球是適用的.金星處於近地點時,離我們 約
42 個十億米;火星離我們最近時為 58 個十億米.太陽離地 球 145 個十億米;木星離我們最近時是 640 個十億米,最遠時

1 本文於 1962 年 11 月初次發表.當時我並未寫出非希臘的詞根;但現在我想把它 們全寫在這兒:pico 一詞來自西班牙語,意即「十」.femto 和 atto 二詞來自丹麥
語,意義分別為「十五」和「十八」.原注.
-153-
是 930 個十億米.
最後,把剛擴展的公制的上限再加以延伸,就可以得到 萬億米,它等於 621,370,000 英里.這將適用於整個太陽系, 比如,冥王星軌道的最大寬度還不到 12 個萬億米.
然而,太陽系在整個銀河系中只不過是滄海一粟.對於 度量恆星的距離來說,最常用的兩個單位是光年和秒差距, 兩者都不屬於公制的範圍,況且,即使把公制再作新的擴展
也達不到這麼大.光年是光在一年中走過的距離,它大約等 於 5,880,000,000,000 英里或者 9540 萬億米,秒差距(parsec)
則是這樣的一個距離,在這個距離上,一顆恆星在我們看來其 視差等於一秒弧大小,這個詞系由視差(parallax)和秒(second) 兩詞的詞首字母拼合而成,它等於 3.26 光年,或者大約為
30,000 萬億米. 即使是這些非公制的單位也嫌太小.如果我們以太陽系
為球心,以一秒差距為半徑畫一個圓球,那麼在這個球體中 連一顆已知的恆裡也找不到.最近的恆星半人馬座.星系離 我們有 1.3 秒差距,而在銀河系的大約一千億顆恆星中只有
三十三顆距我們的太陽在千秒差距之內,而這三十三顆恆星 中也只有七顆是肉眼可以看得見的.
在銀河系的外面又有許多恆星,比它遠得多.整個銀河 系的直徑最寬處可達 30,000 秒差距.當然,我們在這兒也可 以使用公制的前綴,說銀河系的直徑是 30 千秒差距.

然而,銀河系又是整個宇宙中的滄海一粟.離我們最近 的河外星雲結構是麥哲倫(Magellanic)雲,離我們為 50 千 秒差距;而離我們銀河系最近的全尺寸星系是仙女座,距我 們 700
千秒差距.在它外面還有幾千億個星系,其距離為許多
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百萬秒差距.

仙女座星系

本文中簡略介紹的仙女座星系具有一個不平常的特點:它是 我們不借助儀器看得見的最遠的天體.因此,如果有人問你,你 的眼晴最遠可以看多遠(當然,如果你是近視眼的話,可以包括
你的眼鏡在內),你可以告訴他,可以看到 2,300,000 光年之遙. 仙女座看上去像一個淡淡的、模糊的天體亮度約為四等星.它大 概未被漫不經心的觀天者注意到,但中世紀的一些阿拉伯天文學
家已經把它標注在星圖上了.在我們西方天文學家中,第一個描述這
個天體的(於 1612 年)是德國觀測者西蒙·馬裡烏斯(Simon Marius). 在下一個世紀,一位法國觀測者查理·梅西耶(Charles Messier)
1有興趣把空中所有永久性的模糊天體記錄下來,以便不致於與彗
星相混(梅西耶有志於 彗星的研究).仙女座在 他的星雲表中名列第三 十一,其代號為M31,這 個代號至今仍然經常被 用到.
在十七世紀的簡單
望遠鏡中,仙女座看上去 像一團旋轉的氣雲.法 國天文學家比埃爾·西 蒙·德·拉普拉斯(Pierre Simonde Leplace)2認為 它確實是這個樣子.18
世紀初,他在一本關於天
文學的科普著作的附錄
圖 27 仙女座星系
中提出了一項假設.他認為,像我們的太陽那樣四周帶有行星的恆

1 法國天文學家,公元 1730~1817 年,1781 年刊布第一個星雲表.譯者注.
2 法國天文、數學、物理學家,公元 1749~1827 年,1796 年提出太陽系起源的星 雲假說.譯者注.
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星起源於象仙女座那樣的一團旋轉的、濃密的氣雲,這樣仙女座 就被稱為仙女座星雲.星雲(Nebula)一詞來自拉丁文,意即「雲」. 拉普拉斯的假設一直被稱為「星雲假說」.
近年來,星雲假說的一種更為迷惑的說法已被接受為太陽系 起源的學說.但認為仙女座根本不是氣雲,它是一個恆星的集團, 這個星團同我們的銀河系一樣大,或者更大些,比它更遠的有數 以十億計的星系.

已估算出最遠星系的距離約為二十億秒差距,這就意味 著,現在整個可見宇宙的直徑大約是 4 個十億秒差距 1.
現在,假定我們向另一個方向,即朝很小的那一端來考 慮長度達單位.
一個微米(micrometer)對於在普通光學顯微鏡下可見的 物體來說是一個合適的長度單位.比如,我們身體細胞的直 徑平均約為 4 微米(一個微米通常被稱作一個「micron」).
再往下去,就到了毫微米,通常稱為「millimicron」,可以 方便地用於測量可見光的波長.最長的紅光的波長是 760 毫 微米,最短的紫光的波長是 380 毫微米.紫外光的波長範圍
為 380 毫微米至 1 毫微米. 繼續把公制向下延伸,就得到了微微米(picometer),或者
說一萬億分之一米.單個的原子直徑大約是 100~600 微微 米,軟 γ 射線的波長大約是 1 微微米.
然而,亞原子粒子的直徑和硬 γ 射線的波長要比微微米 這一級的水平低得多,它們到達大約千萬億分之一米左右. 今日科學所碰到的長度範圍,以已知字宙的直徑為一極
端,以亞原子粒子為另一極端,其範圍大約可達 41 個數量級.

1 自從本文寫就後,探測得類星射電源的距離為 4 個十億秒差距,因而可見宇宙的 直徑為 8 個十億秒差距.原注.
-156-
換句話說,需 1041 個質子一個挨一個地排列起來,方可延伸 到已知字宙的邊緣.

那末質量怎麼樣了 公制的質量基本單位是克(gram),這個詞來自希臘文
gramma,意為字母表中的一個字母 1,它是一個很小的重量
單位,等於 1
28.35
英兩,一個千克(kilogram),或一千克等於
2.205 磅,因此,一個百萬克(megagram)等於 2205 磅. 百萬克與我們的單位一長噸(2240 磅)差不多相等,因此
有時也把它稱為一「公噸(metricton)」或「噸」(tonne)」.後者 這個詞是法文拼法,但在發音上與我們相差無幾,因此我倒 喜歡稱它為公噸.
十億克(gigagram)等於 1000 公噸,一個萬億克(teragram) 等於 l,000,000 公噸.以商業標準來說,這些單位已經足夠用
了.然而在天文中,這些單位甚至還沒有觸及皮毛呢.即使 象月球這樣較小的天體,其質量也有 73 萬億個萬億克.地球 的質量等於月球的 81 倍,幾乎是 6,000 萬億個萬億克.太陽
只不過是個一般水平的恆星,其質量等於地球的 330,000 倍.
當然我們也可以把太陽本身作為一個重量單位.比如, 銀河系的總質量等於太陽的 150,000,000,000 倍,因此也可 以說,銀河系的質量等於 150 個十億太陽.由於估計已知的 宇宙中至少有
100,000,000,000 個星系,因此,假定我們的 銀河系的質量是中等的話,那就意味著宇宙的總質量至少等 於 15,000,000,000 個萬億太陽或者 100 個十億銀河系.

1 希臘人用字母表中的字母標記小重量,以說明它們的重量,因為他們也使用字母
來表示數字.原注.
-157-
現在,假定我們朝相反方向去研究一下.
一毫克(milligram),或者千分之一克的物質是肉眼容易 看得見的,一滴水的重量大約有 50 毫克.
再往下是微克(microgram),或者一百萬分之一克,這時 我們己進入顯微鏡的範疇.一個阿米巴蟲的重量大約為 5 微 克.
我們身體裡的細胞還要比這細小得多,對它們要使用更 小的單位毫微克(nanogram),或者十億分之一克.肝細胞的 平均重量大約是 2 毫微克.
比細胞更小的是病毒,即使是微微克(Picogram),即一 萬億分之一這個單位還不夠小.比如,煙草花葉病病毒的重 量只有 66 微微微克(attogram).
即使這麼小的單位也還遠遠沒有到達稱量的盡頭.分子 要遠比最小的病毒小得多,而分子又是由原子構成,原子又 是由粒子構成.請看下表:

重量(微微微克) 血紅蛋白分子 0.1
鈾原子 0.004
質子 0.00000166
電子 0.0000000009

總起來說,從電子的質量到已知宇宙質量的最小值,其 範圍達 83 個數量級.換句話說,要 1083 個電子才能組成質量 同已知宇宙一樣大小的一堆物質.

從某些方面來說,時間(我所考慮的第三種類型的度量 衡)具有一些我們最熟悉的單位,因為這是公制絲毫不能染指 的一個地方.我們今日仍然使用著秒、分、時、日、年等等單位.
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這一也就是說,時間的單位是科學家們應用的單位中唯一
缺乏系統化前綴的單位制,其結果是,你無法馬上說出一周 有多少秒,一年有多少分或十五年有多少天,即使是科學家也 不能馬上說得出.
時間的基本單位是秒,如果願意的話,我們可以在它前 面建立公制的前綴如下:

l 秒 等於 1 秒
1 千秒 等於 16□分
1 百萬秒 等於 11□天
1 十億秒 等於 32 年
1 萬億秒 等於 32,000 年
只要冷靜地想一想,我只不過活了1 1 個十億秒稍微多一
4
點的年紀 1;文明至多不過存在了 250 個十億秒;而類人的 動物也許存在了總共不超過 18 萬億秒.然而,這些都還稱不 上可以進入地質時代,甚至也很少能進入天文時間.
太陽系存在了大約 150,000 萬億秒,大概還可以再存在
500,000 萬億秒而無甚明顯的變化,恆星越小,對於它所貯存的 燃料也就消耗得越慢.一顆紅矮星可以足足存在 3,000,000 萬 億秒而不發生明顯的變化.至於整個宇宙過去和將來的總壽
命,我就無可奉告了.沒有辦法來估計宇宙的壽命,那些認 為宇宙是不斷在創生的人們則認為宇宙的壽命是無限的 2. 然而,對於天文時間,我倒有一條建議(我並不認為這條
建議是我個人首先創獨的).根據合理的估計,太陽繞銀河系

1 自從本文第一次發表以來,我的年齡已經增長到 l□個十億秒了,可這沒有什麼關 系,就這樣吧,不用更改了!原注.
2 自從本文寫就以來,連續創生論已經快要被推翻了.至於從宇宙的目前形式看來, 它不像是永存的.原注.
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的中心旋轉一周需耍 200,000,000 年.我們可以把這段時間稱
為一個「銀河年」,或者更順口地稱為一個「銀年」(galyear).
(這個詞確是有點討厭,但是無關緊要!)一個銀年等於 6250
個萬億秒.另一方面,一個「微微銀年」等於 1 小時零 45 分. 如果我們使用銀年,那麼全部的化石記錄就至多只達到
3 個銀年;而太陽系的全部壽命迄今也不過 25 個銀年;一顆 紅矮星作為紅矮星而存在的全部壽命可能長達 500 個銀年. 現在讓我們從另一個方向來看看那些小的時間單位的情
況又是怎樣的.這兒,至少沒有常用的單位來打擾我們,因 此,科學家們就有可能隨心所欲地使用象毫秒(minisecond) 和微秒(microsecond)之類的單位,現在他們甚至能再加上 毫微秒(
nanosecond )、 微微秒( picosecond )、 毫微微秒
(femtosecond)以及微微微秒(attosecond).

阿米 巴

阿米巴蟲是一種單細胞動物,通常被認為是最原始的一種動 物.它不像其他單細胞動物(「原生動物門」)一樣具有固定的形狀, 但它能在身上的任何一點膨脹起來形成一個「偽足」(Pseudopod,
這是一個希臘詞,意即「假足」).它用這些偽足來移動,這被認為 是動物運動的最原始形式.
阿米巴這個名稱源出於一個希臘詞,意即「變化」,因為它的 形狀不是固定的,而是變化著的.在不加說明的情況下,通常我 們所稱阿米巴的特定種屬指的是「阿米巴變形蟲」,可以在溪流或
池塘裡腐敗的有機物中找到.「變形蟲(Proteus)」這個詞是希臘 一位半神半人的名字,他能隨心所欲地改變自己身體的形狀.
此外還有很多種阿米巴,其中一些是寄生的,有六種可寄生於 人體內,其中一種叫赤痢阿米巴(溶組織阿米巴),可致阿米巴痢 疾.
雖然文中把阿米巴稱為微小的有機體,但它並不是一個很小的

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圖 18 阿米巴蟲
細胞(顯微鏡下示出).阿米巴蟲必須在它的單個細胞內包含生命 所有的基本功能機構.人體的細胞更為專門,變得更為細小.阿
米巴的體積等於人體一般細胞的 2,400 倍,比人體最小的細胞(精 子)大 25,000 倍.
最小的可獨立生存的細胞是細菌,阿米巴比最小的細菌大
210,000,000 倍. 可認為能生存的最小東西(雖然它們僅在它們所寄生的細
胞 內方能起作用)是病毒 .阿米巴的體 積等於最小病 毒的
2,400,000,000,000 倍.阿米巴的大小與最小的病毒相比,就同我 們與阿米巴相比一樣.

這些微小的時間單位在微觀世界中並不十分有用.當加 加林(Gagarin)和格倫(Glenn)1以每秒 5 英里的速度環繞 地球時,他們的飛行速度每毫秒不到 9 碼,或每微秒不到三
分之一英吋.地球本身在繞日運轉時的速度是每秒18 1 英里,
2
每微秒也只不過移動一英吋多一點.
換句話說,在微秒這一級上,平常的運動可認為是凍結

1 加加林和格倫,是蘇聯和美國的宇航員.譯者注.

-161-
的,然而光的運動要比平常的運動快得多,而某些高速亞原
子粒子的運動速度接近光速,

光 速
1 秒 186,200 英里
1 毫秒 186 英里
1 微秒 327 碼
1 毫微秒 1 英尺
1 微微秒 l/80 英吋

現在,你可能認為在微微秒這一級上,亞原子的運動,甚 至光的傳播也「凍結」了.總之,當地球移動 1 英吋時,我把它 的運動當作「凍結」的.但是,當問題涉及到一千分之一英吋 時,又該怎麼說呢?
然而,這裡面到底還是有些區別的.地球移動一英吋時,
即移動其本身直徑的 1
.一個高速運動的亞原子粒
500,000,000
子以接近光速的速度移動 1 英吋距離時,即移動了它本身直
80
徑的 120,000,000,000 倍.如果地球走過它直徑的 1200 億倍
的話,那它得走上 1,500,000 年.就是對加加林和格倫來說, 要走過他們飛船直徑的 1200 億倍,也得在軌道上整整耽上一 年的時間.
因此,一個亞原子粒子走過 1 英吋就不能算是「凍結」,
80
它在這段時間中足夠與其他亞原子粒子作驚人次數的碰撞或
者發生內部的變化.比如,中性 π 介子在形成後 0.1 個毫微 微秒(即 10-15 秒)內就哀變了.
□ 介子的壽命甚至還要短得多,它在 0.0001 個微微微秒
(即 10-18 秒)內就衰變了,或者粗略地說,這段時間大約等於

-162-
光對穿原子核的直徑打個來回所需的時間.
這樣:從 □ 介子的壽命到紅矮星的壽命,全部時間的范 圍達到了 40 個數量級.換句話說,在紅矮星的一生中,約有
1040 個 □ 介子一個接一個地產生並衰變. 總結一下,可度量的長度跨越 41 個數量級,可計量的質
量跨越 83 個數量級,可測量的時間跨越 40 個數量級,很明 顯,在把公制的範圍從 6 個數量級擴展為 30 個數量級時,我 們所作的工作並不是太過分的.

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第四部分數和曆法

11 我們歷年的日

我們一夥人有天晚上偶而聚在一起閒聊,喝喝咖啡,吃吃 炸麵餅圈.我們當中有個人居然成功地把一位著名的表演者 也邀來了.不過,這位著名表演者提出了一個條件.他不表
演,甚至也不讓人要求他表演.結果協議達成了 1.
於是產生了一個問題.要是晚會進行得放任起來,勢必 有人要跟這位表演者糾纏.因此,一定得準備點別的節目.一 個夥伴對我說:「你說說看,你知道點什麼?」
我知道點什麼?我立刻表示反對.我說:「讓我到那邊站 起來同大伙談」,同時睜大眼晴盯著混在聽眾裡的這個夥伴, 嚷著要他起來代我.並聲稱:「這簡直是你們把我往虎口裡 送!」
可是,他們卻哄堂大笑,並講述我剛才的那些精彩的談 話.(不知怎麼,人們很快就發現,只要恭維聲起,我立刻就 屈服了.)沒一會兒,我就答應被送進虎口了.多虧聽眾的理
智——也許是他們的寬宏大量,我出乎意外地居然受到稱讚. 聚會那天正巧是「閏日(指二月二十九日)」,所以我的話
題是現成的.大意如下:

我想最早的計時單位無疑是日.甚至最原始的人也不得 不意識到它,然而,對於長的時間間隔來說,僅用日就不方

1 1964 年 8 月初次發表本文時,我沒有提這個表演者的姓名,我認為他不會希望我 這樣做的.但是我錯了,因為在幾個月後遇見他,我要求他簽名時,他寫道:「一
個著名表演者向伊薩克致以最良好的祝願」.原注.
-165-
便了.原始人的壽命就算它 30 年,那末,一個人也要活大約
11,000 日.在這麼多的日子裡,事情是很容易搞混的. 自從用太陽支配了日的單位之後,那就很自然地要用另
一個最顯眼的天體即月球,來做為另一個計時單位.這就一 下子提供了一個現成的計時單位——月相週期.月在一定的 週期裡從新月逐漸增大至望月,然後又逐漸減小至新月.這
個時間週期在英語裡叫做「month」(月),此字顯然緣出於 「moon」(月亮)一詞,或者更確切地稱為「lunar month」(太 陰月).因為還有別種意義的月,它們代表的時間週期比與月
相密切相關的月稍微短些或者稍微長些.
太陰月大約等於 29.5 日.更精確地說,它等於 29 日 12
時 44 分 2.8 秒或者 29.5306 日. 在前農業時代,很可能對月沒有賦予什麼特殊意義,當
時,不過是用來計量中等長度時間週期的一種方便的手段.原
始人的估計壽命可能約為 350 個月,這比 11,000 日是個遠為
方便的數字.
事實上,已經有人猜測,《創世記》第 5 章中記述的各個
族長延長了的壽命,可能是由於把年同太陰月混淆所致.例如, 如果說瑪土撒拉(Methuselah)1活了 969 個太陰月,這剛好 是 79 年左右,是個很合理的數字.可是,在後來的傳說中被 歪曲為
969 年以後,我們就有了「年齡是瑪土撒拉零頭」的說 法.
然而,這只是我順便提一下而已,因為任何一個聖經學 者都沒有真正認真地去看待過這個想法.更有可能的是,這些 關於壽命的說法乃是大洪水前的巴比倫傳說的殘餘……,噢, 我已經離題太遠了.

1 瑪土撒拉是《聖經》中的人物,傳說是諾亞洪水時代的族長.譯者注.
-166-
我覺得,隨著農業的產生,月又獲得了新的、更為重要的
意義.農業社會同狩獵或遊牧社會相比,對季節的關係更為 密切和更無保障.牧人可以雲遊四方去尋找糧谷或食草,而 農人則必須定居在自己所處的地方,企望降雨.農人為了增
加收穫的機會,必須有把握地在一定時候播種,以利用季節性 的降雨和溫暖.播種時期差錯很容易造成災荒,更有甚者,由 於農業的發展可能使人口密集,更會增加發生災荒的機會.
於是,人們不得不注意季節的循環.必定還在史前階段 就已經發現,這些季節大約歷時 12 個月就完成一整個循環. 換句話說,如果作物在一年的某一特定時候栽種,風調雨順, 那末,從第一次栽種數起,經過
12 個月以後,再種下次作物,
如果一切進行得順利的話. 在原始社會裡,計算月份是項有技巧的工作,特別當計算
錯誤會帶來災難時.因此,計算通常都由特種階層即祭司來 掌管,這是毫不奇怪的.祭司可能不光從事精確的計算,而且 也可能運用他們的經驗和手腕來向神靈祈禱,季節的循環畢
競不像晝夜循環和月相循環那麼固定不變.晚霜或者雨水不 足都可能毀滅這一季節的作物,因為這種氣候上的不作美必 定與祭祀中產生的小差錯相聯繫(至少當時人們通常是這樣
想的),所以祭司的職能當時實在是重要的.
因而毫不奇怪,太陰月漸漸產生了巨大的宗教意義.新 月節的慶祝每次由專門祭司來宣告,終於把太陰月叫做「朔望 月」.

季節的循環稱為「年」,因此 12 個太陰月組成一個「太陰 年」.用太陰年計量時間,這就涉及到使用「太陰曆」.當今,唯 一應用嚴格太陰曆的人們是伊斯蘭教徒.每個伊斯蘭教年由
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12 月組成,而月本身通常由 29 和 30 日交替地組成.
這種月平均為 29.5 日.但是,我已指出過,真正太陰月 一個月為 29.5306 日,十二個 29.5 日的月所組成的太陰年為
354 日,而 12 個太陰月的實際時間為 354.37 日. 你也許會說,「那有什麼關係呢?」但是,請你不要這麼說.
一個真正的太陰年應當始終從新月那天開始,然而,如果你 從新月開始一個太陰年,然後簡單地以 29 日和 30 日交替計 算月份,那末,第三年將從新月的前一天開始,第六年將從新
月的前兩天開始,對於篤信宗教的人來說,這是不可思議的. 事情就是這樣:80 個真正的太陰年的總日數幾乎精確地 為一偶數——10,630.016;而由 29.5 日作為一月所組成的
30 年則有 10,620 日——比與月球保持同時剛巧少 11 日. 由於這個緣故,伊斯蘭教徒以某種固定的方式將 11 日分散 在 30 年中,便任何一年的開始時間都不會比新月提前或者移
後一個整天.

娥 眉 月

古代標誌著月的開始的娥眉月跟其餘各個月相一起孕育了天 文學,因為有規則變化的月球形狀肯定是天空中喚起人們好奇心 的第一個對像.制訂曆法的必要性及其價值必定驅使人們去根據 月球的循環來發展數學和宗教.
也還有其他別的…… 古希臘哲學家發現,把宇宙分成地球和天體兩部份,使人在美
感上得到滿足.為此,他們探索了這兩者在特性上的根本差別,例 如:天體統統發光,而地球不發光.
不過,對這條共通法則來講月球必定是個例外.甚至在古代 就已經弄清楚,月球的各個相與月球和太陽之間的相對位置有關,
月球只是反射太陽光而發光.這就是說,月球本身跟地球一樣,陰 暗而又不發光.

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而且,如插圖所示,當月球處於娥眉月相就像一條微弱的卷 縮光帶時,月球的其餘部分有時著上去其自身發出暗淡的紅光.伽 利略指出,從月球看
地球,地球處 於滿 相,而且月球發出暗 淡的地球光;地球同 樣也反射光,而且象 月球那樣發光.
當時古希 臘人
也已十分精確 地測 定了月球的距離,月 球可以想像為 一個 直徑大約為 2000 英 裡的另一個世界,就 象從這個距離 看上
去那麼大.簡言之,
虧得月亮,用肉眼的 天文學才創立了「多 元世界」的學說.因 為如果月球是 一個 世界,那末,其他許 多天體也可能是.

每 30 年一循環,
圖 19 娥眉月
其中有 19 年是 354 日的,有 11 年是 355 日的,曆法還是同 月球保持一致.
為使曆法同一個天體的運動保持一致,需要加上一天,稱 為「插入日」,這是因為把一天插入在曆法之中而得名.
然而,太陰年不管是 354 日還是 355 日,都同季節的循 環不相匹配.巴比倫天文學家在有史時期之初就已經注意到, 太陽的運動是以恆星為背景的,這一種運行方式之所以被密

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切注意,是因為漸漸弄明白了太陽在天上走過的完整一圈跟
完整的季節循環密切相匹配.(這種恆星對季節的明顯影響 也許引起了巴比倫崇尚占星術的風氣——占星術今天猶存世 間.)
太陽沿黃道帶運轉一整圈大約要 365 日,因此,太陰年 比季節循環或「太陽年」要短大約 11 日.三個太陰年就落在 季節循環後面 33 日,即整整一個月還多一點.
這是重要的.如果你採用太陰曆,並以一年的第一天作 為栽種期的開始,那末,3 年以後就要早一個月栽種,過了 10 年,就要在仲冬栽種.33 年以後,太陰年的第一天便經過全 部太陽年而回到所假定的時候.
伊斯蘭教年的情形正是這樣,伊斯教年的第 9 月稱為齋 月,它特別神聖,因為穆罕默德在這個月開始接受《古蘭經》的 啟示.因此,穆斯林在齋月白天裡戒食戒水.可是,在季節循 環上齋月每年總要提前一點,每過
33 年便處於一年的炎熱季 節;這時戒飲特別令人厭煩,因而穆斯林的脾氣就變得特別暴 躁.
伊斯蘭教年以希吉來(Hegira)為紀元,就是說,從穆罕默 德自麥加逃亡到麥地那的日期算起.這事發生在公元 622 年. 因此,一般地你可以假定,如要知道伊斯蘭教年的年份,只要 從基督教年年份減去
622 即可,這並不完全對,因為伊斯蘭 教年比我們的年短,我寫這篇文章是在公元 1964 年,於是它 是希吉來以來 1342 太陽年.然而,它又是希吉來以來 1384 太
陰年,因此,當我寫作之時,穆斯林年為希吉來紀元 1384 年.
我已經作過計算,伊斯蘭教年大約在一萬九千年裡趕上 基督教年.公元 20874 年也將是希吉來紀元 20874 年,屆時, 穆斯林年可以最方便地改成我們的年.
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為了使太陰年同季節和太陽年保持一致,我們對太陰年
可以做些什麼呢?我們不能光在最後加上 11 日就完事,因為 這樣下一年將不是從新月開始,對於古代巴比倫人來說,從新 月開始是很重要的.
如果一個太陽年從新月開始,隨著我們將發現,第 19 太 陽年又將從新月那天開始.你可知道,19 個太陽年差不多有
235 個太陰月.
我們來研究一下這 235 個太陰月.這相當於 19 個太陰 年(每年由 12 個太陰月組成)加上其餘的 7 個太陰月.可見, 如果我們認為有必要,可便太陰年象伊斯蘭教所做的那樣,一 直到 19
個這樣的年進展完畢為止.這時,此種曆法將落在季 節後面恰為 7 月,只要在第 19 年再加上 7 個月(這樣,第
19 年有 19 個月——多麼勻稱!),我們就可以開始一個新的 同月球和季節嚴格一致的 19 年循環.
但是,巴比倫人不願意讓自己落後季節 7 個月,他們把
7 月之差加在 19 年循環之中,每次一個月,並盡可能地均勻. 這樣,每一循環有 12 個 12 個月的年和 7 個 13 個月的年.「插 入月」加在每一循環的第 3、第 6、第 8、第 11、第
14、第 17、 和第 19 年,因此每一年都決不會落後或者超前太陽約 20 日 以上.
這種基於太陰月,施加一些小手法後,結果同太陽保持 一致的曆法是一種「陰陽曆」.
巴比倫的陰陽曆在維護月球聖潔的同時調整好季節,因 此在古代很流行.希伯來人和希臘人都採用這種曆法,事實 上它仍然是今天猶太曆的基礎.猶太曆中,容許個別日子稍落
後於太陽.待至加上插入月後,突然一下子稍微超前於太陽. 這就是諸如逾越節和贖罪日等節日在民用歷上(跟太陽保持
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嚴格一致)出現的日期為什麼每年都不同的緣故,在猶太曆
裡,這些節日每年都是相同的. 早期的基督教徒連續使用猶太曆長達三個世紀之久,並
以此為基礎來規定復活節的日子.幾個世紀過去之後,事情 變得有點複雜起來,因為古羅馬人(他們的基督教徒人數在不 斷增加)不再使用陰陽曆,他們為復活節的變化不定而大傷腦
筋.必須找出一個公式足以利用羅馬歷預先計算出復活節的 精確日期.
公元 325 年(這時羅馬成了正式的基督教國家)的尼西亞 會議決定,復活節為春分點後的第一次望月之後的星期日,春 分點規定為 3 月 21 日,不過,這裡所說的望月並不是真正的
望月,而是虛構的,稱為「逾越節的望月」.「逾越節的」(paschal) 一詞從逾越節(pesach)詞而來,源出希伯來語(passover). 逾越節的望月的日期按照一個包含金數和主日字母的公式來
計算,我在這裡不準備探究這個公式.
結果在民用歷上復活節的日子仍然變化不定,早可以在
8 月 22 日,晚可以至 4 月 25 日.基督教的其他許多節日都 是同復活節有關的,因此也年年在變.
而且,所有基督教徒對計算復活節日期的精確公式的意 見,不是始終一致的.在這個具體問題上的意見分歧也是西 部天主教和東部正教分裂的原因之一,中世紀早期曾有一支 強大的凱爾特教派,有它自己的計算公式.

我們自己的曆法是從埃及繼承過來的.埃及並不怎麼重 視季節.一年裡的大事是尼羅河的氾濫,平均每 365 日發生 一次.從很早的時候起(無疑地早於公元前 2781 年),月球就
被丟棄了,採用了長度固定的 365 日為一年的「太陽曆」.
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不過,太陽曆還保持了 12 個月的傳統.因為年的長度是
固定的,所以月的長度也是固定的——每月 30 日.這意味著, 新月可以是一個月的任何一天,但埃及人並不在乎.(不以月 球為基礎的月是「歷月」.)
12 個各為 30 日的月加起來當然只有 360 日,因此,在 每個 12 個月循環之末添上附加的 5 日,作為假日對待.
不過,太陽年並不是精確的 365 日長.太陽年有好多種, 長度上略有上下.其中有一種受季節決定的「回歸年」,它歷
時約 365 1 日.
4
這就是說,每一年即每個 365 日的埃及年落後於太陽 1
4
日.隨著時間的推移,尼羅河氾濫在一年裡發生的日期越來
越晚,直至最後歷經了整整一年.換句話說,在 l460 個回歸 年裡有 1461 個埃及年.
1461 個埃及年的週期稱為「狼循環」,其源於天狼星的
埃及名字狼星(Sothis).如果在一個狼循環開始之時,天狼星 於埃及年的第一天同太陽一道升起,那末,它以後每年升起的 日期將逐年晚下去,直至最後即 1461 埃及年以後,又開始一
個新的循環,這時天狼星於元旦又重與太陽一道升起.
希臘人早在公元前 380 年就已經知道那額外的四分之一 日了,當時是由克尼杜斯的歐多克斯(Eudoxus)1發現的. 公元前 239 年,埃及的馬其頓國王托勒密·歐耶奇茨(Ptolemy
Euergetes)試圖改革埃及歷,將這四分之一日考慮進去,但是 極端保守的埃及人總是不能容忍這種激進的革新.
與此同時,羅馬共和國則採納了陰陽曆,在這種曆法中

1 歐多克斯,公元前 409~356 年,曾提出日月星辰繞地球作同心圓運動的主張.譯 者注.
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間或加上插入月.然而,掌管曆法的宗教職業者乃是些選舉
出來的政客,決沒有象東方那些人那麼認真從事.羅馬教士 們究竟加不加一個月,是根據他們希望長年(當年度選舉產生 的其他當權的宗教職業者屬於他們自己的教派時)還是短年
(當他們不屬於自己教派時)來決定的.及至公元前 46 年, 羅馬歷落後太陽 80 日.
當時是儒略·愷撒(Julius Caesar)執政,他決定結束這 種胡鬧狀況.他剛從埃及回來,見到埃及使用太陽曆的方便 和簡單,就招來了一位埃及天文學家索西尼斯(Sosigenes)幫
助他,他們倆共同把公元前 46 年延續到 445 日,以致後來把 這一年稱為「混亂之年」.但這使得這個曆法同太陽一致了起
來,而公元前 46 年便成了最後的混亂年.
羅馬人從公元前 45 年起採用修正的埃及歷,年終額外的
5 日在這種曆法裡被分散到全年之中,因而給了我們長短不 一的月.從理想說來,我們應當有 7 個 30 日的月和 5 個 31 日的月.不幸的是,羅馬人認為二月是個不祥之月,便把它縮
短了,結果我們最後得到的是笨拙的安排:7 個 31 日的月,
4 個 30 日的月和 1 個 28 日的月.
為了顧及那額外的 1 日,愷撒和索西尼斯規定每第 4 年
4
長 366 日.(按照公元年份計數法,每個可用 4 除盡的年都有
插入日——定為 2 月 29 日.1964 除 4 得 491,無餘數,因此
1964 年的 2 月是 29 日.)
這就是依著儒略·愷撒而稱的「儒略年」.在尼西亞會議
上,基督教採納了儒略歷.尼西亞會議以後,聖誕節終於被接 納為基督教的一個節日,在儒略年裡也規定了一個日期,因
此,它就不像復活節那樣年年捉摸不定了.

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儒略·愷撒

儒略·愷撒(儒略歷也以他命名而得)當然是由於許多別的 原因而在廣大公眾中間聲名卓著的.
他生於公元前 102 年,他差 不多是古代最傑出的人物.他有
著萬夫莫當之勇,又是一個揮 霍無度的浪蕩子.中年時轉向 統率軍隊,證明是一個偉大的 常勝將軍.他是古羅馬人中僅 次於西塞羅(Cicero)的大雄辯
家,也是一個大作家.他還是一
位政績卓著的政治家. 他有著傳奇般的魅力.公
元前 76 年,他為了向最優秀的 希臘老師求學 而啟航赴羅得 島.途中他被海盜綁票,勒索 贖金折合現代貨幣約 10 萬美元.
一面親友們在湊集這筆錢,一
面愷撒施展魅力同他的劫持者
們周旋了好長時間.在他們友好 的交談中,愷撒對他們說,一
圖 20 愷撒象
旦他獲得自由,他將帶一支船隊回來,把他們每個人都吊死.海 盜們嘲笑著認為是開開玩笑而已,而當愷撒被贖回獲得自由時, 他果真帶了一支船隊回來,把海盜全部吊死.
當羅馬共和國顯得越來越難於統治它所維繫的帝國而日漸衰
落對,愷撒便發動了內戰,其間他曾侵入埃及,同克裡奧帕特臘
(Cleopatra)1有過一段著名的風流韻事.他最後成為羅馬王國唯 一的統治者和獨裁者.
這時他露出了一個重大的弱點.他深信不疑敵人被寬恕就等 於被消滅,他寬恕了許多曾跟他作戰過的敵人,封他們為高官,而

1 克裡奧帕特臘,埃及女王,公元前 69~30 年.譯者注.

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他們卻在密謀反對他,他於公元前 44 年 3 月 15 日(古羅馬歷三 月十三日)被暗殺.

365 日的年恰為 52 個星期又 1 日.這就是說,如果這一 年的 2 月 6 日是星期日,則在次年是星期一,再過一年是星期 二,余類推.如果只有 365 日的年,則任一給定的日子都將按
部就班地經歷一星期的每一天.然而,假使有一個 366 日的 年,那末,這一年的長就是 52 個星期又 2 日;如果這一年的 2 月 6 日是星期二,則下一年是星期四,跳過了星期三.由於這
個原因,366 日的年稱為「閏年」,2 月 29 日稱為「閏日」.

如果回歸年的長真是精確地為 365.25 日,那就萬事大吉 了,可是事情並非如此.回歸年長 365 日 5 小時 48 分 46 秒 或者 365.24220 日.儒略年平均還要長 11 分 14
秒或者
0.0078 日.
這看來並不算多,但也意味著,儒略年在 128 年裡就超過 回歸年一整天.隨著儒略年的超前,落在後面的春分點,年復 一年地越來越早.在公元 325 年的尼西亞會議時,春分點為
3 月 21 日;到公元 453 年,為 3 月 20 日;到公元 581 年為 3 月
19 日,如此等等.公元 1268 年,當羅吉爾·培根(Roger Bacon)
1在世時,儒略年超過太陽 8 日,春分點為 3 月 13 日. 這雖然還不是災難性的,但是教會期待著綿綿無期的將
來,而復活節被 8 月 21 日的春分點束縛著.如果長此下去, 復活節將會在仲夏慶祝,而聖誕節則將延至春天.因此,羅吉 爾·培根於 1263 年寫了一封信給羅馬教皇烏爾班(Urban)四

1 羅吉爾·培根.英國思想家、哲學家和傑出的自然科學家,約公元 1214~1294 年. 譯者注.
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世說明這種情況.但是,教會化了三個世紀來考慮這件事情.
及至 1582 年,儒略歷又超前了兩天,春分點變成了 3 月
11 日.教皇格裡高利(Gregory)十三世終於採取行動.第一 步他略去 10 日,把 1582 年 10 月 5 日改為 1582 年 10 月 15 日,使得曆法跟太陽同時,並且使 1583
年的春分點成為 3 月
21 日,即尼西亞會議決定的那個日子. 第二步是防止曆法再發生步調不一致,儒略年每過 128
年要超前一整天,在 384 年裡就要超前三整天,或者近似地 說,400 年裡超前三整天.這意味著,每 400 年裡應當略去 3 個閏年(按儒略制).
考慮一下逢百之年——1500、1600、1700 等等.在儒略 年裡,所有逢百之年均可被 4 除盡,所以都是閏年.每 400 年 中,有 4 個這樣的逢百之年,那末,為什麼不使其中 3 年列為
普通年,而只使其中一年(可被 400 除盡的那年)列為閏年呢? 這種安排將使歷年更密切地跟太陽匹配,從而提供了我們「格 裡歷」.
概括起來說:儒略歷允許每 400 年有 100 個閏年,總共為
146,100 日.在同樣 400 年裡,格里曆只允許 97 個閏年,總 共為 146,097 日.試將這兩個長度同長度為 146,096.88 日 的 400
個回歸年作比較.在這樣一段時間裡,儒略年超過 太陽 3.12 日,而格裡年只超過 0.12 日.
但是,0.12 日還得有近 3 小時,這就是說,格里曆在 3400 年裡將要超過太陽一整天.大約到公元 5000 年的時候,我們 將不得不考慮略去一個額外的閏年.

但是,教會等待了一個稍長時間才採取行動.如果早一 個世紀做這件工作,那末,整個西歐本來可以毫不費力地改革
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曆法.然而,至公元 1582 年北歐大都已皈依新教,這些國家
寧肯按照非基督教徒愷撒的命令維持同太陽的步調不一,而 不願答允教皇的更正.因此,他們保留了儒略年.
1600 年沒有產生危機.它是逢百之年,且可用 400 除盡. 因此,無論儒略年和格里曆,它都是個閏年.但是,1700 年 就不同了.儒略歷把它作為一個閏年,而格里曆則不然.1700 年 3 月 1
日,儒略歷超前太陽一個附加日(總共 11 日).丹麥、 尼德蘭和新教的德國都接受和採納格里曆.
大不列顛和美洲殖民地一直堅持到 1752 年才接受.1700
年又超前了一日,因此他們不得不略掉 11 日,結果把 1752 年
9 月 2 日改成 1752 年 9 月 13 日.此時整個英國萬眾嘩然, 因為他們很快得出結論:他們將由於通過立法而突然年長了
11 日. 「還我們十一天!」他們絕望地大聲疾呼.
(一條比較合理的反對理由是,雖然 1752 年的第三季度 縮短了 11 日,但地主卻厚顏無恥地仍要收整季的地租.)
這樣一來,美國第一任總統華盛頓(Washington)結果不 是在「華盛頓的生日」出生的.誠然,他的生日依格里曆是
1732 年 2 月 22 日,但在家庭聖經上所記載的日子不得不為 儒略日,即 1732 年 2 月 11 日.當轉變發生之時,華盛頓本 人——一個極其明智的人——便更改了他出生的日期,從而
保留了真實的日子.
歐洲的東正教國家比新教國家更加頑固.1800 年和 1900 年都過去了.這兩年儒略歷都是閏年,但格里曆則不然.於 是,到了 1900 年,儒略歷的春分點為 3 月 8 日,所以儒略歷 超前太陽
13 日.例如只是到了第一次世界大戰之後,蘇聯才 採納了格里曆.(蘇聯人對閏年的模式稍作修改,使之更為精
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確.蘇聯歷在經過整整 35,000 年之後才超過太陽 1 日).
然而,有些正教教會仍然墨守儒略年,所以正教聖誕節在 我們的歷年上是 1 月 6 日,而在他們的歷年上仍為 12 月 25
日.
事實上,我產生了一個可怕的想法. 我自己出生的時候,儒略歷在那個故國 1還有效.我不
象喬治·華盛頓,我決不改變生日,結果我每年都比應該的日 子早 13 日來慶祝自己的生日,從而使自己比我應該的年齡大 了 13 日.
而這個老了 13 日的我現在見諸一切記載,我再也不能改 它回來了.
還我十三天!還我十三天!還我……

12 從 頭 開 始

每年,總有一個元旦降臨.由於我的生日緊跟著元旦,因 此,一年的這個開端總是我深刻而又憂鬱地從良心上作自我 反省的雙重機會.
我或許能夠憑借比較客觀的思考而在回首往事時不太傷 感.例如,誰說一年是從元旦開始的呢?不同於任何其他日 子的元旦究竟是怎麼樣的呢?根據什麼使 1 月 1 日那樣特殊 呢?
事實上,當我們把時間分割成某種單位時,我們如何決定 從哪一個單位起始呢?

1 好吧,如果你們一定要知道的話,這是蘇聯.我是 3 歲的時候來這裡的.原注.
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例如,讓我們從頭開始(正如我非常喜歡做的那樣)考慮
「日」本身的意義.

日由晝 1和夜兩個部份組成.它們各有其自然的天文學 上的起源.晝開始於日出,夜開始於日落.(黎明和黃昏都和 夜沾邊,但那僅屬細枝末節).
然而,從緯度看,在大多數人居住的地方,一年裡的晝和 夜有長短變化(當一個短時,另一個變長),因此利用晝夜之和 作為單一的 24 小時的時間單位有一定的方便性.晝和夜結
合起來,一天的持續時間近乎固定.
噢,那末,日應當從日出還是日落開始呢?你也許贊成前 者.因為在原始社會裡日出是工作日的開始.另一方面,在原 始社會裡日落是工作日的結束,當然,結束也意味著新的開始.
有些人這樣決定,另些人則那樣決定.例如,埃及人以日 出為一日之始,而猶太人則以日落為開始.
後一種情形見諸《創世記》第 1 章,其中描述了創世時期.
《創世記》中第 1:5 節裡寫道:「晚上和早晨是第一日.」晚上
(也就是夜間)在早晨(也就是白晝)之前,因為日開始於日落. 這種安排在猶太教中沿用到今天,猶太人的節日現在仍
從「前一日晚上」開始.基督教最初是猶太教的一個旁系,甚 至今天在某些非猶太人的節日上這種從日落開始的習慣還有 存在.
聖誕節前夕一說從詞語的本義而言,乃是 12 月 25 日的

1 非常使人討厭的是,「日」既意味著有陽光照亮的那部份時間,又是指晝夜相連的
24 小時.這在令人讚美的英語裡完全是一個不必要的缺陷.我知道,希臘語裡對 這兩個實體各有單詞表示.我將用「晝」表示日照期間.用「日」表示 24 小時期 間.原注.
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晚上,但如我們大家都知道的,它實際上是指 12 月 24 日的晚
上——如果聖誕節象猶太人節日那樣從「前一日晚上」開始的 話,那它自然是指這個晚上.除夕也是這樣.
另一個熟悉的例子是萬聖節前夕,即萬聖節前一天的晚 上,這個節日是為了紀念全體「聖徒」(或「聖人」)的.萬聖節 是 11 月 1 日,因此萬聖節前夕是 10 月 31 日晚上.我應當告
訴你,萬聖節前夕更以其為人們所熟悉的縮寫字「Halloween」
(萬聖節前夕)而聞名. 然而,日落或者日出事實上都不是日的開始.從日出到
日出這段期間在晝期變短的半年裡稍長於 24 小時,而在晝期 變長的其餘半年裡稍短於 24 小時.從日落到日落這段期間, 也是如此.
日出和日落沿相反方向變化,要麼相互接近,要麼彼此遠 離,因此晝的中點(正午)和夜的中點(午夜)之間的間隔時 間一年到頭都保持在固定的 24 小時(實際上有微小的偏差, 但可忽略不計).
人們可以從正午開始一日,以固定的 24 小時循環計數, 但是工作週期要分在兩個不同的日子裡.從午夜開始一日要 好得多,午夜時所有正常的人都入睡了.事實上我們現在就 是這樣做的.
天文學家屬於午夜時不在床上睡覺的少數人之列,他們 長期堅持正午作為一日的開始,這是為了不使他們夜間的觀 察分在兩個不同的日子裡.但是順從社會習慣的趨勢是不可
抗拒的,他們為了同世界的其他時間步調一致,於 1925 年承 認從午夜開始所帶來的不便.

凡是比日短的時間單位都取決於日,這不會有任何問題.
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你可從日的開始計算小時,可從小時的開端計算分鐘,如此
等等. 當然,當日的開始改變它的位置時,那將會影響到小時的
計算.本來,晝和夜各分為 12 小時,分別從日出和日落開始. 小時的長度隨著晝和夜的長度的不同而改變,因此在 6 月裡 的晝(在北半球)由 12 個長的小時組成,夜由 12 個短的小時 組成,而
12 月裡的情形剛好相反.
天主教會至今仍沿用這種計算小時的方法作為「祈禱時 間」.例如,「晨禱」(「第一課」)是代表上午 6 時的術語.「第 三時」(「第三課」)代表上午 9 時,「第六時」(「第六課」)代表 上午 12
時,「第九時」(「第九課」)代表下午 3 時.注意「第九 時」在下午的正中,正是一日最熱的時候,一日最熱的時候 很可能被認為是日的正中,而這個詞不知怎地轉變成天文學 上的正午,結果我們稱上午 12
時為「noon(正午)」.
這種比較古老的計算小時的方法還構成了耶穌格言之一
(《馬太福音》第 20:1~16 節),說雇工在一日的「第十一時」 之前(包括「第十一時」在內)的各個不同的時間受僱用.此格 言中的「第十一時」是指日落即工作日結束之前 1 小時.由於
這個緣故,於是「第十一時」就意味著可以做完某件事的最後 時刻.然而,對於我們來說,這種說法已無強制力,因為我 們把第十一時看做為上午 11 時或者下午 11 時.上午 11 時在
一日之中,為時尚早,還不會開始感到恐慌;而下午 11 時則 太晚——我們這時總該入睡了.

星期起源於巴比倫曆法,按這個曆法,七天中有一天是 休息日(理由是這天是個不吉利的日子).
公元前六世紀時在巴比倫的猶太囚虜撿拾起了這個概
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念,並把它建立在宗教基礎之上,使它成為一個愉快的日子,
而不是不幸的日子.他們在《創世記》第 2:2 節裡解釋了它的 由來:在為期六天的創世工作之後——「第七天上帝結束了他 所做的工作,於是他在第七天便休息了.」
在那些奉《聖經》為非同凡響的典籍的社會裡,於是就把 猶太人的「安息日」(源出於希伯米語「休息」一詞)規定為星 期的第七日亦即最後一日.這個日子即我們曆法上所標的星期
六,因此星期日是新的一星期的第一日.所有我們的曆法都 把日排列成七列,星期日為第一列,星期六為第七列.
早期的基督教徒首先賦予星期的第一日以特殊的重要意 義.起先,自耶穌復活節發生在一個星期日之後,它就成了 「主日」.後來,隨著時間的推移,基督教徒開始認為他們不止
是從猶太教分離出來的一支教派,更加重要的是要有自己獨 特的宗教儀式.因此,在基督教社會裡,休息日是星期日,而 不是星期六.(當然,在我們當前衰落的時代裡,星期六和星
期日兩者都是休息日,總起來稱為「週末」,一個用汽車事故來 慶祝的時日.)
工作周從星期一開始,使許許多多人都把它看做星期的 第一日,並導致產生下述孩提式的困惑(我之所以提這點,只 是因為當我初次聽到它時,它曾巧妙地使我中了圈套).
如要你的受騙者讀出 t-o、t-o-o 和 t-w-o 的發音,每次念 一個,深入地仔細聽取發音.每次他總是說(一邊在疑慮, 究竟怎麼回事)「tooooo」.
然後你說:「現在請讀出星期的第二日的發音」,而這時他 的臉神顯得如釋疑團,因為他自以為他看出了圈套.他斷定 你是在希望他像老粗似地將會讀出「toooosday」.因此,他就
以過分準確的發音說:「tyoosday.」
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對此,你會漸漸地迷惑起來,說:「這不叫人奇怪嗎?我
總是念它為 Monday(星期一).」

同月球聯結在一起的月,在古代是從一個固定的月相開 始的.從理論上來說,任何月相都可以.月可以從每個新月 開始,也可以從每第一個四分之一開始,等等.實際上,每個
月最合乎邏輯的開端是新月——即在這個晚上,日剛落時增 大著的蛾眉月的第一輪光帶變得可見之時.就任何一個邏輯 的始意而言,新月顯然是在那時形成的,而月則應當從這時候 開始.
然而,今天的月跟月球是不相干的,它與年相連,而年依 次又以太陽為基礎.在我們的曆法裡,平年的第一月的開始 是在年的第一日,第一月開始於年的第 32 日,第三月開始於 年的第 60
日,第四月開始是在年的第 91 日,如此等等——同 月相完全無關.(在閏年裡,自第三月起所有的月都晚一日開 始,因為 2 月有 29 日).

現在我們來談年.年是什麼時候開始的,為什麼? 原始農業社會起先一定是把年看做前後相繼的季節.春
夏秋冬是年的早晨、正午、黃昏和夜間,就像日的情形那樣;這 裡似乎有兩個同樣合格的侯選者,可作為年開始的標誌.
工作年的開端是春天,這時大地回春,播種開始,這難道也 不應是通常一年的開始嗎?另一方面,秋季標誌著工作年的 結束,這時收成穩操在手(寄予虔誠的希望).隨著工作年的 結束,難道新年不應當開始嗎?
隨著天文學的發展,春季的開始同春分點(我們曆法上為
8 月 20 日)相連,秋季的開始同秋分點(半年以後,即 9 月 23
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日)相連.
有些社會選一個二分點為開始,另一些則選另一個為開 始.在希伯萊人中間,這兩個二分點都同元旦相連.其中之 一為猶太曆 7 月的第一日(在春分點前後).逾越節在這個月 的正中,因此它同春分點相連.
按照《福音書》,耶穌受難和復活發生在逾越節期間(《最 後的晚餐》就是指逾越節的宴會),因此受難節和復活節也都 同春分點相連(見第 11 章).
希伯萊人在猶太曆 1 月的頭兩日(在秋分點前後)也慶祝 元旦,因此這個二分點成了兩個之中比較重要的一個.它如 今被猶太人當作「Rose Hashonah(年的開始)」,即眾所周知 的「猶太新年」.
一個晚得多的、同秋分點相關的元旦的例子是跟法國革 命有關的.1792 年 9 月 22 日,法國君主政體被廢除,共和國 宣告成立.革命派的理想主義者感到,既然人類歷史上的新
時代已經開始,就需要有一個新的曆法.他們定 9 月 22 日為 元旦,並制訂了一張新的月份表.第一個月為穡月,因此 9 月
22 日變成了穡月 1 日,
穡月 1 日曆時 13 年一直是法國政府的官方元旦,但是這 個曆法從來沒有在法國以外甚至在法國國內人民中間流行 過.1506 年,拿破侖(Napoleon)制止了這場鬥爭,正式恢復 舊歷.
除二分點外,還有兩個重要的太陽事件.春分點以後,中 午時分的太陽越升越高,直至 6 月 21 日達到最高,這就是夏 至.因此,這一天的白晝全年最長.
過後,中午時分太陽的高度就漸漸下降,直至達到秋分點 位置,然後又繼續下降,最終於 12 月 21 日達到最低高度即
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冬至,這也是全年中最短的白晝.
夏至沒有多大意義.「施洗約翰節」在夏至前後(傳統的 英國日子為 6 月 24 日).這是一個高興、盡情歡樂甚至放蕩 的日子.莎士比亞(Shakkspeare)的《仲夏夜之夢》就是描繪
這種嬉鬧時節的一個戲劇範例,而「仲夏瘋狂」一說也許就是 這樣產生的.
冬至是遠為壯嚴的事情.太陽逐日下降,在原始社會裡,
人們不相信天文規律的不變性,他們很可能認為,這個時候, 太陽將繼續下降,一去而不復返,以致春天將永不再來,一切
生靈將統通死亡. 因此,當太陽的下降日漸緩慢,終於停止,並於 12 月 21
日開始轉變回升時,他們必定會引起很大的寬慰和歡樂,最終 經過儀式化而變成一個以喜慶和狂歡為特徵的盛大的宗教節 日.
這方面最著名的例子是古羅馬人在這個時節的幾天節 日.這個節日是以薩特恩(Saturn,古代意大利農神)命名的, 因此稱為「農神節」.它是一個歡宴和贈送禮物的日子,與人
為善到了甚至連奴隸也獲得暫時的自由,而由他們的主人來 服侍他們.在農神節的宴會上,人們還要狂歡楊飲.
事實上,「農神節」這個詞現在已經標誌著荒淫浪蕩,或 者說象徵著無節制的歡樂笑鬧.
就像蛾眉月的初次出現標誌著新月的誕生一樣,冬至可 以說是標誌著新太陽的誕生.因此,年從冬至開始是合乎邏 輯的.儒略·愷撒在改革羅馬歷使之成為太陽曆而非太陰曆 時,在腦海裡可能也有類似的想法(見第
11 章).
古羅馬人傳統上從 3 月 15 日(「3 月的艾德茲日」)開始 他們的年,原來的目的是想逢上春分點,但是由於古羅馬掌管
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曆法的人草率從事,以致最終卻遠遠離開這個二分點.愷撒
作了調整,把年的開端改為 1 月 1 日,使之靠近冬至. 然而,把年的開端定在冬至或其前後的這種習慣並不普
遍.在英格蘭(和各美洲殖民地)用來代表春分點的 3 月 25 日作為官方年的開始一直保留到 1752 年,在這一年以後,才 採納 1 月 1 日為年的開始.
新太陽的開始在現代同樣以另一種方式表現出來.在羅 馬帝國時代,基督教日益興起的權勢在太陽神崇拜方面遇到 了最危險的競爭對手,這是一種起源於波斯、以太陽為對象的
崇拜熱,這種宗教儀式的中心是代表太陽的太陽神這個神話 人物,慶祝他的誕辰的日子是 12 月 25 日——約莫冬至的時 候.對於慣於每年在這個時候慶祝農神節的古羅馬人,這無
論如何是一個過節的佳辰良宵.
可是,基督教最後剽竊了崇拜太陽神的發明,把耶穌的誕 辰定為 12 月 25 日(這在《聖經》上是沒有根據的),以致冬至 這個時節最後成了耶穌基督和太陽兩者生日的標誌.當今有
些道學家們(我是其中之一)發現,在現代世俗的聖誕節慶祝 中,有某種東西令人不愉快地聯想起古羅馬的農神節.

但是,年從哪裡開始呢?年份的計數自然是很方便的,但 是,我們從哪裡數起呢?在歷史觀念尚未高度發展的古代,只 要從當地的國王或者統治者登基起開始計數年份就足夠了.
每有一位新國王登位,計數就要重新開始.在年年選舉行政 官的城邦裡,根本就不計數年份,面只是以這一年的行政官的 名字來命名,雅典就是以其執政官來命名年份的.
《聖經》上就是以這種方式來表示所有事情的年代.例 如,《舊約全書》中的《列王紀(下)》第 16:1 節裡寫道:「雷馬利
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亞(Romaliah)的兒子彼卡(Pakah)十七年,猶太的約瑟姆
(Jotham)國王的兒子阿霍茲(Ahaz)開始稱王.」(彼卡是同時 代的以色列國王.)

拿破侖·波拿巴

本文簡單地提一下拿破侖,他出身科西嘉的造反者,先後成了 法國的將軍和皇帝,最後被放逐.他結束了近代唯一的一次新歷

圖 21 拿破侖象

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法實驗,在其他方面也同科學不無瓜葛.
1807 年,他因征戰來到波蘭.他感到驚訝,那裡竟還沒有為哥 白尼(Copernicus)豎立過雕像,於是就建立了一座.但在落成之時,
竟然沒有一個天主教教士答應在慶祝會上擔任司儀. 拿破侖資助了諸如拉格朗日(Lagrange)和拉普拉斯等科學家,
並提升和褒獎他們,一次,當他羈押著一批英國戰俘時,他只是當 愛德華·詹納(Edward Jenner,接種天花痘苗發現者)在要求釋放 的申請書上簽名之後才釋放了他們.
1798 年,拿破侖侵入埃及時,他帶了一批科學家去調查研究
埃及的古代文明.就在這次發現了刻有希臘文和埃及文的羅塞達 碑 1,於是埃及文終於得到譯解,從而大大地增進了我們的古代 史知識.拿破侖皇帝曾經大力支持法國科學,以圖能比較成功地
同英國科學競爭.這同一個半世紀以後的美蘇競爭相似.
拿破侖在科學方面最有名的故事就是同天文學家拉普拉斯的 聯繫.拉普拉斯當時正在出版他的《天體力學》的前幾卷,這部
著作完成了牛頓的工作,描述了太陽系的運轉機理.拿破侖瀏覽
了全書,評論他書內沒有提及上帝.而拉普拉斯說:「我不需要這 個假設」.

而在《路加福音》第 2:2 節裡,在指明耶穌出生時的那個 徵稅期的年代時,只是這樣寫道:「這次徵稅最初是在居魯尼 烏斯(Cyrenius)當敘利亞的總督時進行的.」
除非你有準確的國王和地方行政官吏名單,而且正確知 道每人在位多少年以及一個區域的名單同另一個區域的有怎 樣的關係,否則你便要陷入困境.正是由於這個緣故,現在
有那麼多的古代日期無法確定——甚至(正如我馬上要講的)象 耶穌誕辰那樣重要的日子.

1 1799 年在尼羅河口的羅塞達城郊發現的埃及古碑,上刻埃及象形文、俗體文和希 臘文三種文字.此碑的發現為譯解古埃及象形文字起了重要的作用.譯者注.
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一個好得多的方法是選擇過去的某個重要的年代(最好 是選得足夠早的,以便你不必處置在那時之前的負數年份),
年份就從那年連續地計數下去,再不要從頭開始.
希臘人即為此而利用了奧林匹克運動會.這個運動會每
四年舉行 一 次,囚此 四 年一循環 就 是一個「 奧 林匹亞德」
(Olympiad).奧林匹亞德連續地計數,而其中間的四年則計 為某一奧林匹亞德的第 1,2,3 或第 4 年.
但是,這使事情無謂地複雜化了,在繼亞歷山大大帝之 後的時代,希臘人優先引進了一種紀年方法.古代東方曾為 亞歷山大的部將們征服,有一個將軍塞琉古(Seleucus)在亞
洲加沙打敗了另一個將軍.塞琉古仗著這一勝利確立了他對 亞洲廣大地區的統治,他決定以發生在第 117 奧林匹亞德的 第 1 年的這場戰爭為起點來計數年份,這一年成了「塞琉古
紀元」的元年,以後的年份依次為 2,3,4,5 年等等.再沒有 比這更煞費苦心的了.
塞琉古紀元有著特殊的重要性,因為塞琉古及其後裔統 治著猶太,因而猶太也一直沿用這種方法,即使猶太人在馬 卡比(Maccabees)的領導下擺脫了塞琉古王朝之後,他們對涉
及整個古典世界的商業交易仍沿用塞琉古紀元.因而,那些 商業記錄能與不同的地方紀年聯結起來,仍可以精確地配合.
然而,古典世界最重要的紀年方法是「羅馬紀元」.它開 始於羅馬城邦建立的那一年.按照傳統,這是第 6 奧林匹亞 德的第 4 年,它被記作 A.U.C.1 年(縮寫「A.U.C.」代表「Anno
Urbis Conditae」;意即「羅馬城邦建立之年」)
如採用羅馬紀元,則漢尼拔 1最後被打敗的那場札馬 2

1 漢尼撥,迦太基大將,公元前 247~183 年.譯者注.
2 札馬,北非一古城.譯者注.
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(Zama)戰爭應當發生在A.U.C.553 年,而儒略·愷撒被暗
殺是在A.U.C.710 年,如此等等.隨著古羅馬日漸強盛,這 種方法也逐漸在古典世界流行開來,並一直持續到中世紀早 期.
早期的基督教徒急切地想表明《聖經》上的記載早於希臘 和羅馬,因此極力要在比羅馬城邦建立和奧林匹克運動會創 始都早的一個日期來開始計數年份.生活在 A.U.C.1050 年前
後的一位教會史家愷撒裡亞的歐塞比烏斯(Eusebius)計算 得出,始祖亞伯拉罕的生年比羅馬城邦的建立早 1263 年. 因此,他採用這一年作為他的元年,所以 A.U.C.1050 年成了
亞伯拉罕紀元 2313 年.
一旦《聖經》完全確立了作為西方世界的那部聖經的地 位,人們就可以合乎邏輯地使事情達於至高無上,就可以從創
世來開始計數年份.中世紀的猶太人計算出,創世是在羅馬 城邦建立之前 3007 年,而各個基督教計算者則選擇在羅馬城 邦建立之前 3251 年至 4755 年不等,這些就是各種各樣的「開
天闢地紀元」(「世界紀元」).猶太的開天闢地紀元今天還應 用在猶太曆中,因此,1964 年 9 月即為猶太曆 5725 年開始.

開天闢地紀元有著一個重要的有利因素.它們都開始得 相當早,以致在有記載的歷史上,很少有(如果有的話)年代必 須給以負數.但是,舉例來說,羅馬紀元就不這樣.奧林匹克運 動會的創立、特洛伊戰爭
1、大衛(David)登基和金字塔的 建立,全都在羅馬城邦建立之前,因而都必須給以負的年數.
當然,古羅馬人並不在乎,因為古代人都沒有很強的年代

1 古希臘傳說,古希臘人與特洛伊人之間的十年戰爭,為荷馬史詩《伊利亞特》的
主題.譯者注.
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意識,但是現代歷史學家就不會馬虎了.事實上,如果羅馬紀
元被保留下來的話,那末,現代歷史學家的境況甚至更加糟 糕.
約在A.U.C.1288 年,一個名叫狄奧尼修斯·埃克西吉
(Dionysius Exiguus)的敘利亞僧侶根據《聖經》資料和世俗 的記載,計算出耶穌必定出生於A.U.C.754 年.作為計數年 份的開始來使用,這似乎是個理想的時間,這個概念直至查
理大帝(Charlemagne)1時代(狄奧尼修斯以後兩個半世紀) 才臻於完成.
A.U.C.754 年成了公元(A.D.)元年(A.D.代表 Anno Domini,意為「基督之年」).按照這個新的「基督紀元」, 羅馬城邦之建立當在公元前(B.C.)753 年(B.C.代表
Before Christ,意為「基督之前」).第 1 奧林匹亞德的第 1 年為公元 前 776 年,塞琉古紀元元年為公元前 312 年,等等.
這就是今天所應用的紀年法.這意味著自蘇美爾直至奧 古斯都(Augustuas)2的全部古代歷史都必須以負數紀年.所 以,我們始終要記住:愷撒在公元前 44 年被暗殺,翌年是 43 年而不是 45
年.
更糟的是,狄奧尼修斯的計算是錯誤的.《馬太福音》第
2:1 節裡明白地寫道:「耶穌出生於希羅德(Herod)國王時代 的猶大的伯利恆(Bethlehem)」這個希羅德就是所謂的希羅德 大帝,他生於 A.U.C.681 年,於 A.U.C.714
年由馬克·安東 尼(Mark Antony)擁立為猶大國王.他死於 A.U.C.750 年
(這個日期之聞名肯定不下於任何有名的古代日期),因此耶

1 法蘭克王,公元 742~814 年.譯者注.
2 蘇美爾是美索不達米亞的一個著名的早期民族;奧古斯都是羅馬帝國皇帝的稱號. 譯者注.
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穌的出生不可能晚於 A.U.C.750 年.
然而,按照狄奧尼修斯·埃克西古的紀年法,A.U.C.750
年為公元前 4 年,因此在年表中總會看到:耶穌出生於公元前
4 年,這就是說,比一般認為的耶穌誕生早 4 年.

查理大帝

查理大帝在這裡是作為正式採納現代西曆紀元的幕後策動者 來介紹的,西曆紀元現今幾乎已為全世界普遍用來計數年份.
查理大帝約在 742 年生於德國的亞琛(Aachen).在他的治理 下,法蘭克帝國達到全盛時期.他統治的疆域包括今天的法國、比
利時、荷蘭、瑞士、大部份德國、大部份意大利,甚至還有西班牙 的一部份.西羅馬帝國於是復興了(勉強地),他於 800 年稱帝,從而

圖 22 查理大帝象

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開始了綿延千年之久的傳統,直至 1806 年由於拿破侖征服德國而 告終.
查理大帝在科學史上所起的重要作用,在於他在稱為黑暗時
代的那個時期的中期又一次點燃了火把.他本人和當時除了教士 而外的幾乎所有的人都是文盲.但是,他在成年時努力學習閱讀, 不過還沒能制服他的手指去學會書寫所必需的符號.
他基本上還認識到了學問的重要性,因此從 789 年開始創辦 學校.在那裡可以在一個名叫阿昆(Alcuin)的英國學者的總指
導下,教授數學和語法基礎及各種基督教會科目.
查理大帝所取得的成就有時被稱為「卡羅林(Carolingian)復 興」1.這個成就是卓越的,但又是脆弱的,它還不及這個大帝的壽 命長.大帝於 814 年 1 月 28
日死於亞琛,繼承他的兒子路德維希
(Ludwig)才智要差得多,通常稱他「誠篤者」,因為他完全被教士操 縱,他控制不了他的皇族或者貴族,北歐海盜帶來的恐怖,使先天 不足的復興徹底崩潰.

事實上,根本沒有理由肯定耶穌正是生於希羅德死的那 年.《馬太福音》第 2:16 節中寫道:希羅德想殺掉耶穌,於是 下令把 2 歲以下的小孩全部殺死.這一節可解釋為:它表明
了耶穌在希羅德還在世時可能至少是 2 歲,因此他可能早在 公元前 6 年就出生了.實際上,有些估計把耶穌誕辰挪前到 公元前 17 年.
這使我不得不可悲地承認:雖然我歡喜從頭開始,但是 我始終無法肯定這頭究竟在哪裡.

1 即指查理大帝王朝的復興.譯者注.
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第五部分數和生物學

13 那就是它的大小

不管我們怎麼侈談物質是如何可數的,但是絕對的大小 給人還是留下了深刻的印象.隨便哪個動物園裡,最常見到 的兩種動物是猴和象,前者因為它們令人難堪地同我們人相
象,後者則僅僅因為它們體格碩大,我們雖然朝著猴子嘻笑 不已,可是站在大象面前卻敬畏得默不作聲,如果把高康大
(Gargantua) 1放進猴子籠,那他將會不管是猴是猿全都攆 出籠去.實際上他是會這樣做的.
這樣地突出碩大,自然就會使人感到渺小,甚至覺得是微 不足道的.然而,人類卻已在地球這顆行星上達到了無與倫 比的主宰地位,因此,這個事實常常被描繪成為大衛(David)
和歌利亞(Goliath)的英雄傳奇 2,面我們自己就是大衛.
然而,如果我們恰當地看待統計資料的話,那末,正如我 們所看到的,描繪我們的這幅圖像並不是十分準確的.
首先,讓我們來考慮這個尺度的上限部分.我剛才提到 把象作為大動物的一個例子,如把它奉若神明地認為在動物 中首屈一指,那是一種陳腐思想.「大得像只象」不過是句慣 用語.
不過,大象並不是沒有資格居於創記錄的位置.沒有一 個陸上動物可以指望這個位置.在陸地上,動物必須克服不 受減損的重力.即使把它的身體抬起離地面幾英尺或者或快

1 文藝復興時期法國作家拉伯雷(Rabelais)所著政治諷刺小說《巨人傳》的主人公. 譯者注.
2 基督教《聖經》記載,古以色列國王大衛在童年時殺死了勇士歌利亞.譯者注.
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或慢地把它移動都不成問題,但這種與重力的搏鬥很明顯
地限制著體積的大小.如果設想一個動物平躺在地上,靜臥 不動地終其一生,比如牡蠣,那麼,它還得在每次呼吸時把 許多組織向上提起.一條被衝上海灘的鯨死於好多種原因,
但原因之一是它自身的重量壓迫它的肺,使它慢慢窒息而 死.

大象和人的相互結合在古代最迷人,那時大象用在戰爭中作為 像現代用坦克那樣的活的戰爭工具.它能夠運載許多人,以及各種 重要的進攻武器.它用其自身,用其軀幹、長牙和大腿製造破壞,給
對方在心理上造成令人恐怖的威脅,使敵對力量只是艱難地面對

圖 23 非洲象

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著這種寵然巨獸對陣.使用大象的最大缺點是,遇上力量懸殊時, 它十分機智地會臨陣脫逃,而且當它們驚慌(特別是受傷)時,對 自己方面的破壞會大於對敵方的破壞.
西方第一次遇到大象是在公元前 326 年,那時亞歷山大大帝 打敗了旁遮普國王波魯斯(Porus),後者儘管動用了兩百頭大象. 在後來的一世紀裡,繼承亞歷山大的君主們都使用過大象.
通常都只是一方或者另一方擁有大象,但是在後來亞歷山大 軍隊中的各個相互爭權的將軍們之間於公元前 301 年發生的伊普
蘇斯(Ipsus)戰爭中,雙方都有大象,總數近三百頭.使用亞洲大
象比較普遍,間或也有使用非洲大象的.但是,這種非洲像是北非 出產的,比亞洲像要小.北非種現在已經滅絕,我們今天說的非洲 象都是指東非大象,它是巨型種,是現存最大的陸地哺乳動物.插
圖所示的正是這種巨型非洲象.
希臘將軍皮洛士(Pyrrhus)於公元前 280 年把像帶進南意大 利去同古羅馬人作戰,古羅馬人雖然懼怕這種巨獸,卻不管怎樣
仍舊堅決地進行戰鬥.最後一次象戰是札馬之戰,這次戰爭中漢
尼拔的大象並未幫助他打敗古羅馬人.

可是,在水中,浮力大大地抵消了重力.在陸地上意味著 足以壓死的重量,在水下卻毫無困難地能支撐住.
由於這個緣故,地球上最大的動物,無論現在還是過去, 都是在鯨中發現的.保持創紀錄的鯨種是藍鯨,也叫長簀鯨. 有記載的這種最大的巨型動物的一個標本,長 108 英尺,重
131 1 噸 1.
4
藍鯨和我們一樣,都是哺乳動物.如果我們想知道就大 小而言我們怎麼會列入哺乳類動物的,那末,讓我們看看最 小的哺乳動物是怎樣的.

1 本文最初發表於 1961 年 10 月.自那時以來我所獲得的更好的數據,在此重新發 表時均一一加以訂正.原注.
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最小的哺乳動物是鼩鼱,這種動物外表看上去象鼠,但不
是鼠,甚至不屬囓齒目.而它們是食蟲動物,實際上跟我們 的關係比跟鼠的關係更為密切.最小的成年鼩鼱的重量為
0.052 盎司. 在這兩種最大和最小哺乳動物之間,密集地排滿了各種
動物.藍鯨以下是別的較小的鯨類,然後是其他動物,諸如大 象、海象、河馬,往下是麋,熊、野牛、馬、獅、狼、狐狸、兔、 鼠和鼩鼱.在這張從最大的鯨到最小的鼩鼱的長長的單子上,人 處於什麼位置呢?
為了避免繁複起見,同時還因為我的體重是個理想的整 數 200 磅,因此我將用我自己來作為量度.
現在,按照這樣一個參考系,我們既可把人看做巨人,也 可以看做侏儒:同鼩鼱相比,當然是個巨人;而同鯨相比,那就 是個侏儒.那末,我們對較大重量的觀點如何作出決定呢?
首先,如對噸、磅和盎司來作比較,那會造成混亂,因此, 讓我們把這三個重量全部歸入一個通用單位,為了避免分數
(至少在開始時是這樣),我們考慮用克作為這個通用單位.
(1 盎司約等於 28.35 克,1 磅約等於 453.6 克,1 噸約等於
907,000 克,供參考.)
於是,我們可以說,一條藍鯨重達 120,000,000 克,而一 只鼩鼱只重 1.5 克.人則介乎其間,重 90,700 克.
我們比一隻鼩鼱重幾萬克,但是一條鯨要比一個人重幾 千萬克.因此,可以確信,我們與其說是個巨人,還不如說是 個侏儒,而且堅決要保留大衛和歌利亞的圖景.
不過人的感覺和判斷不是按減法來進行區分的,它們是 按除法來區分的.在我們看來,2 磅和 6 磅重量之間的差別 似乎比 6 磅和 12 磅重量之間的差別來得大,儘管在前一種情
-199-
況下只有 4 磅之差,而在後一種情況下卻有整整 6 磅之差,
看來,要計算的是 6 除以 2 為 3,而 12 除以 6 僅為 2.我們 所探求的是比而不是差.
自然,做除法是令人厭煩的.象任何四年級學生和許多 成人都堅信的那樣,除法屬於高級數學之列.因此,如果我 們能夠通過減法來獲得比值的話,那將是令人愉快的.
要這樣做,我們取一個數的對數,而不是數本身.例如, 最常用的對數形式是這樣構成的:1 是 10 的對數,2 是 100 的對數,3 是 1,000 的對數,如此等等.
如果我們利用數的本身,我們在指出比值相等時可以這 樣說:1,000:100 等於 100:10,這是除法.可是,如果我們利 用對數的話,則我們在指出同樣的比值相等時可以說:3 減 2 等於 2 減
1,而這是減法.
還有,或者說 1,000:316 大約等於 316:100(檢驗一下試 試看).既然 1,000 的對數為 3,100 的對數為 2,因此,我們 可以設 316 的對數等於
2.5,因此利用對數,我們就可以這樣 來表述比值的相等.3 減 2.5 等於 2.5 減 2.
那麼,讓我們以克數的對數項來給出最大和最小哺乳動 物的體重.120,000,000 克的藍鯨用對數可表示為 8.08,而 1.5 克的鼩鼱可表示為 0.18.至於 90,700 克的人,則為
4.96.
如上所述,人跟鼩鼱相差約 4.8 對數單位,但與最大的 鯨僅僅相差約 3.1 對數單位.由此可見,我們更接近於巨人 而不是接近於侏儒.
要是你以為這一切不過是個數學遊戲、不過是我耍弄的 巧妙手法而已,那麼,我要說,這些數字相當於:一個人的重 量是一隻鼩鼱的 45,000 倍,但一條藍鯨的重量只是一個人的
1,300 倍.看來人比鼩鼱要比鯨比人大得多.
-200-
事實上,一個剛好居於鼩鼱和鯨兩者之間的重量,其對
數為 0.18 和 8.08 的算術平均數,即 4.13.這個對數代表
13,500 克即 30 磅重量的動物,這樣說來,相當於一個中等大 小的哺乳動物,大約為一個四歲的孩童,或一條體重適中的 狗.

當然,你或許會爭辯說,分成兩組——侏儒和巨人——太 簡單化了,為什麼不寫成三組——小型,中型和巨型呢?如 果將對數範圍劃分成相等的三部分,那麼,我們將獲得:從
0.18 至 2.81 範圍為小型,2.81 至 5.44 為中型,5.44 至 8.08
為巨型.
如換成普通單位,這就意味著:任何 1.5 磅以下的動物算 小型,而超過 550 磅的動物則為巨型.按照這種觀點,在上述 兩者之間的動物包括人就是中等大小的,我必須承認,這似乎
是十分合理的.這似乎是一種很好的方法,表明了人如果不算 侏儒的話,同樣也不算是巨人.
不過,如果我們要比擬得恰當,那就要做到無懈可擊.利 用大衛和歌利亞這個題材,是為了證明人贏得了地球這個行 星上霸主的地位,這是腦力對體力的勝利.可是,在這種情
形下,為什麼把鯨看做體力的極端大呢?早期的人絕不會跟 鯨競爭.鯨生活在海洋,人生活在陸地,我們只會同陸地動 物鬥爭,所以還是讓我們考慮以陸生哺乳動物來建立我們的 上限.
曾經存在過的最大陸地哺乳動物如今已不復存在了.這 就是俾路支獸(baluchitheriumluo),是一種已滅絕了的巨犀,它 站起來肩部高達 18 英尺,而重量必定在 20 噸左右.
要知道,俾路支獸(順便講一下,它之所以叫「俾路支獸」,
-201-
是因為它的化石最初是在俾路支地方發現的)的重量不到藍
鯨的七分之一,俾路支獸的克重量的對數值為 7.26.
(以下,我講到的重量均以普通單位計,但在括號內注 上對數值.請記住,這是以克表示的重量對數.)
可是,俾路支獸當然在人類出現之前就已經滅絕了,人也 就沒有同它競爭過.為了合乎情理,應該將與人類同時代生存 的動物作比較,這樣才能表示有可能競爭,生活在人類時代
的最大哺乳動物是各種大象.現在生存著的最大的非洲象, 共總重量可達 10.7 噸(6.99).可以肯定,人類可能同現已滅 絕的、還要更為大的象種競爭過.曾經存在過的最大的象的 重量不可能超過 20
噸(7.25).
(順便說一說,要注意,大象只有俾路支獸的一半重,藍鯨 的 5%重,事實上,現存最大象種的一頭成年象大約只有一條 新生的藍鯨那麼重.)
我還沒有講完.在跟其他物種爭奪世界霸權的鬥爭中, 人的直接競爭者是其他食肉動物.大象是食草動物.它可能 無意地或者在憤怒時有意地把人壓死,不然就沒有理由傷害 人.人不是象的食物.
然而,人卻是長著銳利的長犬齒的虎的食物.虎如果餓 得發慌,即使想繞道躲開的人,它也要躡手躡腳地追蹤,把人抓
住並撕食.這裡就有競爭. 真正最大的動物幾乎總是食草動物,獲得植物卡路里要
比獲得動物卡路里容易得多,而且總的來說,素食較肉食能 夠供養更大的動物.(這並不是說,某些食肉動物就不會比某 些食草動物大得多的.)
最大的動物——藍鯨,從學術上來說的確是食肉動物.但 是,它以浮出水面的微小生物為主食,因此從哲學意義上來
-202-
說,這同食草相去不遠.它不是那種長有能夠撕咬的牙齒的
典型食肉動物! 地球歷史上最大的真正食肉動物是巨頭鯨.生著一張大
嘴、下顎長著很多牙齒的一條成年巨頭鯨,重量達 75 噸(7.83). 不過,我們還是不會同海洋動物競爭的.最大的陸地食
肉哺乳動物是阿拉斯加( Alaskan ) 大熊,也叫科迪亞克
(Kodiak)熊,它間或重達 1,650 磅(5.87),我不知道已滅 絕的陸地食肉哺乳動物中有比這更大的.
說到動物重量的下限,我們無需作任何修正.鼩鼱是陸 地哺乳動物,也是食肉動物,而且就我所知,是曾經存在過 的最小的哺乳動物.或許它還是可能生存的最小的哺乳動物.
哺乳動物的代謝率隨著身體大小的減小而加快,因為體表-體 積比隨著身體的大小減小而增大.有些小動物能夠通過阻礙 和擾亂來使代謝率下跌取得補償(而且也這樣做了),但是熱
血動物則不能,它必須保持高的體溫,因而它的新陳代謝非 常快(除了暫時的冬眠期外).
象鼩鼱那樣大小的熱血動物幾乎必須不停地吃才能維持 生命.鼩鼱如果三兩個小時不吃,就要餓死,它總感到飢餓, 結果總是惡狠狠地天生一個壞脾氣.沒有人看見過一隻胖鼩
鼱,也永遠不會看到.(如果有人想拿出鄰居妻子的照片來反 駁這種說法的話,我請不必了.)
現在,讓我們把全部陸生食肉哺乳動物分成三部分.從
0.18 至 2.08 是小動物,從 2.08 至 3.98 是中等動物,而從 3.98
至 6.87 是巨型動物,如果用通用單位來表示,這就是說,4 1
4
盎司以下的是小動物,4 1 盎司至 22 磅的是中等動物,22 磅
4
以上的是巨型動物.

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人類通過鬥爭首先是贏得生存,然後達到勝利的時代.在
這時代裡,人在陸地食肉哺乳動物中是巨人.在大衛和歌利 亞的鬥爭中,其中有一個歌利亞獲勝了.

當然,我自始至終那麼謹慎地限制於哺乳動物,這會使 人引起疑心.你可能會想,人也許限於只屬哺乳動物中的巨 人;但是如采我把視野放寬的話,則人畢竟是個侏儒.
事情並不如此.事實上,哺乳動物一般說來是動物中的 巨物.非哺乳動物中只有一種能夠同大型哺乳動物相競爭
(陸地上的),它們是中生代的爬行巨獸——常人一般稱之為 「恐龍」的那一大類動物.
最大的恐龍差不多跟最大的鯨一樣長,但是恐龍的頸和 尾非常細,因此它們在重量上比不上同樣長的鯨.身體最龐 大的大恐龍——腕龍(Brachiosaurus)可能重達 75 噸(7.83).
它有巨頭鯨的大小,但只及藍鯨大小的五分之三.果然不出 所料,最大的恐龍是食草動物.
最大的食肉恐龍是異龍,有的可重達 20 噸(7.26).異 龍可以同俾路支獸一樣重,兩倍於最大的象的重量,二十四 倍於比起來覺得弱小的科迪亞克熊的重量.
異龍無疑是曾經生存過的最大的和最可怕的陸地食肉動 物.但是,它們及其整個恐龍家族早在人類出現前幾百萬年 就己經在地球上絕跡了.
如果我們局限於生活在人類時代的爬行動物的話,那末, 最大的動物看來就是東南亞的大鱷了.可惜,報道這類動物 的大小,總是趨向於長度而不是重量(描寫蛇就更是如此), 有的被描述為接近 30
英尺長.我估計,這類巨獸最大的重量 應當有 2 噸(6.25).
-204-
我對現在生活著的次最大類爬行動物——海龜,有比較
精確的數字.有記載的最大的海龜是海生的稜龜,重 1,902
磅(5.93),即差不多 1 噸. 這兩種當然都不是陸地動物,稜龜肯定是海生動物,而
鱷魚是河生動物.不過,就鱷魚而言,我傾向於不把它們從與 人類競爭者的名單中劃去.早期文明都是沿著熱帶或者亞熱 帶河流發展的,例如,誰不知道尼羅河鱷魚的威脅呢?它無
疑是長著咬人的嘴和齒的危險動物,到頭來全給它咬掉!(哪 一部反映弱肉強食的電影會沒有鱷魚令人恐怖的滑行和齜牙 咧嘴的鏡頭呢?)
鱷魚比最大的陸生哺乳動物小,但是最大的爬行動物似 乎比科迪亞克熊重,然而,縱令我們把「陸地」食肉動物的 新的上限設為 5.93,那末,人仍然還算作巨人.
如果我們談到真正陸生的爬行動物,那末,它們在大小 上顯然不如哺乳動物,最大的陸地爬行動物是加拉帕戈斯
(GalaPagos)龜,它可重達 600 磅(5.42),最大的蛇是網斑 蟒蛇,它最長可達 33 英尺,大約超過 460 磅(5.32)的重量.
最後,最大的現在生活著的蜥蜴是科摩多(Komodo)巨蜥, 最大的長達 12 英尺,重達 250 磅(5.05).
魚類是十分壯觀的.所有現存的或者已經滅絕的魚類中, 最大的魚是鯨鯊.它們最大的標本想像為同巨頭鯨一樣大和 一樣重,也許設想它們最重為 45 噸(7.61)比較切實.這些
鯊魚還是海水的無害的過濾器.最大的食肉鯊是白鯊,它長 達 35 英尺,重可能達 12 噸(7.03).
有骨的魚中最大的(例如金槍魚、劍魚、翻車魚或鱘魚)可 重達 3,000 磅(6.13).然而,魚全都是水生動物,當然不會 同任何人直接競爭,除了從事高度專業化的潛水採珠業的人
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而外.
至於鳥,正如你會想到的那樣,不怎麼壯觀.重量很重 而仍能飛行,這是不可能的.
這就是說,任何鳥如以重量和人抗衡的話,必定都不會 飛行的,曾經生存過最重的不會飛行的鳥是馬達加斯加的隆 鳥(也叫象鳥),站著有 10 英尺高,重量可達 1,000 磅(5.66).
新西蘭最大的恐鳥甚至更高(12 英尺),但比較輕,重量不 超過 500 磅(5.36).比較起來,現在生存的最大的鳥,駝鳥
——還是不會飛行的——最重的約 350 磅(5.20).

蜂 鳥

蜂鳥是能夠佔滿昆蟲小生境的最稠密的熱血動物.它們身體 小了一些,並能夠通過代謝作用產生熱量,但產生的熱量並不能 抵償經由體表損失的熱量.
作為最大的蜂鳥即巨型蜂鳥,重約 20 克(0.7 盎司),比中等 的麻雀也小得多,而最小的蜂鳥則僅為這個大小的十分之一.這 最小的名為蜜蜂樣的蜂鳥,意在強調它同昆蟲相似.它取食花蜜,
能夠在空中翱翔,然後突然衝向任何方向,像一隻特大蜻蜓. 蜂鳥下的蛋是鳥蛋中最小的一種,125 個才有一個雞蛋那麼
重,約 18,000 個才抵得上最大的鳥蛋即已滅絕的巨型鳥隆鳥的蛋
那麼重.但同蜂鳥本身的大小相比,它們下的蛋還是相當大的. 一般兩個蛋的重就達它母親重量的十分之一(但這還不是創紀錄 的.不會飛行的新西蘭鳥——鷸鴕——下的蛋幾乎是它自身重量
的四分之一,這怎麼會不使它身體垮掉,對我來說將永遠是一個 謎.)
蜂鳥是生命體中耗用能量最厲害的生物,它每 24 小時消耗
約 10.3 大卡,這相當於每克體重約 5 大卡.人體在同樣時間裡可 消耗 2,500 大卡,每克僅 0.035 大卡,就重量比例而言,蜂鳥消耗 的能量約為我們的 150
倍.不過,在夜間蜂鳥就不活潑了,不論體

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圖 24 蜂鳥

溫還是代謝率都大大下降.在本文中享有小熱血動物之譽的鼩鼱, 它的代謝率更低一些,但它在夜間同白晝一樣活潑——沒有蟄伏 的習性.

至於談到飛鳥,它們的重量就大大減輕了.信天翁雙翼

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展開時翼尖的距離是創紀錄的,達 12 英尺,但雙翼並不很重,
甚至最重的飛鳥重量或許不超過 40 磅(4.26).即使最大的 現已滅絕的會飛爬行動物——翼手龍——雖然雙翼展開達 25 英尺,但實際上完全是翼,沒有身體,可能還沒有信天翁重.1
為了補齊脊椎動物綱,還要提到兩棲類.最大的兩棲動
物是在日本發現的巨型蠑螈,長達 5 英尺,重達的 90 磅(4.60). 從最小的方面去研究,我們發現最小的鳥是古巴的蜜蜂
樣的蜂鳥,重約 0.07 盎司(0.30).(跟鼩鼱一樣,這種蜂鳥 幾乎需要一刻不停地吃,它們餓得很快.)
然而,比起任何一種熱血哺乳動物和鳥類來,冷血脊椎 動物的大小可以比較小些,因為冷血意味著體溫可以降低到 環境溫度,面且新陳代謝可以減慢到實用水平.因此,最小
的脊椎動物是某些魚種.菲律賓群島有一種屬於蝦虎魚科的
魚,完全成熟後的長度也只有八分之三英吋.這種魚重 1 克
50
(-2.70).你可曾注意到,已經用上了負對數.

無脊椎動物又怎麼樣呢? 無脊椎動物體內沒有賴以支撐組織的骨胳,所以不能指
望它長得像脊椎動物那麼大,只有在水裡,它們借助浮力才 可能長得比較像樣.
最大的無脊椎動物是在軟體動物中發現的.已經實際測 得過巨型槍烏賊的長度為 55 英尺;據猜測,其最大長度可達
100 英尺,這樣的長度也是虛假的,因為它們主要是些相當 輕的觸鬚.這種動物的最大重量不像會超過 2 噸(6.26)很多.

1 1975 年曾發現了比翼手龍還要重得多的會飛爬行動物的化石.我揣測它可能有 50
磅重.原注.
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表 2 大 小

動 物 特 征 克重量對數

藍鯨 最大動物 8.08
巨頭鯨 最大食肉動物 7.83 腕龍
最大陸地動物(已滅絕) 7.83 鯨鯊
最大的魚 7.61 異龍
最大陸地食肉動物(已滅絕) 7.26 俾路支獸 最大陸地哺乳動物(已滅絕)
7.26 白鯊 最大食肉魚
7.03 象 最大陸地動物(在世) 6.99
巨型槍烏賊 最大無脊椎動物 6.26 鱷魚
最大爬行動物(在世) 6.25 翻車魚
最大有骨魚 6.13 稜龜
最大海龜 5.93 科迪亞克熊
最大陸地食肉動物(在世) 5.87 隆鳥 最大的鳥(已滅絕)
5.66 巨蛤 最大腹足綱軟體動物
5.50 加拉帕戈斯龜 最大陸地爬行動物(在世) 5.42 網斑蟒蛇
最大的蛇 5.32 鴕鳥
最大的鳥(在世) 5.20 克摩多巨蜥 最大蜥蜴
5.05 人
4.96 巨型蠑螈
最大兩棲動物 4.60 信天翁 最大飛鳥
4.26 大鰲蝦 最大節肢動物
4.19 花金龜科大甲蟲 最大昆蟲
2.00 蜜蜂樣的蜂鳥 最小的鳥
0.30 鼩鼱 最小哺乳動物
0.18 蝦虎魚科魚 最小的魚和脊椎動物 -2.70 仙蠅
最小昆蟲 -5.30 輪蟲
最小多細胞動物 -8.22

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另一種軟體動物巨蛤,重可達 700 磅(5.50),但主要重
的是無生命的蛤殼;而最大的節肢動物是大螯蝦,重達 34 磅
(4.19). 至於陸地無脊椎動物,其重量微不足道.最大的陸地蟹
和陸地蝸牛在重量上決不能同任何哺乳動物(極小的除外) 相比.確實也是這樣,在所有陸地無脊椎動物中,最有作為、最 為重要的是昆蟲.最大的昆蟲是花金龜科大甲蟲,其長度可 達五、六英吋,重約 100
克(2.00).
各種昆蟲表現為重量遞減而等級分明,其最大重量恰巧 銜接於哺乳動物重量尺度的下端.這個下端是令人驚訝的,
因為有種叫作仙蠅的小甲蟲,成熟後的長度只有 1
125
英吋.
這種動物的重量不大於 0.000005 克(-5.30).
甚至這也不是創紀錄的.在各種各樣的多細胞無脊椎動
物中,最小的是輪蟲.它們中就是最大者也不過十五分之一 英吋長,最小者只有三百分之一英吋長,重 0.000000006 克
(-8.22).換句話說,輪蟲之與鼩鼱相比,就像鼩鼱之與鯨相 比一樣.如果我們再往小處看,那末,我們最終將不僅把人, 而且也把鼩鼱都看做生命動物中的巨物.
不過,比輪蟲小的是些單細胞動物(但是,比較大的單細 胞動物事實上要比最小的輪蟲和昆蟲來得大),我準備在這裡 擱筆了,只是再補充一張大小的一覽表.
然而,如果我們再回到大衛和歌利亞圖景並且把人看做 歌利亞的話,那末,我們還真有些大衛可以考慮——囓齒動 物、昆蟲、細菌和病毒.至此,還沒有考慮到利潤,而聰明 的富翁們終究才是真正的大衛哩.

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第六部分數和天文學

14 質子計算器

在我的心坎裡,虔誠地供奉著數學家阿基米德的神龕. 說實在的,如果我相信靈魂輪迴是有這麼一回事的話,但 願我自己的靈魂能在阿基米德的軀體裡居留一陣子,因為我
覺得那兒會有個稱心如意的住所. 我現在來說明其中的道理. 阿基米德是希臘人,居住在西西里的敘拉古.他生於公
元前 287 年左右,卒於公元前 212 年.他生活的時代,希臘的 強盛時期(從軍事上和政治上來說)早已過去,而羅馬正勃興 走向稱霸世界.事實上,阿基米德死於羅馬征服軍劫掠敘拉
古期間.但是,這個時期正是希臘科學極盛的世紀——而阿 基米德正站在希臘科學的項峰,
但這不是我對他特別親暱的原因(我畢竟沒有站在任何 科學的頂峰).成為原因的是他的一件工作;這在希臘語叫 「Psammites」,拉丁語叫「Arenarius」,而英語叫「The sand-
Reckoner」(砂粒計算器).
這事曾奏稟敘拉古國王的長子格朗(Gelon),奏本的開 頭是這樣寫的:
「格朗國王殿下,有些人認為砂粒的數目是無限多.我說 的砂子,不僅是指敘拉古和西西里其他地方存在的,而且還包 括不管有人居住還是無人居住的每個角落裡的砂子.還有些
人雖然不認為它是無限多,但仍認為舉不出大得足以超過它 的數字.顯然,持這種觀點的人如果從另外方而來想像一個 由砂子堆成象地球質量一祥大的物體,連同地球上的全部海
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洋和山谷都填得像最高的山一樣高,那末他們往往另有這樣
的認識:超過這麼多的砂粒數目的任何數都可以表示出來,不 過,我試圖用幾何證明來表明(你將會瞭解的),在我列舉的和 我寄給佐克西普斯(Zeuxippus)的那篇著作中所給出的那些
數字中,有一些不僅超過了大小等於按上述方式填充起來的 地球的砂體砂粒數日,而且還超過了大小等於宇宙的物體.」
阿基米德接著發明了一種表示大數字的數制,按照這種
數制可以一直整理到需要表示為 1080,000,000,000,000,000 或者近
乎101017 的數字. 此後,他根據當時最先進的知識著手估計宇宙的大小.他
同樣也著手確定一粒砂的大小.他說,一顆罌粟種子可容下

1 萬粒砂子,而罌粟子的直徑為手指寬的 1 .
40
給出了宇宙的大小和一粒砂的大小,便容易確定填補宇 宙需要多少砂粒.他算出了一個以他的數製表示的確定的數 字,按我們的數制等於 1063.
我顯然覺得(我是從一切可能方而這樣說的),阿基米德 是在為我撰寫我要寫的科學論文中的一篇,這正是他深得我 心的原因所在.

現在,讓我們想想看,把他的論文盡可能地符合他的初 衷向前推進一步還能做些什麼.
阿基米德說,一顆罌粟子的直徑為手指寬的 1
40
,我自己
的手指看上去直徑大約為 20 毫米,因此一顆罌粟子的直徑按
照阿基米德的規定是 0.5 毫米.
如果一個直徑為 0.5 毫米的球將容納 10,000(104)粒砂 子;如果阿基米德的宇宙將容納 1063 粒粒砂子,那末,阿基米德
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宇宙的體積為一粒罌粟子的 1059 倍.這個宇宙的直徑便是一 顆罌粟種子的 3 1059 倍.1059 的立方根等於 4.65×1019,如 果乘以 0.5 毫米,則得出阿基米德宇宙的直徑為
2.3×1019 毫米, 或取其一半,得半徑為 1.15×1019 毫米.
這個半徑合 1.2 光年.在當時,人們認為恆星都固定在
一個以地球為中心的大球上,因此阿基米德那時是在說,固定 恆星的大球與地球的距離在任何方向上都是 1.2 光年左右. 一個古代數學家得出這樣的數字是難能可貴的.當時,
最近的天體——月球的確切距離正在測算之中,而其他所有
的距離都還一無所知. 但這與實際相去甚遠.如現在已知,連最近的恆星離我們
的距離,也是阿基米德所認為的全部恆星距離的四倍左右.

那末,宇宙實際有多大呢? 宇宙中離我們最遠的天體是各個星系,有些星系比其他
一些星系遠得多.二十世紀初已經確定,星系(只有最接近我 們的極少幾個是例外)全都在退離我們.而且,星系越暗,也 就是離我們越遠(推測起來),退離的速率越大.
美國天文學家埃德溫·鮑威爾·哈勃(Edwin Powell Hubble) 於 1929 年確定,根據現有的數據,退離速度和距離之間似乎 有一種線性關係.換句話說,如果星系 1 是星系 2
的兩倍遠, 那末,星系 1 將以兩倍於星系 2 的速度退離我們.
這個關係(通常稱為哈勃定律)可以下式表示:
R=kD(方程 1)
式中 R 為星系退離速度,D 為它的距離,k 為常數,我 們可稱之為「哈勃常數」.

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這定律還不屬於科學家們可以感到確信無疑的關於宇宙
的那些重大基本定律.然而,自從哈勃定律提出以來的將近 四十年來,似乎還沒有把天文學家們引入歧途,還沒有提出證
明它虛假的觀測證據,因此,它現在仍然為人們接受.1
哈勃定律的論點之一是,如果宇宙作為一個整體(而不是 構成它的物質)在膨脹的話,那末,它確實就是預料之中的.
在這種情況下,每個星系都將離開所有其他星系而運動,而且 從任一作為特許點的星系看來,其他星系的退離速度的確隨 著距離的增加而直線增加.既然愛因斯坦廣義相對論方程能
夠適合於膨脹宇宙,所以天文學家們有理由感到幸運.實際 上比哈勃定律提出早好幾年時,荷蘭天文學家威廉·德·西脫
(Willem de Sitter)就已經提出過膨脹宇宙的理論.
然而,哈勃常數的值多大呢?最初提出它等於每一百萬 秒差距 500 公里/秒.這意味著,一個距一百萬秒差距的天體 將以 500 公里/秒的速度退離我們;一個距二百萬秒差距的天
體以 1,000 公里/秒的速度退離;一個距三百萬秒差距的天體 以 1,500 公里/秒的速度退離,如此等等.
這個常數值已證明大大地偏高.現在一般的看法,顯然
都把它的值定在每一百萬秒差距 75 和 175 公里/秒之間.這 個常數的大小隨著天文學家知識的增進而不斷減小.因此我 揣測,目前這個估計值的下限最接近於實際值.我將取每一
百萬秒差距 75 公里/秒作為哈勃常數值. 這樣,星系能夠離我們多遠呢?如果退離速度每一百萬
秒差距增加 75 公里/秒的話,那末,退離速度終於會達到光速

1 本文初次發表於 1966 年 1 月.十年來,圍繞哈勃定律一直有相當激烈的爭論.雖 然它仍為天文學家們接受,但是我的態度現在已不如當時那樣自滿自足了.原注.
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(300,000 公里/秒).
更遠的星系怎麼樣呢?如果哈勃定律在一切距離上完全
有效,如果我們忽略相對性定律,那末,一定會看到,比已經以 光速退離的星系更遠的星系在以大於光速的速度退離.
在這裡,我們不必停頓來研究超光速的速度是否可能的 問題,以及這種超界限星系能不能夠存在.這是無關緊要的. 一個超光速退離我們的星系所發出的光不可能到達我們這
裡,中微子也好,引力影響也好,電磁場或者其他什麼也好,都 不可能.這種星系怎麼也不可能觀察到,因此就我們而言,並 不存在以愛因斯坦的信條還是牛頓的信條來作為我們的論據 的問題.
於是,我們有了所稱的可觀察宇宙.這不僅是用我們最 好的和放大率最大的儀器所能觀察到的那部分宇宙,而且也 是能夠用分辨率無限大、最完善的儀器能夠觀察到的那部分 宇宙.
因此,可觀察宇宙的體積是有限的,其半徑等於星系退離 速度達到 300,000 公里/秒的那個距離.
假定我們將方程 1 表示為

D=R/k(方程 2)

令 R 等於 300,000 公里/秒和 k 等於每一百萬秒差距 75
公里/秒.然後我們可以解出 D,答數單位為百萬秒差距. 於是,得出結果為
D=300,000÷75=4,000(方程 3). 此即離我們的最遠可能距離,或者相當於可觀察宇宙的
半徑,它為 4,000 百萬秒差距,即 4,000,000,000 秒差距.
1 秒差距等於 3.26 光年,這意味著可觀察宇宙的半徑為
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13,000,000,000 光年.這可以稱作哈勃半徑.
天文學家們還沒有進入到哈勃半徑的全程,但是他們正 在接近它.據蒙特·帕洛馬(Mount Palomer)提出,經天文學 家馬爾頓·施米特(Maarten Schmidt)測定,一個標示為 3C9
的天體,以 240,000 公里/秒的速度即光速的五分之四的速度 退離.因此,這個天體離我們的距離為 100 億光年稍多一點, 是現在己知的最遠的天體 1.
如你們所看到的,可觀察宇宙的半徑大大地超過了阿基 米德宇宙的半徑;130 億比 1.2.這個比值恰為 100 億左右, 當兩個球體以體積相比時,體積隨半徑的立方而變.如果可 觀察宇宙的半徑 1010
倍於阿基米德的宇宙,則前者的體積為 (1010)3 即 1030 倍於後者的半徑.
如果填滿阿基米德宇宙的砂粒的數目為 1063,那末,填 滿可觀察宇宙的大得多的體積所需要的數目為 1093.

可是,究竟為什麼總是纏著砂粒呢?阿基米德之所以利 用砂粒是為了以最小可能的東西來填滿最大可能的休積.實 際上,他已把事情誇大了一點.如果一顧直徑 0.5 毫米的罌 粟子要包含 10,000
粒砂子的話,那末,每粒砂的直徑必為
0.025 毫米,這是肉眼無法分辨的極其微細的砂粒. 我們可以做得更加好.我們現在已經知道阿基米德所不
知道的原子,以及還有亞原子粒子.現在假定我們試圖在這 類物體中尋求可能的最小體積;不僅是體積,而且是最小可能
的體積.
如果我們探求的是最小可能的質量,那末毫無問題,那
就是電子的靜質量,即 9.1×10-28 克.任何具有質量的物體,其

1 1973 年探測到了距離達 120 億光年的一個天體.原注.

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質量都不會小於電子的質量.正電子的質量也小,但正電子
只是電子的反粒子,換言之,即為電子(電荷)的鏡像形式. 質量比電子小的粒子是有的.例如光子和各種中微子,
但這些粒子的靜質量均為零,所以完全不能叫做「具有任何質 量的物體」.
這是什麼道理呢?那就是說,電子還有一個獨特的條件. 它是能夠攜帶電荷的質量最小的物體.靜質量為零的粒子總 是不帶電的,因此,電荷的存在似乎要求有質量的存在——而 質量不小於與電子相聯繫的質量.
電荷或許就是質量,而電子不是別的就是電荷——無論 是什麼樣的.
還可以有一種粒子,例如質子,它的質量是電子的 1,836 倍,但電荷卻是一樣大.另外還有一種粒了,比如中子,其 質量是電子的 1,838 倍,但完全沒有電荷.
我們可以把這種質量大的、帶電不足的粒子看做是由許 多正負兩種電荷所組成.它們或者大部分或者全部相互抵 消,就質子而言多餘一個正電荷,就中子而言沒有不抵消的電 荷.
可是,電荷怎麼能夠在質量不抵消的同時而彼此抵消呢? 關子這一點沒有人能回答.在對質子和中子內部結構的瞭解 大大進展之前,這些問題也許就得不到解答.我們必須等 待.
那末,體積又怎麼樣呢? 我們可以滿有把握地談論亞原子粒子的質量,但體積可
就不同了.所有粒子都顯示出波動性,和一切物質塊相聯繫 的是「物質波」,它們的波長同粒子的動量(即它們的質量和 速度的乘積)成反比.
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和電子相聯繫的物質波具有數量級為 10-8 厘米的波長, 大約是一個原子的直徑.因此,說電子是粒子,或者把它看作 具有一定體積的、堅硬而又光亮的球體,都是不切實際的.由
子有波動性,電子「散佈」在它構成部分的原子內.有時它也 「散佈」在整個一組原子的範圍裡.
象光子和中微子那樣沒有質量的粒子,其波動性甚至更 為顯著,更不能說它有體積了.
如果我們繼續探究質子(或者中子)的話,我們就發現一 個有著將近 2000 倍於電子質量的物體,這意味著,如果所有 其他方而都相等,那末,和質子和聯繫的物質波的波長應當約
為和電子相聯繫的物質波波長的二千分之一
物質波緊密地圍繞著質子,因此質子的粒子性增強了.質
子可以看作一個粒子,人們可以說它有一定的體積,這是一個 遠比電子所「散佈」的波長為小的體積.(可以肯定,如果質子
能夠放大到足以被看到的話,我們將會發現它有著一個邊界 不清晰的模糊的表面,因此其體積只是近似地「確定的」.) 假定我們進而研究質量甚至比質子更大的物體.物質波
會不會靠得更緊,體積會不會甚至更小呢?比質子更重的亞 原子粒子是有的.然而,它們全是極其短命的,我也還沒有估
計過它們的體積. 我們還可以組成許多質子和中子的堆集,它們穩定得足
以進行研究.這就是各種各樣的原子核.比如說,一個由 10 個質子和 10 個中子組成的原子核,在質量上將 20 倍於單個 質子,而與原子核作為整體相連的物質波的波長也相應地短. 這會不會使 20
個質子和中子的體積縮到比單個質子還小呢?
顯然不會.當達到象質子那樣重的物體時,它的粒子性 是那麼顯著,以致它幾乎可以作為一隻微小的檯球來看待.不
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管有多少個質子和中子聚集在一個原子核裡,各個質子和中
子都仍保持其原來的體積不變.這意味著,質子的體積完全 可以看做具有意義的最小體積.這就是說,你可以說有一個 體積是「質子體積的一半」,但是你決計找不到這樣的粒子或 者波,它將填充這個體積而不重迭.
人們已經計算出各種原子核的大小.例如,已經計算出 碳原子核的半徑為 3.8×10-13 厘米,鉍核的半徑約為 8×10-13 厘米.如果一個核由幾個不可壓縮的中子或質子緊密裝填的
球體所構成,那末,兩個這樣球的體積應該是粒子數的立方根 關係.碳核中粒子的數為 12(6 個質子和 6 個中子),而鉍核 中粒子的數為 209(83 個質子和 126 個中子).粒子數的比為
209:12 即 17.4,17.4 的立方根則為 2.58,因此,鉍核的半 徑應是碳核的 2.58 倍,而實際比值為 2.1.考慮測量的測不 准性,這已經是不錯的了.
接下來讓我們把碳核同單個質子(或中子)作比較.碳核 有 12 個粒子,而質子是獨一無二的,比值為 12,其立方根 約為 2.3,因此,碳核的半徑應是質子半徑的約 2.3 倍,於是,
我們發現,質子半徑約為 1.6×10-13 厘米.

現在,我們可以把質子一個接一個地排列起來,看看有 多少質子即可橫貫整個可觀察宇宙.我們只要用質子半徑來 除可觀察宇宙的半徑,即可得出答案.
可觀察宇宙的半徑為 130 億光年即 1.3×1010 光年,而每 一光年長 9.5×1017 厘米,將可觀察宇宙半徑以厘米表示,則 為 1.23×1028.用質子半徑(1.6×1013
厘米)來除它,即得 出答案:7.7×1040.
換句話說,如果有人問,「需要把多少個質子肩並肩地排
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列起來?」,那可以回答:
「77,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000!」
因為再沒有地位可以排下去了. 現在來看體積.如果質子有半徑 1.6×1013 厘米,並假
定它是球形的,那末,它的體積為 1.7×10-40 立方厘米,而這 就是最小的可能體積.再給定可觀察宇宙的半徑為 1.23×
1028 厘米,則其體積為 7.8×1084 立方厘米,這就是最大的可 能體積.
我們下一步設想,用最小的可能體積來絕對緊密地(不留 任何空間)裝填最大的可能體積.如果我們用 1.7×10-40 來除
7.8×1084,則我們發現,填滿可觀察宇宙體積所需要的質子 數為 4.6×10124.
這就是阿基米德就「砂粒計算器」為他自己提出的那個問 題的答案(按現代標準).說也奇怪,這個現代的答案幾乎恰 恰為阿基米德解的平方.
然而,不管阿基米德在天空中的大黑板上處於什麼位置, 他都不必為此感到慚愧.他所做的不止僅僅截取一段數字來 提出一個大數,他是在論證數學中的一個重要問題;這就是,
可以設計出一種數制,它能夠表達任何有限的但是大的數字. 在這一點上他取得了完滿的成功.

暖,我還沒有做完.可觀察宇宙裡實在有多少質子呢? 「宇宙密度」的數值範圍據估計為 10-30~10-29 克/厘米 3
(如果所有的宇宙物質全都是均勻地分佈的話,則宇宙密度即 為宇宙物質的數量).這表示高度的真空,所謂高度真空意味 著字宙中實際上無物質.然而,宇宙裡有為數巨大的立方厘
米,甚至「實際上無物質」也在增加.
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如我已經說過的那樣,可觀察宇宙的體積為 7.8×1084 立 方厘米,而如果宇宙密度不僅在最靠近我們的幾十億光年裡, 而且在全宇宙裡都處處相等的話,那末,可觀察宇宙中所包 含的總質量為
7.8×1054 克至 7.8×1055 克.我們設想它處於 這個範圍的中間,就是說可觀察宇宙的質量為 3×1055 克.因 為我們自己的銀河系的質量約為 3×1044 克,因此可觀察宇宙
中的質量足以構成 1,000 億萬(l011)個像我們自己那樣的 星系.
這個質量實際上全都在宇宙中的核子即質子和中子裡 面.單個質子或中子的質量約為 1.67×10-24,這就是說,可 觀察宇宙中有 1.8×1079 個核子那樣多的質量.
作為初步近似,我們可以假定,宇宙僅由氫和氦組成,每 有一個氦原子就有十個氫原子.氫原子核由單個質子組成, 氦原子由兩個質子和兩個中子組成.因此,每十一個原子中,
就有十二個質子和兩個中子.所以宇宙中質子對中子之比為 六比一,或者粗略地說,宇宙中有 1.6×1079 個質子和 0.2×
1079 個中子.(可見,在幾乎是虛空的可觀察宇宙中的質子數 目是阿基米德的裝滿宇宙砂粒數的 1015 倍.)
另外,每個質子與一個電子結合,因此宇宙中粒子的總數
(假定有效數字裡只包括質子、中子和電子)為 3.4×1079.

這裡在可觀察宇宙中作質子計算時,忽略了相對論性效 應,一個星系離開我們越遠,退離我們越快,它因菲茲傑諾
(Fitzgerald)收縮而經受的縮短就越大(至少對於我們自己 的觀察眼睛來說是如此).
現在假設有一個星系距離我們 100 億光年,以光速五分 之四的速度退離我們.再假設我們看到它徐徐移動以致它沿
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視線方向的極端長度一般為 10 萬光年,但由於縮短,我們將
觀察到的長度(假定我們能夠觀察到)僅僅是 6 萬光年. 更遠的星系看上去甚至縮得更短,而當我們接近 130 億
光年的哈勃半徑時(此時,退離速度接近光速),由於縮短作用 會使星系沿視線方向的厚度接近零.於是我們就有了一幅圖 景:在哈勃半徑附近的都是些和紙一樣薄和比紙更薄的星系.
那兒總有空間可容納無限多個這樣的星系,它們全都擠聚在 哈勃半徑周圍.
當然,在這些星系上的居民看來,這是沒有錯的.他們和 他們的鄰居都是些正常的星系,周圍的空間則幾乎是虛空的.
可是,在他們的哈勃半徑上,一定有無限多個比紙還薄的星 系,包括我們自己!
因此,在一個幾乎是虛空的宇宙有限體積裡,畢竟可能 有——看來是自相矛盾的,但可能是正確的——一個無限的 宇宙,它有無限個星系、無限大的質量,而為了回到本文的中 心點,就是說有無限多的質子.
這樣一幅在有限的體積裡無限宇宙的圖像同宇宙的「大 爆炸」理論並不一致,它預先假定宇宙開始時質量是有限的. 不過,它符合於「連續創造」的宇宙,它需要一個無限的宇宙, 但是有限的體積.
在觀察結果影響下,天文學家越來越傾向於「大爆炸」,但 是「連續創造」的樂觀圖景從感情上把我吸引了過去.
迄今我們還只能深入空間 100 億光年,但是我熱切地期 待著.在我的有生之年,我們或許能夠征服這最後 30 億光年 而達到可觀察宇宙的邊緣,並且設法獲得有無限多個星系存 在的某些跡象.
可是,這也許是不可能的.星系退離越快,從它們到達我
-223-
們的能量就越小,檢測它們就越難.紙一樣薄的星系可能是
有的——但也許是無法檢測的. 如果這些結果不能成為定論,那末,我除了信念之外將一
無所剩.而我的信念就是這樣——宇宙是無界的和無限的, 界限將永遠、永遠、永遠不會沒有人去對付和克服.1

1 哎呀,自從本文初次發表以來的那些歲月裡,「連續創造」理論差不多已經銷聲匿
跡,積聚著的星系也沒有出現趨向邊緣的跡象——但是我保留我的信念.原注.
-224-

第七部分數和地球

15 水,水,到處都有——

我成年後有一次沉迷在航海之中,但那次不是自願的.1 一些和藹的軍曹把各種各樣身著士兵服的青年趕到了一條船 上,我就是這些青年中的一個.
我實在不想離開陸地(因為我是一個最膽小的和沒有經 驗的水手,不過是來湊數的),想把這個想法告訴軍曹們.然
而,他們似乎被肩負的重任弄得那麼憂心忡忡,為不得不勉為 其難地擔起要別人做些什麼的任務而那麼鬱鬱寡歡,因此我
便不忍心去告訴了.我害怕他們要是發覺有一個士兵實在不
願意去的話,他們會哭起來的. 這樣我就上了船,我們便開始了從舊金山到夏威夷歷時
6 天的航行. 這不是一次舒適的航行.舖位有四層高,士兵也就這樣
睡.暈船蔓延,而我自己雖然沒有暈過一次船(以我作為一個 科學小說作家的名譽擔保),但當舖位上面的張索肯定起作用 的時候,這也沒有什麼了不起了.
我第一夜受到的打擊最難受.我整日在應付船的顛簸, 急切地等待著就寢時間.就寢時間一到,我就鑽進了並不舒
適的床鋪,突然意識到:夜裡並沒有離開海洋呀!船整夜都 在顛簸,前後搖,左右搖,起伏,橫搖,要不整夜就像傻瓜似的!
每夜都是如此! 這樣,你很可能會想到,由於這種種原因,我促使這次航

1 本文最初發表干 1965 年 12 月.自那時以來我已經航海過多次,每次都是自願的, 每次都很愉快.原注.
-226-
行駭人聽聞地沉默,而我在船上的所有乘員當中由於性情乖
戾而最引人注目. 只有一次例外.第三天整日下雨.你們以為這沒有什麼
可奇怪的嗎?不要忘記,我是個沒有出過海的人.我從來沒 有見過海上下雨,我也從來沒有想像過海上下雨,而現在我 看到了一個完全是徒勞的事,那麼多水傾瀉下來化為烏有,只 是降下了更多一些水而已.
認為這是徒勞的想法,認為大自然的這種無效的和完全 荒謬的安排,使雨水落在海洋裡,強烈地衝擊著我.使我哈哈 大笑起來,笑聲接連地發出,我立即走到下甲板,欣喜若狂,發 瘋地笑著,手舞足蹈,沖淋著雨水.
一個軍曹(或者其他一個人)走來,帶著溫暖和體貼的 同情對我說:「士兵,你到底怎麼啦?你就這樣站立著!」
而我所能說的只是:「天在下雨!雨下在海洋裡!」我整天 地為此傻笑著,那天夜裡我四鄰的睡鋪都空著.人們可能在 說(我猜想)我發瘋了,隨時可能殺人.
但自那以後,我常常覺著,我不應該笑,我當時應當
哭.
我們這裡東北部幾個州正遭受嚴重的乾旱 1,當我想到 海洋上的雨水,想到要是在乾旱土地上的某些她方能用上一 點這些雨水該多好的時候,我可能立刻就會哭起來.
那時,我將盡可能通過談論水來安慰自己.

實際上,地球上現在不缺水,將來也永遠不會缺水.其 實,如果天氣繼續趨向轉暖,覆蓋的冰層溶融的話,則我們正

1 請記得,這是 1965 年.自那時以來再沒有乾旱過.原注.

-227-
處於嚴重的和持續的水過多的危險之中.1
不過我們此刻不必忙於為覆蓋冰層的融化擔憂,還是讓 我們來考查一下地球的水源吧.首先,地球上有海洋.我之 所以把海洋這個名詞用單數,這是因為實際上地球上只有一
個世界海洋;這是一大片鹹水,各個大陸象大島一般地座落在 上面.
這個世界海洋的總的表面積為 139,480,000 平方英里,而 整個地球的表面積為 196,950,000 平方英里.2這樣你就知道, 這個世界海洋覆蓋著地球表面的百分之七十一.
這個世界海洋之所以被任意地分成比較小的單元,部分 原因是因為在早期探險中人們不知道是一個單一的海洋,直 到 1519~1522 年麥哲倫(Magellan)探險隊的環球航行才首
次清楚地證明了這一點.另一方面是因為各大陸把這個世界 海洋分成各個相連部分便於個別稱呼.
習慣上,人們都聽到「七大洋」的說法.的確,我的地球儀 和各種版本的地圖冊都把世界海洋分成七個部分:(1)北太 平洋,(2)南太平洋,(3)北大西洋,(4)南大西洋,(5)
印度洋,(6)北冰洋,(7)南冰洋.
除此之外,還有比較小的海、海灣和大海灣.它們或者是 洋的一部分,這一部分幾乎被陸地包圍起來,如地中海或墨 西哥灣.或者是被一列島嶼從洋的主體劃分出來的一部分,如加 勒比海或者南中國海.
讓我們把這種劃分方法盡可能地簡化一下.首先,我們

1 這裡我顯得落後了,實際上,自 1940 年以來,我們一直經歷著轉冷的趨勢.原注.
2 如果我今天寫本文的話,我得用「平方公里」作為單位,但現在更改就顯得麻煩 了.只要記得 1 平方英里等於 2.6 平方公里,知果你需要的話,那你自己改吧. 原注.
-228-
把所有的海、海灣和大海灣看做與它相連的那個洋的一部分;
我們可以把地中海、墨西哥灣和加勒比海算做北大西洋的一 部分,而南中國海看作是北太平洋的一部分.
其次,北太平洋和南太平洋,或者北大西洋和南大西洋, 從地球物理上來說都沒有分界線(任意約定的分界線都是赤 道).因此,我們就把它們作為單一的太平洋和單一的大西洋 來看待.
第三,如果看一下地球儀就會發硯,北冰洋不是真正獨 立的洋.它是大西洋的一個分支,通過格陵蘭和挪威之間的 一條一千英里寬的水域(挪威海)與大西洋相連.因此,我 們把北冰洋歸入大西洋.
第四,南冰洋並不存在.這個名稱是給在南極洲周圍的 水域航行用的(它只是地球的這樣一個部分:人們不受陸地 或者整片冰層阻礙能夠在那裡沿緯度作環球航行).在這片水
域和它北邊的那些大洋之間,並沒有任何特定的邊界.任意 邊界的長度可以通過在那些較大的洋中間劃分出南冰洋而加 以縮短.
於是,世界海洋剩下的三大部分是:太平洋、大西洋和 印度洋.
看一下地球儀就會發現,太平洋和大西洋都從北極地延 伸到南極地.它們在北部的分界是涇渭分明的,因為唯一的通 道就是阿拉斯加和西伯利亞之間的狹窄的白令海峽.橫過這 片水域可以劃一條 56
英里長的任意短線把這兩個洋分隔開.

海 洋

如正文已提到的,海洋覆蓋著地球表面的百分之七十一.不過 我們所看到的當然只是它的表面.

-229-
海洋平均深 2.3 英里(3.7 公里),有些地方則深過 7 英里(11 公里).海洋總體積 約為 3 億立方英里
(12 億立方公里). 這就是說,如果造一 個方桶 要把 海 水全 都灌進去,那末,如 桶的每邊長 36 英里
(85 公里),則桶壁
要有到 月球 那 樣的 高度,才能把水全部 裝進去.
海水不是純淨的 水,而是各種物質主 要是鹽的溶液.事實
圖 25 海洋
上 3.45 % 的固體 中
大部分是鹽,這就是
說,大約有 5.4 億億噸固體溶解在海洋中,如果能夠用某種方法 把它們全部分離出來,並均勻地鋪在五十個州上,那末,它將成
為1 1 英里( 2 1 公里)高那樣一個大堆.
2 2
海洋中所包含的固體不單單是鹽,這些固體中大約有七分之
一是包含地球上每一種元素的各種各樣物質,——有些元素存在 量比較大,有些比較小.海洋中甚至象鈾和金那樣的物質也是其
正常含量的一部分.每一噸海水,約有千分之十盎司的鈾,約有
百萬分之五盎司的金.鈾和金的含量這樣稀薄,以致想把這些金 屬濃縮而從海水中提取出來,是不切實際的.然而,海洋是那樣 浩瀚無垠,總含量是很大的:海洋總共蘊藏著 50 億噸鈾和 8 百萬 噸金.
海洋還含有溶解在其中的氣體.氧僅微溶於水,但海水中的 氧已足夠供養它所負擔的全部生物.

但在南部的分界就不那麼清楚了.必須從南美洲的最南 端到南極半島的最北端穿過德雷克(Drake)海峽劃一條任意
-230-
的分界線.這條線大約有 600 英里長.
印度洋是個粗而短的海洋,僅僅從熱帶地區延伸到南冰 洋(它比瘦長的大西洋寬,以彌補其不足).印度洋不大容易 同其他海洋分開.從非洲的最南端和澳大利亞的最南端到南
冰洋的南北向分界線,將把印度洋分別同大西洋和太平洋區 分開,其中第一條線大約長 2,500 英里,第二條長 1,800 英里. 它構成了相當模糊的分界線,但我已講過,實際上只是一個
海洋,另外,印度尼西亞群島也把太平洋同印度洋分隔了開 來.
根據這些約定,這三大洋的表面積以近似數表示如下:
表 3 海洋的面積

表 面 積(平 方 英 裡) 占世界海洋的%

太 平 洋 63,000,000 48.7
大 西 洋 41,000,000 29.8
印 度 洋 30,000,000 21.5

可見,太平洋差不多是大西洋和印度洋加起來一樣大.太
平洋本身又比全部地球陸地面積大百分之二十.它是個巨大 的水球.
當我橫渡太平洋時(無論如何也只過了一半),我感到了 這一點,而當我注視著所有這些水,只是在僅看到它的表面 時,我也感覺到這一點.
太平洋不但跨域最大,而且也最深,平均深度約為 2.6 英 裡.相比之下,印度洋平均深度約為 2.4 英里,大西洋則僅約
2.1 英里,因此我們可以算出不同海洋的體積,如表 4 所示. 正如你所看到的,世界海洋的水恰巧以大約為 2:1:1 的比
分佈在三大洋之中.

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總數達 339,000,000 立方英里是個相當可觀的數量.它是

地球體積的 1
800

——一個十分大的分數.如果把它全部堆積
在一起,則將形成一個直徑約為 864 英里的球體.這個球體 比太陽系中的任何一個小行星都大,或許比所有這些小行星 加在一起還要大.

表 4 海洋的體積

體 積(立 方 英 裡) 占世界海洋的%

太 平 洋 177,000,000 52.2
大 西 洋 87,000,000 25.7 印 度
洋 75,000,000 22.1 總
計 339,000,000

因此,水是不會短缺的.如果把所有海洋按地球上的人
口分配,則每個男人、女人和孩子都將獲得十分之一立方英里 的海水.要是你認為這不算多的話(怎麼只有可憐的一立方 英里的十分之一),則請考慮一下,它是等於 110,000,000,000 加侖.

當然,海洋裡都是些用途有限的海水.人們可以在上面 航行,可以在海水中游泳——但是不能(未經處理)喝,不能澆 草坪,不能用它來有效地洗滌,或者把它用在工業生產過程 中.
必須用淡水來做這些必不可少的工作,而現成的這種水 源是十分有限的.海洋的水(包括很少的一部分內海鹹水) 是地球上全部水量的 98.4%左右,而淡水僅為 1.6%,或者說, 僅約 5,800,000
立方英里.
-232-
聽起來這並不算太壞,但我的話還沒有講完.淡水存在
於三相之中:固相、液相和氣相.(讓我打斷一下自己的話, 順便提一下,水是地球上唯一以全部三相存在的常態物質,
也是唯一的主要以液相存在的物質.所有其他常態物質要麼
僅僅以氣態存在,如氧和氮;要麼僅僅以固態存在,如硅和 赤鐵礦.)地球上的淡水源在三相間的分佈如表 5 所示:

表 5 淡 水 源

體 積(立 方 英 裡)
冰 5,680,000 液態淡水
120,000 水蒸汽(以冷凝成液體計) 3,400

地球上的淡水源大都由於結成冰而不能供我們應用.當
然,把冰溶化完全是可能的,而且甚是簡便,但有個所處位置 的問題.世界上的冰幾乎百分之九十聚成覆蓋在南極洲的巨 大冰層,其餘的則大多覆蓋在格陵蘭的比較小的冰層.剩餘 下來的(約有 200,000
立方英里)就是高山上的冰川和較小的 北極諸島,再加上地極海冰,所有這些冰都是十分奇特的. 這樣我們就只剩下 125,000 立方英里的液體和氣體形式
的淡水,這是地球上水源中最可寶貴的部分,淡水源不斷地 通過滾動的河流和滲漏的地下水流失到海裡,或者蒸發在空 氣中.不過,這個損失不斷地為雨水所補償.據估計,世界 全部陸地面積上的總降雨量達到每年
30,000 立方英里之多. 這就是說,每年有四分之一的淡水源更換.如果世界任何地 方都不下雨的話,地球上乾燥的陸地將真正變成乾涸,因為 在四年內淡水就會全部喪失掉(假定流失、滲漏和蒸發的速
度保持不變的話).
-233-
如果地球上的淡水是均勻地分配給人們的話,那末每個
男人、女人和孩子都將得到 40,000,000 加侖,而且他每年可 以使用其中的 10,000,000 加侖,同時須有雨水的積聚補償. 可是淡水並不是均勻分佈的.地球上有些地區的水源遠
遠超過它們所能耗用的數量,而另一些地區則乾涸異常.分 布不勻既是時間上的,也是空間上的;因為一個地區今年水
澇,明年就可能幹旱. 最了不起的淡水儲存庫是世界上的湖泊.當然,並不是
所有封閉的水體都是淡的.只有那些具有通往海洋出口的水 體是淡的,因為這些水體流出的水會把從陸地溶解出來而進 入湖泊的鹽分帶走.沒有通往海洋出口的湖泊,只能通過蒸
發失去水分,但溶解的鹽分不會蒸發,向這個封閉水體供水的 河流又不斷地把鹽分帶進來,結果就形成了一個鹹水湖,有時 會比海水還要鹹得多.
實際上世界最大的內陸水體是位於蘇聯和伊朗之間的裡 海——不是淡水.它的面積有 169,381 平方英里,剛好同加 利福尼亞差不多大,它有 3,370 英里長的海岸線.
間或有人說裡海不是一個海,只是一個湖泊,是個非常大 的湖泊.但是,我似乎覺得,「湖泊」很可能只限於封閉的淡水 體.如果稱「海」意指鹹水,那就不管是不是海洋了.這樣說
來,裡海的確是裡海了.
裡海只有 0.6%的鹽分(海洋的含鹽量為 3.5%),但這已 足以使得裡海的水除了西北角由伏爾加河注入淡水而外,都 變得不可飲用了.
裡海以東大 約 150 英 裡的地方是 鹹海,含鹽 量約 為
11.1%.它的鹽分是裡海的兩倍,但它的範圍要小得多,表面 積僅約 26,000 平方英里——但這已足以使它成為世界上第
-234-
四個大的封閉水體.
著名的封閉鹹水體還有兩個.一個是大鹽湖(我更喜歡 叫它猶他海,因為它既不「大」,而且根據我的定義也不是一 個湖),另一個是死海.大鹽湖的面積只有 1,500 平方英里, 而死海更加小——370
平方英里.死海事實上比紐約市的 5 個 行政區大不了多少.
但是,這兩個比較小的水體由於其極鹹而仍居於特殊的 地位,大鹽湖的鹽分約為百分之十五,死海的約為百分之二 十五,分別為海洋的四倍和七倍.
但是,僅看水的表面可能會使人產生錯覺.這四個內陸 海有多深呢?我們根據深度的數據即可計算出每個海的體積 及其總的含鹽量 1,如表 6 所示:
表 6 內 陸 海
平均深度
(英尺)
體 積
(立方英里)
總 鹽 量
(噸)
裡 海 675 21,600 600,000,000,000
鹹 海 53 260
13,000,000,000 死 海 1,080 75
86,500,000,000 大 鹽 湖 20 5.7
4,000,000,000

由此可見,這個小死海畢竟不是那麼小的.就水的數量
而言,它比大鹽湖大得多,它的含鹽量是從外表看起來比它 大得多的鹹海的 6 倍半.

死 海
死海也許是世界上最著名的小水體,雖然《聖經》中提到過它
(畢競古代和現代的以色列人都住在它的附近),但從來沒有稱它

1 這鹽無論如何不完全是氯化鈉,而是另一種物質.原注.

-235-

圖 26 死海

為死海.後代的希臘地理學家們感到水中無生物,故取名死海.在
《聖經》裡它叫鹽海. 約旦河(世界上最有名的小河)流入死海,再往下進入大裂谷,
後者正逐漸地使東非脫離大陸的其餘部分,有朝一日將形成一個 以現在的紅海為主體的新海洋.在進入死海時,約旦河比海平面低
1,286 英尺.死海沿岸是地球上最低的地區.儘管如此,死海水面 以下的最大深度還有 1,310 英尺.如果將死海及其周圍地區的水
位提高到海平面水位的話,那末,水的最大深度為 2,600 英尺,即
恰為半英里左右. 死海被一個從東岸伸入其中的小半島分成兩個不相等的部分,
佔全部面積三分之二左右的北部是深水部分,餘下三分之一的南 部非常淺,深度從 3 英尺至 30 英尺.
有人猜測,淺的三分之一部分是由於一次地震的結果被水淹 沒的.地震毀壞了防禦北部湖水的堤壩,這次地震可能伴隨著一
次火山噴發,南部在乾涸時發生過沉降.簡言之,這說明了《聖經》

-236-
上所描述的罪惡之地和罪惡之城毀滅的原因,但是,這並沒有什 麼具體的證據.

還是讓我們回到真正的湖泊——封閉的淡水體上來吧. 就表面積而言,最大的這種水體是美國蘇必利爾(Superior) 湖,它差不多同南卡羅來納州一樣大,通常列為地球上第二大
封閉水體(雖然,如我將表明的,實際上不是這樣).誠然,它 比巨大的裡海小得多,面積還不及它的五分之一,但是不要忘 記,蘇必利爾湖的水是淡的.
不過,蘇必利爾湖僅僅是美國五大湖之一.這五大湖通 常看做為獨立的水體,但是它們是毗連和相互連通的.因此, 把它們看做一起構成了的一個巨大的淡水流域,倒實在是非
常合適的.有關這些湖泊的一些統計數字見表 7:

表 7 美國的大湖
面 積
(平方英里)

大小等級
平均深度
(英尺)
體 積
(立方英里)
蘇必利爾湖 31,820 2 900
5,400
休倫(Huron)湖 23,010 5 480
2,100 密執安(Michigan)湖 22,400 6 600
2,600 伊利(Eric)湖 9,940 12 125
240 安大略(Ontario)湖 7,540 14 540
770
總 計 94,710
11,110

如果把它們本來就可以作為一個整體來看待的話,則美
國五大湖的表面積和體積是裡海的一半多一點.它們的容量 為全地球總淡水源的近十分之一.
唯一能夠勉強地跟美國大湖相比的另一組湖是東非的一 系列類似的、但比較分開的湖.三個最大的湖是:維多利亞湖,
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表 8 非洲的大湖
面 積
(平方英里)

大小等級
平均深度
(英尺)
體 積
(立方英里)
維多利亞(Victoria)湖 26,200 3 240
1,200 坦噶尼喀(Tanganyaka)湖 12,700 8 1,900
4,500 尼亞薩(Nyasa)湖 11,000 10 1,800
3,800 總 計 49,900
9,500

坦噶尼喀湖和尼亞薩湖,我把它羅列在一起,作為非洲大湖.
表 8 中是一些統計數字. 非洲的大湖以其深度著稱(至少其中兩個).雖然它們占
的面積只比美國大湖的一半多一點,但是它們容納的淡水量 幾乎可以和美國的那些較大但較淺的湖的現存水量相匹敵. 但是,如果我們要講到深水湖的話,那末,我們就要提
到西伯利亞中南部的貝加爾(Baikal)湖,它的面積為 13,197 平 方英里,按照通常的表面積準則,居地球第七大封閉水體,而 平均深度為 2,300 英尺,所以是世界上最深的湖.(它的最大
深度為 4,082 英尺,將近 1 英里.它是那樣的深,有一次我曾 經說過,這湖是唯一擁有跟深海魚一樣的魚的湖.果真是這樣
的話,這便是世界上僅有的淡水深海魚.) 它的深度意味著,貝加爾湖有 5,750 立方英里淡水,超過
蘇必利爾湖的水容量. 剩下來唯一可以歸入「大湖」之列的湖是加拿大西部的
三個湖,有關這些加拿大大湖的平均深度的統計數字實際上 目前還沒有掌握.我有其中兩個湖的最大深度的數字,但有 關第三個湖則一無所知.我將作出一些有智慧的猜測,以觀其 梗概.請見表 9.
現在我們根據封閉水體的實際大小和水容量而不是根據

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表 9 加拿大的大湖
面 積
(平方英里)

大小等級
平均深度
(英尺)
體 積
(立方英里)
大熊(Great Bear)湖 12,200 9 240
525 大奴(Great Slave)湖 10,719 11 240
510 溫尼伯(Winnipeg)湖 9,460 13 50
90

其表面積把它們依次排列起來.誠然,任何湖泊的表面積可
以用足夠的精確度來加以確定,而水容量則只能大致地估計, 因此按表面積遞減的次序來排列是有道理的.但是,我將我 行我素.14 個最大的封閉水體(按表面積計)按水容量多少 次序排行如表 10 所示.
表 10 地球上的大湖
體 積
(立方英里)
體 積
(立方英里)
裡海 1 21,600 維多利亞湖
1,200 貝加爾湖 5,750 安大略湖 770
蘇必利爾湖 5,400 大熊湖 525 坦噶尼喀湖
4,500 大奴湖 510 尼亞薩湖
3,800 鹹海2 260 密執安湖
2,600 伊利湖 240 休倫湖
2,100 溫尼伯湖 90

此表非但是非常粗略的,有些數字粗略得不足信,而且除
此之外還有些湖雖然面積比表所列的湖小,但深度卻足以使 其列在溫尼伯湖之前的位置.屬於這些湖的有蘇聯歐洲部分 西北部的拉多加(Ladoga)湖和奧涅加(Onega)湖,以及玻利
維亞和秘魯之間安第斯(Andes)山的的的咯喀(Titicaca)湖. 可是這有什麼用呢?這一切關於水的議論絲毫無補於干

12 非淡水湖.原注.

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涸的東北部.實際上,我知道美國大湖的水位近年來一直在
令人擔憂地下降著,甚至裡海也在縮小. 地球老母親也許現在對我們感到厭煩了……我不知道,
在我心情更為憂鬱的時候,我能不能責怪於她,如果她存在 的話.

16 地球上的高處和低處

波士頓正在改建,我們現在有了個「新波士頓」.1
新波士頓顯著的特徵在於那個普魯登謝爾(Prudential) 中心,地處巴克貝(Back Bay)區,經過改造面貌一新,猶如紐 約一般豪華.它有一家新飯店即謝拉頓-波士頓(sheraton-
Boston)飯店,而最壯觀的是有一幢漂亮的摩天大樓,就是 高 750 英尺的 52 層的普魯登謝爾大廈.
1965 年夏,我第一次進入這個中心.我應邀參加一個小 組討論會,研究未來的工業管理問題.討論會在陳設華麗輝 煌的謝拉頓-波士頓飯店舉行.在會後的宴會之後,飯店經理
在他簡短的談話中聲稱,普魯登謝爾大廈是北美大陸最高的 辦公大樓.
聽後我們流露出驚訝的神情,於是他立刻解釋道,是的, 離波士頓不遠的地方的確有些更高的辦公大樓,可是它們都 不在北美大陸,而在大陸海岸外的一個島上,一個名叫曼哈頓
(Manhattan)的島. 他說得對.在寫作本文的當時,北美洲在曼哈頓島以外

1 本文最初發表於 1966 年 2 月,那時我住在波士頓地區,但在 1970 年我遷居到紐 約,自那以來我一直住在紐約.原注.
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的地方,還沒有比普魯登謝爾大廈更高的辦公大樓.(也許全
世界任何地方都沒有.)1
這使我馬上覺得,如果你是一個最高記錄收集者(像我 一樣),那末,只要稍微改變一下限制條件,就可以玩出大量 的遊戲.在那位經理的談話結束之前,好多時間裡我一直在 考慮著山脈.
每個人都知道世界上最高山峰的名字,它就是珠穆朗瑪 峰,正好位於尼泊爾和中國西藏交界處的喜馬拉雅山脈.
參考書裡通常說珠穆朗瑪峰的高度是海拔 29,002 英尺, 雖然我更相信最近的三角測量得出這個數字為 29,141 英尺. 無論哪一個數字,看上去搖搖晃晃的珠穆朗瑪峰之巔都算得
上是地球表面上唯一超過海拔 29,000 英尺的一塊堅硬的土 地,因而這座山完全稱得上是獨一無二的了.如果用另外一 種量度單位,則珠穆朗瑪峰恰恰有五英里半多一點高,而所
有其他土地都低於海拔五英里半.
然而,除了「盎格魯撒克遜國家」的成員之外,山的高
度一般都以米而不是英尺或英里來表示.21 米有 3.28 英尺, 因此珠穆朗瑪峰高出海面 8,886 米.3
這馬上就產生了一個問題:到底還有多少座山峰屬於高 過海拔 8,000 米的、為數極少的最高的山之列呢?回答是:不 多,只有 13 座!4

1 自從本文發表以來,芝加哥已經建成了兩座比普魯登謝爾大廈還要高的辦公大樓.
原注.
2 如今.甚至連盎格魯撒克遜的國家也都在加入統一的行列了.現在,只有美國是 唯一仍堅持不改的重要國家.原注.
3 我國最近測量珠穆朗瑪峰的高度為 8,848 米.譯者注.
4 我現在不再像當初寫文章時那樣地相信原來的這種說法了.《吉尼斯(Guiness) 世界資料手冊》稱,迦雪布魯姆(Gasherbrum)峰是第 15 高峰.如果是這樣的話
(我信任吉尼斯),那麼,至少有四座 8,000 米高的山峰我沒有列入此表,這些資 料在我的藏書中找不到.原注.
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表 11 8000 米以上的山峰 1
高 度
山 峰 名
英 尺 英 裡 米
珠穆朗瑪峰 29,141 5.52
8,886 喬戈裡峰 28,250 5.36
8,613 干城嘉措(Kanchenjunga)峰 28,108 5.33
8,570 洛子(Lhotse)峰 27,923 5.29
8,542 馬卡魯(Makalu)峰 27,824 5.28
8,510 道拉吉利(Dhaulagiri)峰 26,810 5.10 8,175 瑪納斯魯(Manaslu)峰
26,760 5.06 8,159 卓奧友(Cho Oyu)峰
26,750 5.06 8,155 南迦帕爾巴特(Nanga Parbat)峰
26,660 5.05 8,125 安那普納(Annapurna)峰 26,504
5.03 8,080 迦雪布魯姆(Gasherbrum)峰 26,470 5.02
8,075 布羅德(Brood)峰 26,400 5.00
8,052 高僧贊(Gosainthan)峰 26,291 4.98
8,016

這裡把它們列於表 11.
這 13 座最高的山除 4 座外全都在綿延三百英里多一點的 喜馬拉雅山脈.例外的山中,最高的是喬戈裡峰,有時它只 是簡單地被叫做 K-2.
喬戈裡峰位於珠穆朗瑪峰和其他喜馬拉雅山峰西北面大
約 800 英里的地方.它是逶迤在克什米爾和中國新疆之間的 喀喇崑崙山脈的最高峰.
全部 13 座 8000 米的高峰都在亞洲,而且都在印度和中

1 根據我國掌握的資料和公佈的數據,世界上海拔 8,000 米以上的山峰有十四座, 它們依次是珠穆朗瑪峰(8,848 米),喬戈裡峰(8,611 米),干城章嘉峰(8,585 米),
洛子峰(8,501 米),珠穆倫錯峰(又名瑪卡魯峰,8,470 米),道拉吉利峰(8,172 米),卓奧友峰(8,153 米),瑪納斯魯峰(8,126 米),南迦帕爾巴特峰(8,125 米),
安那普納峰(8,078 米),迦雪布魯姆一號峰(8,068 米),布羅德蜂(又名寬大峰,
8,047 米),迦雪布魯姆二號峰(8,035 米),希夏邦馬蜂(又名高僧贊峰,8,012 米). 譯者注.
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國的邊陲.
實際上,不僅世界上 13 座最高的山峰是在這地方,而且 至少 60 座最高的山(!)也在這地方,因此這個地區是登山者
之地.1
而在所有的山中,珠穆朗瑪峰顯然是攀登之峰.攀登這 座山的第一次認真的嘗試是在 1922 年,經過整整一代人的努
力之後,有十一個人在山坡上喪生,未曾取得成功.後來在
1953 年 6 月 29 日,尼泊爾人謝帕·田津·諾蓋(Sherpa Tenzing Norgay)和新西蘭人埃德蒙·珀西瓦爾·希勒利(Edmund Per- cival
Hillary)征服了它.自那以後,還有一些人也成功了.2 你們或許會認為,連珠穆朗瑪峰也征服了,就再也沒有 什麼山沒被登上過的了.然而事情並不是這樣,珠穆朗瑪峰要
比其他一些峰受人注意.到現在為止(除非有人在悄悄地攀
登,而我沒有注意到),尚未被征服的最高的山峰是高僧贊峰, 它僅列為第十三高峰.3

亞洲以外最高的山脈是沿著南美洲西側南下延伸的安第 斯(Andes)山脈,安第斯山脈的最高峰是阿空加瓜(Aconcagua) 山,高 22,834 英尺.雖然阿空加瓜山是亞洲以外世界最高的
山峰,但在亞洲還是有許多更高的山峰.
作為資料,這裡把各大陸最高的山峰列於表 12 示出.為

1 最近我聽說,喜馬拉雅山脈有世界上 108 座最高山峰中的 96 座.原注.
2 1960 年 5 月 25 日,中國登山隊首次從北坡攀登珠穆朗瑪峰頂;嗣後於 1975 年 5
月 27 日中國登山隊再次從北坡勝利登上峰頂.譯者注.
3 《吉尼斯世界資料手冊》說它是迦雪布魯姆峰.第十五高峰.原注. 我國登山隊於 l964 年 5 月首次登上了第十四高峰——希夏邦馬峰,從那時起,世 界上 8000
米以上的高峰就全部被人征服了.作者在文中寫的可能是以前的情況, 可供參考.譯者注.
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表 12 各地區最高的山峰

高 度 地 區 山 峰
英 尺 英 裡 米
亞洲 珠穆朗瑪峰 29,141 5.52
8,886* 南美洲 阿空加瓜山 22,834 4.34
6,962 北美洲 麥金萊(McKinley)山 20,320 3.85 6,195
非洲 乞力馬扎羅(Kilimanjaro)山 19,319 3.67 5,890 歐洲
厄爾布魯士(Elbrus)山 18,481 3.50 5,634 南極洲
文森·馬西夫(Vinson Massif)山 16,860 3.19 5,080
48 個州 惠特尼(Whitney)山 14,496 2.75 4,419 澳洲
科休斯科(Kosciusko)山 7,328 1.39 2,204 新英格蘭
華盛頓(Washington)山 6,288 1.19 1,918
* 見 242 頁注.
了安撫我的民族和地域自尊心,我加上了位於 48 個相鄰的州 和新英格蘭的最高峰.(畢竟這一章節是我在撰寫,可以隨我 所好.)
現在來看看這些山的位置. 阿空加瓜山在阿根廷,緊靠智利邊界,在瓦爾帕萊索
(Valparaiso)以東只有 100 英里的地方. 麥金萊山在阿拉斯加的中南部,在費爾班克斯西南大約
150 英里的地方.人們在 1896 年發現它是北美洲的最高地,並 以剛剛當選為美國總統的威廉·麥金萊(William McKinley)1 來命名,俄國人(他們在 1867
年之前擁有阿拉斯加)稱它為 「布爾莎婭」(Bolshaya,「大的」)山.
乞力馬扎羅山在坦噶尼喀東北部,靠近肯尼亞的邊境,離 印度洋大約 200 英里.厄爾布魯士山屬高加索山脈,位於黑 海東北方向約 60 英里的地方.

1 美國第 25 任總統,公元 1897~1901 年在位.譯者注.
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關於文森·馬西夫山,哎呀,我實在一無所知.就是它的
高度也是粗略估計出來的. 惠特尼山在加利福尼亞州,位於國家紅杉公園東側.它
在 48 個州中的最低點所在地死谷西面只有 80 英里的地方(這 個最低點是一個稱為壞水的池塘,比海面低 280 英尺——我 敢打賭它是這樣的).惠特尼山是以在 1864 年測量其高度的美
國地質學家喬賽亞·德懷特·惠特尼(Josiah Dwight Whitney) 命名的.
科修斯科山在澳大利亞的東南角,位於維多利亞(Victoria) 州和新南威爾士(New South Wales)州的交界上.它是那個 稱為澳大利亞阿爾卑斯(Alps)的山脈的最高點.我猜測它
是在十八世紀末波蘭愛國者撒迪厄斯·科修斯科(Thaddeus Kosciusko)在領導最後一次幾乎是無望的波蘭獨立戰爭時所 發現的,但我還不能肯定.
華盛頓山位於新罕布什爾(New Hampshire)州北部的總 統山脈,我們大家都知道它是以誰命名的.
我列舉了大陸上的高山,但這並不是說所有的高山都在 大陸上.事實上,澳大利亞一般通認為大陸(雖然是個小大 陸)但並沒有什麼特別高的山,而它北邊的新幾內亞(雖然很
大,但無疑是一個島),卻是個多山的地方,有幾十個比澳大 利亞大陸的任何山都高的山峰,其中有一些以任何標準來衡 量都是非常了不起的.三個太平洋海島特別多山,擇其高者 列於表 13.
卡斯滕士山是世界上非大陸的最高山.我不知道是以誰 命名的.不過它在新幾內亞西部,是納索(Nassau)山脈的一部 分,後者是以荷蘭皇族命名的.我猜想,印度尼西亞現在已經
把這山脈和這山重新命名了,或者更可能地是,已經恢復了原
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表 13 海島上的主要山峰

高 度 海 島 山峰
英 尺 英 裡 米
新幾內亞 卡斯滕士(Carstensz)山 16,404 3.12 5,000
莫納科亞(Mauna Kea)山 13,784 2.61 4,200
夏威夷
莫納洛亞(Mauna Loa)山 13,680 2.59 4,171
蘇門答臘 克林季(Kerrintji)山 12,484 2.36 3,807
新西蘭 科克(Cook)山 12,349 2.34 3,662

來的名字,但我不知道這些名字叫什麼.1
科克山就在新西蘭南島中心略偏西的地方,當然,它是 以著名的探險家科克(Cook)船長命名的,它的毛利語名字 是奧蘭吉(Aorangi).

到此,我所講到的山的高度都是「海拔」高度. 可是,如果不忘記謝拉頓-波士頓飯店經理的話,那末,我
們不妨再作些說明,以增加我們的興趣. 一座山的高度畢竟在很大程度上取決於它基底的高度.
喜馬拉雅山的群峰大多是世界上最高的,這是毋庸置疑的. 然而,同樣也是確鑿無疑的是,它們座落在世界上最高的西藏 高原上.西藏的「低地」無論什麼地方都不低於海拔 12,000 英尺.
如果我們從珠穆朗瑪峰的高度中減去 12,000 英尺,那末, 我們可以說,它的峰高在它座落於其上的大地上面僅 17,000 英尺.
這並不是可以不屑一談的.按照這個標準(從底到頂,而

1 後來我查明白了.卡斯滕士山現在正式的名字是蘇第曼(Sudirman)山脈的查亞
(Djaja)峰.原注.
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不是從海平面到頂),還有沒有比珠穆朗瑪峰高的山呢?有
的,的確有一座,這個新的最高山峰不在喜馬拉雅山,也不 在亞洲,也不在任何大陸上面.
這畢竟是有道理的.試設想在一個相當小的島嶼上有一
座山,這個島嶼可能就是一座山,人們對這座山印象不深, 因為它連同基底一起矗立在海洋深處,而且通過波濤的沖打,
人們知道這座山坡高約多少英尺. 事實上,就有那麼一個海島,就是夏威夷島——夏威夷
群島中最大的一個島.面積為 4,021 平方英里的夏威夷島(約 為特拉華州的兩倍),實際上是一座伸出太平洋的大山.它有 四個山峰,兩個最高的為莫納克亞山和莫納洛亞山(見表 13).
構成夏威夷島的那座山實際上是座火山,不過大都已經
死滅,只有莫納洛亞山還在活動.從它包含的岩石體積來看, 這座山的整體是世界上最大的單個山.可以想像,包括海面 上下整個這座山該有多大.
莫納洛亞山中央噴口的凹處有時還在活動,但有史以來 實際上未曾爆發過.烙巖流從兩側的開口流出,最大的開口叫 基拉韋厄(Kilaues),位於莫納洛亞山的東側,高約海拔 4,088 英尺(0.77
英里或 1,246 米).基拉韋厄是現在世界上最大的 活動火山口,直徑在兩英里以上.
這些特徵似乎並不充足,但是如果作為一個整體來看的 話,這座巨大的、我們稱之為夏威夷島的四峰山就極為令人驚 歎了.只要測出海洋的深度就會發現,夏威夷島是座落在海 面下超過 18,000 英尺的地基上.
如果把海洋從地球表面搬走(勞駕,只是暫時搬一搬),那 末,地球上就沒有一座單獨的山能夠與令人驚歎的高聳雲霄 的巍巍夏威夷山相比.如果從底到頂來算,它一定是地球上
-247-
最高的山.它在這個底基上的高度為 32,036 英尺(6.05 英里
或者 9,767 米).它是地球上唯一從底到頂超過 6 英里的山. 海洋搬走後將展現出一個類似的、雖然比較小的聳立在 大西洋中的山峰,它是大西洋中山脈的一部分.這個山脈大
部分我們還不知道,因為它為海洋所淹沒,但是它比陸地上 的任何山脈,甚至比喜馬拉雅山都大,都長,都壯觀.它有
7,000 英里長,500 英里寬,那是了不起的. 這個山脈的一些最高的山峰,它們的山頂都伸出大西洋
洋面,這就形成了包括由九個島組成的一群島和一些小島(屬 葡萄牙)在內的亞速爾(Azores)群島,它們位於葡萄牙以 西大約 800 英里的地方,總的土地面積為 888 平方英里,比
美國羅得(Rhode)島小得多.
亞速爾群島的最高點在這個群島的皮科(Pico)島上,這 就是上皮科山(又名「高山」),高達海拔 7,460 英尺(1.42 英 裡或 2,274 米).但是,如果沿著山坡向下滑去直達海底的話,
那你就會知道此山只有四分之一露出水面.
上皮科山從水下的底基到山峰之巔的總高度約為 27,500 英尺(5.22 英里或者 8,384 米),這就等於象喜馬拉雅山峰的 高度.

當我們暫時把海洋從地球上移開時,我們或許還可看到 海洋有多深.
海底大約有百分之一點二低於海面 6,000 多米,在這樣 的海底處有各種各樣「深溝」.這種深溝數量很大,大多在太 平洋海底.深溝全都靠近列島,據推測,形成深淵和隆起列 島是屬同一過程.
迄今有記載的幾個深淵的最大深度(根據我所獲得的材
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表 14 一些海洋的深溝

深 度 深 溝 大 概 位 置
英尺 英里 米
巴特萊特(Bartlett) 古巴南 22,788 4.31
6,948 爪哇(Java) 爪哇南 24,442 4.64
7,252 波多黎各(Puerto Rico) 波多黎各北 30,184 5.71
9,392 日本(Japan) 日本南 32,153 6.09
9,800 千島(Kurile) 堪察加(Kamchatka)東 34,580 6.56
10,543 湯加(Tonga) 新西蘭東 35,597 6.75
10,853 馬裡亞納 關(Guam)島東 35,800 6.79
10,915 棉蘭老 菲律賓(Philippines)東 36,198 6.86
11,036

料)如表 14 所示.
當然,這些深淵的深度決沒有象山的高度那樣可靠,我 說不上什麼時候某艘海洋調查船將會測出更深的深度.
有記載的棉蘭老伍(Mindanao)深溝的最大深度——也 是全世界為最——只是近在 1959 年 3 月才由俄國海洋調查船
《勇士號》測出的.

基拉韋厄火山

莫納洛亞山是世界上最大的山體,連同莫納克亞山一起實際上 構成了夏威夷島.莫納洛亞山的意思是「長山」,這是個合適的 名字,因為從它一端到另一端長 76 英里,莫納克亞山的意思是
「白山」,因為它山頂常年積雪.山頂積雪意味著英納克亞山是 座暫死的火山;但莫納洛亞山是活動的,它的近旁是基拉韋厄火山
(見圖示).基拉韋厄火山是世界上最大的火山口,面積有四平方
英里. 基拉韋厄火山並不以壯觀的火山爆發而聞名,相反地,它總
是處於將爆發未爆發的狀態.在這個火山口裡面是個沸騰的熔岩 湖,熔岩偶而上漲溢出.有時成為滾滾洪流,持續很長時間,在 1935 年甚至威脅到島上最大的希洛(Hilo)城.

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圖 27 基拉韋厄火山

土著夏威夷人把基拉韋厄火山最為活動的噴口看做是火神皮 利(Pele)的住所——如果我們假定神仙是存在的話,這是有道理 的.
然而,這裡有著奇妙的巧合.夏威夷的火神是皮利,而在馬 提尼克(Martinique)島上有一座叫做泊萊(Pelee)的山.這兩個
名字除字面外毫無共同之處,因為「Montagne Pelee」在法語裡就 是「禿山」的意思(或者「pealed」山,如果你想保留語音的話),這 是由於山頂赤裸的緣故.
可是,這個名字是注定了的,因為珀萊是座火山,這正是 山頂赤裸的原因所在.人們並不認為它是一座非常厲害的火山, 因為 1792 年和 1851 年的兩次小爆發沒有給人留下什麼印象.可
是後來在 1902 年 5 月 8 日,這座山突然爆發,崩瀉的熔岩順著山
坡直衝到馬提尼克當時的首府聖皮坎爾(St. Pierre).一度是座
30,000 人口的城市,自那以後留下了 30,000 具屍體,只有兩個人 倖存.

雅克·皮卡德(Jacques Piccard)和唐·沃爾什(Don Walsh)
-250-
實際上於 1960 年 1 月 23 日乘坐深海潛水器《特裡雅斯特》
(Trieste)號曾親自到達過馬利亞納(Mariana)深溝的最深 處.這地方已被命名為「挑戰者深淵」,以紀念英國海洋調查 船《挑戰者》號.這艘船曾自 1872~1876 年巡遊全部海洋進
行科學考察,由此建立起了現代的海洋學.
在任何情況下,海洋的深度總是大於山的高度,我現在想 從幾個地方來說明這一點.
請看看棉蘭老深溝的最大深度,如果把珠穆朗瑪峰放進 去,那整座山能安詳地座落在裡面,山頂將沉沒在波濤之中,
而且有 7,000 英尺(1 1 英里)深的海水在山頂上翻滾;如果
3
把夏威夷島從現在的位置向西移動 4,500 英里,把它沉入棉
蘭老深溝的話,那它將完全消失,它的頂上有 4,162 英尺( 4
5
英里)高的水流動. 如果以海平而為標準,那末地球上整個大陸表而的最低
點就在菲律賓,它處於珠穆朗瑪峰最高點以東約 3,200 英里 的地方.總的高差為 65,339 英尺(12.3 英里或 19,921 米). 這聽起來好像很大,但地球的直徑約為 7,900 英里,所
以這高低之差只是地球總厚度的百分之零點一五. 如果地球縮成像我書房裡的地球儀那樣大(直徑為 16 英
寸),那末,珠穆朗瑪峰之巔僅僅高出表面 0.011 英吋,而棉 蘭老深溝則將沉到表而以下僅 0.014 英吋的地方.
因此可以看到,儘管我已經談及極端的高和極端的低, 但地球的表面從其與地球大小的比例看來還是非常平坦的; 即使把海洋移去,讓洋底的高低不平暴露出來,它還將是平
坦的.當海洋將地球上的大多數坑坑窪窪填滿(把最高低不平
-251-
的地方加以覆蓋)時,剩下的也就一無所有了.
還是讓我們再來考查一下海平面吧.如果地球是一個世 界海洋的話,那它將呈旋轉橢球形狀,因為地球是在旋轉著, 它將不是一個正確的橢球形,有種種理由可以說明到處有幾
英尺的偏差.關於這一點,只有高度學術性的研究才會對這 種偏差感興趣.就我們的目的而言,我們對橢球已經可以滿 意了.
這就是說,如果用一個平面通過地球中心和兩極把它對 半切開的話,那末橫截面的輪廓將是一個橢圓.短軸(即地 球最短的可能半徑)是從中心到其中的一個極,長為 6,356,912 米.最長 的 半徑即長 軸
是從中心 到 赤道上任 意 一點,為
6,378,388 米長(如果我們考慮到赤道本身邊緣略呈橢圓狀的 話,則這就是平均值).
因此,赤道海洋的水平面同中心的距離比極地海洋水平 面的要遠 21,476 米(70,000 英尺或 13.3 英里).這就是著名 的「赤道隆起」.
不過,這種隆起並不是僅存在於赤道.從中心到海洋水 平面的距離隨著海平面從極地到赤道面平滑地增加.可惜, 我從來沒有看到過關於地球半徑在不同緯度上的超長度(即 超出極地處的最短長度)的數據.
因此,我不得不利用引力場按緯度變化的規律進行計算
(我能夠找到關於引力場的數據).我希望計算結果無論如何 是近似正確的,見表 15.
現在,讓我們從極地海平面面不是從任何老的海平面來
測量山的高度.這將用來比較離地球中心的距離,而且這肯 定又是一種合理的比較山峰高度的方法.
如果我們這樣做了,我們便馬上就會看到事情完全改觀.
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表 15 地球的隆起

地 球 半 徑 的 超 長 度 緯 度
英 尺 英 裡 米
0°(赤道) 70,000 13.3 21400

5° 69,500 13.2
21200

10° 68,000 12.9
20800

15° 65,500 12.4
20000

20° 62,300 11.3
19000

25° 58,000 11.0
17700

30° 52,800 10.0
16100

35° 47,500 9.0
14500

40° 41,100 7.8
12550

45° 35,100 6.65
10700

50° 29,000 5.50
8850

55° 23,200 4.40
7050

60° 17,700 3.35
5400

65° 12,500 2.37
3800

70° 8,250 1.56
2500

75° 4,800 0.91
1460

80° 2,160 0.41
660

85° 530 0.10
160
90°(極地) 0 0.00
0

例如,棉蘭老深溝下沉在海面以下 11,036 米的地方,但
這是指在它自己緯度(北緯 10°)處的海平面以下.這個海平 面比極地海平面高 20,800 米,因此棉蘭老深溝的最大深度還 比極地海平面高 9,800 米(6.1 英里)左右.
換句話說,當皮爾裡(Peary)站在北極的海冰上時,比他 在一個探索棉蘭老深溝底部的深海潛水器中時更靠近地球中 心 6 英里.
當然,北冰洋有它自已的深度.我相信,北冰洋有記載的
-253-
深度為 45,00 米(2.8 英里).這意味著,北冰洋的底比棉蘭
老深溝更接近地球中心將近 9 英里,從這個觀點看來,我們 有了「最深的海溝」這個稱號的一個新的候選者,(南極區為 南極大陸所佔據,因此在這方面未列入比較.)

那末,山怎麼樣呢?
珠穆朗瑪峰位於緯度 30.0°附近,那裡的海平面比極地海 平面高 16,100 米.將此數加到珠穆朗瑪峰本身的海拔高度
8,886 米上,你就發現,這座山比極地海平面將近高 25,000
米(15.5 英里).但它比赤道海平面只高 2.2 英里. 換句話說,當一艘船正通過赤道時,它的乘客離地球中
心的距離比站在珠穆朗瑪峰之巔的希勒利只近 2.2 英里. 按照這個新標準,還有沒有什麼山可以比珠穆朗瑪峰更
適合於作此比較呢?亞洲還有一些高山跟珠穆朗瑪峰同處於 差不多的緯度.例如阿空加瓜山和安第斯山脈的一些其他高 峰(雖然在赤道的另一邊).
麥金萊山稍高於北緯 60.0°,因此它的海平面比極地海平 面僅高 5,000 米左右,它在極地海平面以上的總高度僅為
11,200 米(7.0 英里),這還不及珠穆朗瑪峰高度的一半. 不,我們需要的是靠近赤道的理想的高山,在這種地方
的高山,可以充分利用地球腹地的最大隆起.一個好對象是 非洲最高的山乞力馬扎羅山.它約在南緯 3.0°,高 5,890 米, 再加上座落其上的 21,300 米高的隆起,因此如從地球中心算
起,它比極地海平面高約 27,200 米(16.9 英里),或比珠穆 朗瑪峰高近 1 英里半.
但這還不是最理想的.按照這些標準,我選中的最高山 峰是厄瓜多爾的欽博拉索(Chimborazo)峰.它是安第斯山脈
-254-
的一部分,這裡至少有三十座比欽博拉索峰高的山峰.然而,
欽博拉索峰位於南緯 2.0°.它本身高出於海平面為 6,300 米. 如果加上赤道隆起,則極地海平面以上的總高度達 27,600 米
(17.2 英里).1
如果我們取離地球中心的距離,那末,我們就可以從北 冰洋之底到欽博拉索峰之巔,從面把距離增加 32,100 米,即 差不多為 20.0 英里——一個整齊的偶數.

由於著眼點不同,我們有了三個不同的地球上最高山峰 的候選者:珠穆朗瑪峰、莫納克亞山和欽博拉索峰;我們還有 兩個不同的最深的深淵候選者;北冰洋底和棉蘭老深溝底.
可是,讓我們面對現實吧!在認識極端的深度和高度時 所要考慮的不光是距離,還要考慮到達那裡的困難程度.衡 量潛深的困難程度的一個最重要的標準是水壓的增加,面衡
裡登高的困難程度的一個最重要的標準則是氣壓的減小. 照此說來,水壓在棉蘭老深溝底部最高,而氣壓在珠穆朗
瑪峰之巔最低,因此這是實際中的兩個極端.

17 地球上的島

我寫科學小品文最使人愉快的事情之一是給我帶來了信 件——幾乎總是令人高興和饒有興味的.
例如,想到上一章《地球上的高處和低處》,我曾維護波士

1 自從本文初次發表以來,另有一些人已宣稱欽博拉索峰是世界上最高的山,這條
新聞相當令人激奮地已載於《科學美國人》與《新聞週刊》.這兩家刊物都沒有注 意到本文的領先地位.原注.
-255-
頓的普魯登謝爾大廈是北美大陸上最高的辦公大樓的說法
(相對於在曼哈頓島上有更高的大廈而言).此文初次發表 後,我當即收到了大波士頓的一個居民寄來的明信片,勸我沿 著查爾斯(Charles)河和尼龐塞特(Neponset)河上溯到它們
的發源地,看看波士頓也可不可以算做一個島.
在某種程度上他是正確的,我聽從了他的勸告.查爾斯 河向波士頓北面流去,而尼龐塞特河向它南面流去.它們在 波士頓西南部靠攏,相距不到二英里半.有一條小川穿過這
個間隔地帶從這一條河婉蜒流到另一條河,以致波士頓的大 部分地區和一部分西郊地區(包括我住的地方)1四面八方都 被地表水團團圍住.因此,普魯登謝爾大廈和我的房子在一
個有語言純正癖的人看來,也可以認為在一個島上.
啊唷! 不過,在我產生驚恐之前,還是先讓我停下來考慮一下.
不管怎樣,先要弄清楚島是什麼?
「island(島)」這個詞源出盎格魯撒克遜語「eglond」,這個 詞從字面上來說可能意為「水地」;就是「水包圍的陸地」. 這個古代英語詞隨著歲月流逝,經歷了自然變遷,傳到
我們手裡應該是「eyland」或「iland」.「s」則是受「isle(「島」) 這個詞的影響而誤訛加上的.說來也奇怪,「isle」只跟「island」 是同義詞,並無詞源關係.
至於「isle」,我必須追溯到古典時代. 古希臘人在強盛時期是以航海為業的,居住在地中海的
許多島嶼和大陸各地.他們和後來的古羅馬人都完全知道這 兩種類型陸地顯然是根本不同的.在他們看來,一個島嶼是
海包圍著的一塊相當小的陸地.而大陸(希臘和意大利是它

1 後來沒有再住在那裡過.如我上面已說過的,我回到了紐約.原注.
-256-
的一部分)則是連續的陸地,不知道有什麼邊界. 誠然,古希臘地理學家們認為,陸地表面是有限的,大陸
除西邊外都被海洋的水面團團圍住,這是純理論.在西邊,出 了直布羅陀(Gibraltar)海峽,地中海實際上展現成浩瀚的海 洋.然而,古希臘人或者古羅馬人都沒有成功地經由陸路到達
過瑞典的拉普蘭(Lapland)、南非或者中國,以便站在大陸 的邊緣親眼看看海洋.
因此,在拉丁語裡,大陸是 terra continens;意思是「連 在一起不破的陸地」.這個概念是說,當你在大陸上旅行時, 總是有另一塊陸地連著你正在通過的那一部分陸地.沒有
盡頭.這個短語傳到我們手裡就是「continent(大陸)」這個 詞.
另一方面,不和大陸連在一起,不破的一小塊陸地獨立 地並被海包圍起來,叫做 terra in salo 即「海洋中的陸地」, 這在拉丁語裡縮短成 insula,後來又相繼縮短,在意大利語 裡為
isola 英語為 isle,法語為 ile.
因此,詞「isle」,(從外延來說還有詞「island」)的嚴格
意義是指被鹹水包圍的陸地.當然,這無疑過於嚴格了.它 將使曼哈頓島的地位變得非常捉摸不定,因為其西邊以哈得孫
(hudson)河為界.所以,必定有些通常被稱為島嶼的陸地 安臥在湖泊或河流中間,它們當然是被淡水包圍住的.不過, 即使是這種島嶼,也必定被一片同島的直徑相比為相當大的
深深的水所包圍,而決不會有人單單因為一大片陸地被一條 小河劃分出來而想稱它為一個島.因此,從實際上說,波士頓 不是一個島,而曼哈頓是一個島.
然而,拿本文的下一部分論述的目的來講,我打算堅持 這個術語的嚴格定義,只討論那些為鹹水所包圍的島嶼.
-257-
照這樣下去,那末更嚴格地說來,地球的陸地表面完全
是由島嶼構成的.就這個詞的字面意義面言,不存在什麼大 陸.大陸決不會沒有盡頭,意大利旅行家、威尼斯人馬可孛 羅於 1275 年到達古代所知道的大陸的東部邊緣.葡萄牙航海
家巴托羅繆·狄亞斯(Bartholomew Diaz)於 1488 年到達其 南端;一些俄國探險家在 17 世紀和 18 世紀初標出了它的北 端.
我這裡所指的大陸是通常所認為的由歐亞非三大洲所組
成.可是,為什麼一定是三大洲呢?如果略去河流和人工的 蘇伊士運河的話,則它們只是單獨的連綿一片的陸地.
洲的多元觀念要追溯到古希臘時代.古希臘人在荷馬時 代聚居在希臘大陸,面對著愛琴海東邊一個不友好的第二大 陸.最早的希臘人沒有理由猜想,這兩個大陸之間有陸地相
連.他們給這兩個大陸以不同的名字:他們自己這個大陸叫 歐羅巴,另一個大陸叫亞細亞.
這兩個名字的起源還不確知,僅是推測.我最欣賞的推 測認為它們源出閃米特語單詞assu和erev1,意思分別為「東」 和「西」.(一如他們襲取腓尼基語的字母系統,古希臘人可
能也是通過克里特人從腓尼基語獲得這些詞的.)公元前 1200 年的特洛伊戰爭開始了從字面上來說的西方和東方之間的對 抗,我們至今仍處於這種對抗之中.
當然,希臘探險家在這場角逐的早期一定已經知道,這兩 個大陸之間的確有陸地相連.伊阿宋(Jason)和阿耳戈英雄
(Argonants)以及他們尋覓金羊毛的神話 2或許反映了特洛

1 閃米特語是指古代巴比倫人、亞述人、希伯萊人和腓尼基人;近代主要指阿拉伯
人、猶太人的閃含族語系閃語族的語言.譯者注.
2 系希臘神話.此兩人歷盡千辛萬苦到海外覓取金羊毛.譯者注.
-258-
伊戰爭之前的貿易遠征.阿耳戈英雄到達過科耳基斯(Colohis,
位於黑海的東端),兩個大陸就在那裡連結. 誠如我們現在所知,黑海北岸有 1500 英里長,一個旅行
者可以取道這片 1500 英里長的連接地從愛琴海的一邊到另 一邊——從歐洲到亞洲並返行.因此,只是由於地理學上的 約定,歐亞兩洲才成為兩個分離的陸地,它們之間實際上是
沒有邊界的,這塊聯合的陸地常常被稱為「歐亞大陸」.
地理書上任意地把烏拉爾山脈定為歐亞兩洲的邊界,這 是由於烏拉爾山脈代表著一片廣大的自德國至太平洋綿延
6000 多英里的平原的一個適當的間斷;另一方面是由於政治 方面的原因,考慮到俄國(它直至大約 1580 年之前一直局限 於烏拉爾山脈以西的區域)的歐洲部分.但是,歐亞大陸的亞
洲部分遠大於其歐洲部分,以致歐洲常常被看作只不過是歐 亞大陸的一個半島.
比起歐洲來,非洲遠為接近於一個單獨的洲.它同歐亞 大陸之間唯一的陸地連接是蘇伊士地峽.現在它大約寬 100 英里,而在古代則比較狹窄.
那裡曾經還有連結通道,曾是一條很好的旅行道路,普通 百姓(也有軍隊)時而來往其間,他們反而很少穿越黑海北面 的陸地.古希臘人當時已知道他們稱之為敘利亞和埃及的那
兩個國家之間有聯繫,因此把埃及和它西面的陸地看做亞洲 的一部分.
在古羅馬人看來,就是另一番情景了.他們離蘇伊士地 峽比較遠,在他們的早期歷史裡,對這個連接地僅限於學術上 的興趣,他們只通過海洋同非洲聯繫.而且,像古希臘人隔
海對峙著對面大陸上的特洛伊一樣,古羅馬人——一千年以 後——也隔海對峙著對面大陸上的迦太基人,同漢尼拔的斗
-259-
爭之對於古羅馬人的嚴重性不亞於同希克托(Hector)1國的 鬥爭之對於古希臘人.
迦太基人用來稱呼他們城市周圍地區的一個詞在拉丁語 裡變為 Africa(非洲).在古羅馬的意識裡,這個詞從迦太基 的毗鄰地區(今突尼斯北部)延伸到古羅馬人自己感到所面
臨的整個大陸.因此,古羅馬時代——特別是希臘-埃及托勒 密王朝——的地理學家們給予非洲以第三大陸的地位.
還是讓我們面對事實吧,略去那些歷史的偶然事件不談. 如果不算蘇伊士運河,我們就能夠不用涉越鹹水便可從好望 角旅行到白令海峽,或者到葡萄牙或拉普蘭,於是整片陸地成
為單一的大陸.這個單一的大陸尚無為人們普遍接受的名字, 稱它為「歐亞非大陸」是很滑稽的,而我有時產生需要這樣 做的強烈願望.
不過,我們也可以這樣考慮,這片陸地是廣大的,但它 是有限的,它四周均被海洋包圍,因此,它是一個島,當然是 一個巨大的島,但畢竟是一個島.如果我們考慮到這一點,
那末它便有了名字,這個名字有時為地緣政治論者 2採用. 它就是「世界島」.
這個名字似乎意味著歐亞非三大洲構成了整個世界,這 你也知道,幾乎是這樣.試見表 16.(讓我指出,在此表中和 本文以下的各表中,面積的數字是準確的,但那些人口的數字
則往往是很不可靠的,我曾試圖用自己的藏書核實一下六十年 代中期的人口數字 3,但我始終未能如願以償,而且,即使 給出這種數字時,也每每都注上「估計」的字樣,可能大大失

1 荷馬史詩中的勇士.譯者注.
2 一種為帝國主義侵略作辯護的反動理論.譯者注.
3 這次印的是 70 年代中期的人口數字.原注.
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表 16 世 界 島

面積(平方英里) 人 口 1

亞 洲 16,500,000 1,950,000,000
非 洲 11,500,000 336,000,000 歐 洲
3,800,000 653,000,000 世 界 島
31,800,000 2,939,000,000

實…….不過,還是讓我們盡力而為吧.)
世界島佔地球陸地總面積一半稍多一些.甚至更為重 要的是,它擁有地球人口的四分之三.它完全稱得起這個名 字.

在面積和人口上唯一的、甚至是很勉強的同世界島可作 比較的陸地是美洲大陸.它最初是由原始亞洲人在好幾千年 之前發現的,公元 1000 年時重又為冰島航海家萊夫·埃裡克森
(Leif Ericsson)所發現,最後則於 1497 年為意大利航海家 焦伐尼·卡博托(Giovanni Caboto),按照僱用他的英國叫法是 約翰·卡博特(John
Caboto)所發現……我之所以沒有提哥 倫布(Columbus),是因為他在 1497 年只是發現了這些島,他 在 1498 年前未曾到過美洲大陸.
哥倫布認為新大陸是亞洲的一部分,它的確可能是這樣. 從自然地理學上來講,它之完全獨立於亞洲,只是到了 1726 年 才得到證實.那一年丹麥航海家維圖斯·白令(Vitus Bering,
為俄國人所僱用)探索到今天所稱的白令海,並航海穿過今天 所稱的白令海峽,從而證明西伯利亞和阿拉斯加是不相連的.

1 本文初次發表干 1966 年 6 月.在以後的歲月裡,人口當然增長了.因此,我已將 本文的表全部加以改動,以反映這種增長.原注.
-261-
因此,地球上有了第二個巨大的島,這個島傳統上分為兩
個洲:北美洲和南美洲,可是,如果略去人工的巴拿馬運河的 話,這兩個島是相連的,因此一個人可以不涉越鹹水就從美國 北部的阿拉斯加旅行到阿根廷的巴塔戈尼亞(Patagonia).
這兩個相連的洲沒有方便的名字.可以稱為「兩美大陸」, 但這是把一個複數名稱用於單一的陸地,因而我不想用它.
我想我來提它二個名字,叫做「新世界島」.這是把兩美 大陸用一個大寫的普通詞組(如果按老式的說法)「新世界」來 表示.它也表明了「世界島」和「新世界島」之間的關係跟英
國和新英格蘭(美)之間或約克郡(英)和紐約(美)之間的 關係屬於同一種類型.
關於新世界島的主要統計數字示於表 17.如表所示,新 世界島的面積約為世界島的一半,但人口只有它的六分之一 多一點.
表 17 新 世 界 島

面積(平方英里) 人 口

北 美 洲 9,385,000 321,000,000
南 美 洲 7,035,000 190,000,000
新世界島 16,420,000 511,000,000

另外有兩塊大得足可當作洲看待的陸地,還有一塊陸地
則是模稜兩可的,通常認為它作為一個洲,實在太小了.按面 積大小的次序是:南極洲(以其覆蓋冰層計)、澳大利亞和格 陵蘭(Greenland).
格陵蘭幾乎無人居住,因此我想(作為純粹的形式)把它 列入我可稱之為「大陸島」的那一組,於是就可以把它歸類掉. 這樣,我就可以轉面把比格陵蘭小的陸地彙集成一個組.

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表 18 大 陸 島

面積(平方英里) 人 口

世 界 島 31,800,000 2,939,000,000
新世界島 16,420,000 511,000,000 南 極 洲
5,100,000 …… 澳大利亞
2,970,000 12,550,000 格 陵 蘭 840,000
47,000
表 18 列出關於大陸島的數據.
剩下的陸地——都小於格陵蘭——就是我們通常所說的 「島嶼」.因此,本文從現在開始,每當說到「島嶼」時,都 是指比格陵蘭小、完全為海洋所包圍的陸地.
這樣的島嶼有好幾千個,它們代表著決不可忽視的地球 的一部分陸地表面,總計起來(盡我能及的近似估計),這些 島嶼的總而積約為 2,500,000 平方英里——因此,它們總共加
起來抵得上一個洲的大小,面積幾乎有澳大利亞那樣大;總 人口約為 400,000,000,這成為一個洲,甚至比面積更過得硬, 比北美洲的總人口綽綽有餘.
讓我們作此估計,這樣每 10 個人中就有 1 個人住在一個 比格陵蘭小的島嶼上.

關於島嶼,我們可以提出一些有用的統計數字.首要的 而且又最突出的數字就是島嶼的面積.五個面積最大的島嶼, 列於表 19.
最大的島新幾內亞長度延伸達 1,600 英里.如果把它迭 於美國之上,則它將從紐約延伸到丹佛(Denver).它的面積 比得克薩斯(Texas)州大百分之十五.它擁有除世界島和新
世界島以外最大和最高的山脈,居住著世界上最原始的人.
-263-
表 19 最 大 的 島 嶼 1

面積(平方英里)

新幾內亞(New Guinea) 312,329
婆羅洲(Borneo) 290,285 馬達加斯加(Madagasca)
230,035 巴芬(Baffin)
201,600 蘇門答臘(Sumatra) 163,145

五個最大島中的其他兩個島,它們和新幾內亞同是一個
島群的成員.新幾內亞、婆羅洲和蘇門答臘習慣上同稱為「東 印度群島」的組成部分.這個群島散佈在亞洲和澳大利亞之 間範圍達四千英里的海洋上,構成世界上最大的島群.這個
群島的面積將近一百萬平方英里,約佔全世界島嶼面積的百 分之四十;可能擁有人口 121,000,000,即約佔全世界島嶼人 口的百分之三十.
馬達加斯加在某一點上看來像一個向西往印度洋另一端 方向移動了四千英里的東印度島.它的形狀同蘇門答臘相仿, 大小介於蘇門答臘和婆羅洲之間.甚至它的土著居民在血統 上更接近於東南亞,而不是近鄰的非洲.
五大島中只有巴芬島不屬於這個範圍.它是屬於位於加 拿大北方的那個群島的成員,位於哈得孫灣口和格陵蘭海岸 之間.

說來奇怪,就人口而言,這五個最大的島嶼沒有一個算得 上大島,實際上,有三個大島嶼(沒有一個屬於上述五個最大 島嶼之列的)擁有的人口大大超過世界全部島嶼人口的半數.

1 近來,人們更習慣於使用居民們所使用的地理名字.例如,婆羅洲實際上就是加
裡曼丹.而我在各個場合將使用大家比較熟悉的名字.原注.
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人口最稠密的那個島嶼,也許廣大美國人還不知道它的名字,
它就是本州.在你填補這個空白之前,讓我來解釋一下,它就 是日本列島的最大者,東京就在這個島上.
這三個島嶼見表 20.
表 20 人口最多的島嶼

面積(平方英里) 等 級 人 口

本 州 91,278 6
83,000,000
爪 哇 48,504 12
78,000,000
大不列顛 88,133 7 56,000,000
爪哇在大島中無疑是人口最稠密的(我說「大島」是為 了排除象曼哈頓那樣的小島).它的人口密度達每平方英里
1,600 人,恰為歐洲人口密度的九倍.它是歐洲人口最稠密的
國家荷蘭的人口密度的1 3 倍.荷蘭是個高度工業化的國家,
4
而爪硅基本上是農業的,這就更其引人注目了.人們一般總
認為一個工業化地區的人口要比一個農業地區的人口多.(誠 然,荷蘭的生活水準遠遠高於爪哇.)
遠遠落在這三個大島後面的是另外四個島,每個島人口
都超過一千萬.請見表 21.(順便指出,九州是日本列島中 的又一個島.)
表 21 人口中等的島嶼

面積(平方英里) 等 級 人 口

蘇門答臘 163,145 5
20,000,000
台 灣 13,855 34
15,000,000 錫 蘭 1 25,332 24
15,000,000 九 州 14,791
31 12,000,000

1 更為嚴格地講,錫蘭應稱為斯里蘭卡.原注.

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注意,這七個人口最多的島嶼都在東半球,全都跟世界
島有一定距離,或者在世界島和澳大利亞之間.西半球人口 最多的島又是一個大多數美國人可能叫不出名字的島.那就 是伊斯帕尼奧拉(Hispaniola)島,海地和多米尼加共和國都 在上面,它的人口為
9,000,000.
人們一般都認為強國在大陸.歷史上強國除一個而外全 都在世界島上(一個例外是美國).
大陸國家在強國中占統治地位的一個重要例外是大不 列顛 1.在近代,證明日本又是個例外.事實上,大不列顛和 日本是僅有的兩個在全部中世紀和現代史始終保持完全獨立 的島國.
然而,今天已經有不下於三十個島嶼國家(除非我有遺 漏,我相信,如果有遺漏的話,我將會迅即得到慷慨的讀者 們的啟發的),三十個獨立的國家,也就是說它們的領土在
一個島上或者島群上,它們在世界島或者新世界島上沒有什麼重 要的基地.
澳大利亞是這些國家之一,實際上,按通常習慣它是一 個大陸國家,但我把它包括進去,以臻統一.這三十個島的 國家(包括澳大利亞)依人口順序列於表 222.
此表簡短說明如下:首先,大不列顛地區作為一個島嶼 和一個國家之間所存在的差異乃是由這樣一個事實造成的: 作為一個國家,它還包括一些在其本土島嶼之外的地區,特
別是北愛爾蘭.印度尼西亞包括上面提到的那個叫做東印

1 我不準備把英格蘭、大不列顛、聯合王國和不列顛列島區別開.不過,如果我願
意的話,我是能夠做到的,這一點請你不用擔心!原注.
2 在本文於九年前初次發表時,還只有二十個島嶼國家.自那時以來,又有十個島 或者群島取得獨立,所以我現在作了一個修正表,並附上最新的人口數字,以反 映這一事實.原注.
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表 22 島 嶼 國 家
面積(平方英里) 人 口
印度尼西亞 735,268 121,000,000 日本
142,726 105,000,000 大不列顛
94,220 56,000,000 菲律賓
115,707 37,000,000 澳大利亞
2,971,021 12,500,000 斯里蘭卡
25,332 12,500,000 古巴
44,218 8,500,000 馬達加斯加
230,035 7,500,000 海地
10,714 5,000,000 多米尼加共和國 18,816
4,000,000 愛爾蘭 27,135
3,000,000 新西蘭 103,376
2,900,000 新加坡 224
2,200,000 牙買加 4,232
2,000,000 特立尼達 1,980
950,000 毛里求斯 720
900,000 塞浦路斯 3,572
630,000 斐濟 7,055
575,000 馬耳他 122
330,000 科摩羅 864
300,000 巴巴多斯 166
275,000 巴林 256
230,000 巴哈馬 5,382
215,000 冰島 39,768
210,000 西薩摩亞 1,097
150,000 馬爾代夫群島 115
115,000 格林納達 133
110,000 湯加 269
100,000 聖多美 372
69,000 瑙魯 8
8,000

-267-
度的群島的大部分但不是全部. 實際上,所有的島嶼人民現在都是獨立島國的組成部分,
至今仍是殖民地的最大的島嶼地區是巴布亞新幾內亞 1,即 新 幾內亞島的東半部,它有面積 182,700 平方英里,人口
2,300,000,受澳大利亞管理.我實在不知道該把波多黎各歸於 哪一類.它在相當程度上是自治的,但如果把它算作一個美 國殖民地的話,則我認為它可算是剩下來的人口最多(人口為
2,700,000)的非獨立島嶼.
由表 22 可知,人口最多的島國不是日本,也不是大不列 顛,而是印度尼西亞.事實上,它是世界上人口佔第五位的國家. 只有中國、印度、蘇聯和美國(面積上全都是大國)人口比印 度尼西亞多.
佔地不到單獨一個島嶼的島國只有三個,即海地和多米 尼加共和國(它們共佔伊斯帕尼奧拉島)和愛爾蘭(東北六郡 仍是大不列顛的組成部分).島嶼有一部分屬於以大陸為基地
的國家的唯一島國是印度尼西亞.婆羅州島(它大部屬於印 度尼西亞)有一部分構成了以鄰近的亞洲為基地的馬來西亞 這個新國家的一部分.新幾內亞(其西半部屬印度尼西亞)的 東半部屬於澳大利亞.

這些島國裡有 17 個城市人口超過百萬.這些城市依人口 遞減次序列於表 23——我要告誡你們,有些數字是不怎麼可 信的.
在這些城市中間,東京無疑是突出的,因為它可能是世 界上最大的城市.我說「可能是」是因為這個地位還有第二 個候選者——上海.中華人民共和國的上海——一個陸地城

1 巴布亞新幾內亞已於 1975 年 9 月 16 日宣告獨立.譯者注.
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表 23 島 嶼 城 市
城 市 國 家 人 口 東京
日本 11,400,000 倫敦
大不列顛 8,200,000 雅加達
印度尼西亞 4,500,000 大阪
日本 3,000,000 悉尼 澳大利亞
2,800,000 墨爾本 澳大利亞
2,400,000 橫濱 日本
2,300,000 名古屋 日本
2,000,000 哈瓦那 古巴
1,700,000 京都 日本
1,400,000 神戶 日本
1,300,000 馬尼拉 菲律賓
1,300,000 蘇臘巴亞 印度尼西亞 1,300,000 萬隆
印度尼西亞 1,100,000 北九州
日本 1,050,000 札幌
日本 1,000,000 伯明翰
大不列顛 1,000,000

市——的人口有可能多達 11,000,000.
新世界島上的最大城市紐約充其量在東京、上海和大倫敦 之後居第四位.當然,紐約大部分在島上,它只有一個區布 朗克斯(Bronx)無疑是在大陸上.它還不是在象東京或倫敦 所在的那種島國上.
如果我們把紐約作為一個有疑問的事例而排除在外,那 末,西半球最大的島嶼城市和世界這一半上唯一人口超過百 萬的島嶼城市是哈瓦那.
現在只剩下最後一項,即把島嶼的討論局限於那些為鹹 水所包圍的島嶼時,我們有沒有出於迫不得已而略去了任何 重要的淡水島呢?

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就大小(而不是就人口)而言,只有一個島是值得提及的.
它是一個河流島,世界上(除巴西外)可能很少有人知道,它 就是馬拉若(Marajo)島,像一個大籃球似地安臥在亞馬孫
(Amazon)河河口所形成的凹進處. 它寬一百英里,面積一萬五千平方英里.如果把它算做
一個真正的海島的話,那它將列入世界最大的三十個島嶼之 中,對於一個河流島嶼來說這當然是不錯了.不過,它是一片 低窪地,多沼澤,常常氾濫,又正處於赤道,幾乎沒有什麼 人住在那兒.
但是,僅僅是它的存在就表明了,亞馬孫河是何等巨大!

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